Άρθρα

2.5: Η υπόθεση του Ρίμαν


Ορισμός 2.19

Η συνάρτηση Riemann zeta ( zeta (z) ) είναι μια σύνθετη συνάρτηση που ορίζεται ως εξής στο ( {z in mathbb {C} | mbox {Re} z> 1 } )

[ zeta (z) = sum_ {n = 1} ^ { infty} n ^ {- z} nonumber ]

Σε άλλες τιμές του (z in mathbb {C} ) ορίζεται από την αναλυτική συνέχεια αυτής της συνάρτησης (εκτός από το (z = 1 ) όπου έχει έναν απλό πόλο).

Η αναλυτική συνέχεια μοιάζει με την αντικατάσταση του (e ^ x ) όπου (x ) είναι πραγματικό από (e ^ z ) όπου (z ) είναι περίπλοκο. Ένα άλλο παράδειγμα είναι η σειρά ( sum_ {j = 0} ^ { infty} z ^ j ). Αυτή η σειρά αποκλίνει για (| z |> 1 ). Αλλά ως αναλυτική συνάρτηση, μπορεί να αντικατασταθεί από ((1-z) ^ {- 1} ) σε όλα τα ( mathbb {C} ) εκτός από τον πόλο (z = 1 ) όπου αποκλίνει.

Θυμηθείτε ότι μια αναλυτική συνάρτηση είναι μια συνάρτηση που είναι διαφοροποιήσιμη. Ομοίως, είναι μια λειτουργία που δίνεται τοπικά από μια συγκλίνουσα σειρά ισχύος. Εάν (f ) και (g ) είναι δύο αναλυτικές συνέπειες σε μια περιοχή (U ) μιας συνάρτησης (h ) που δίνεται σε μια περιοχή (V υποσύνολο U ), τότε η διαφορά ( Το fg ) είναι μηδέν σε ορισμένα (U ) και επομένως όλες οι επεκτάσεις ισχύος του είναι μηδέν και επομένως πρέπει να είναι μηδέν σε ολόκληρη την περιοχή. Ως εκ τούτου, οι αναλυτικές συζεύξεις είναι μοναδικές. Αυτός είναι ο λόγος που έχουν νόημα. Για περισσότερες λεπτομέρειες, δείτε για παράδειγμα [4, 14].

Είναι συνηθισμένο να δηλώνεται το όρισμα της συνάρτησης zeta με (s ). Θα το κάνουμε από εδώ και πέρα. Σημειώστε ότι (| n-s | = n- mbox {Re} s ), και έτσι για ( mbox {Re} s> 1 ) η σειρά είναι απολύτως συγκλίνουσα. Σε αυτό το σημείο, ο μαθητής πρέπει να θυμάται - ή να κοιτάζει ψηλά στο [23] - το γεγονός ότι οι απόλυτα συγκλίνουσες σειρές μπορούν να αναδιατάσσονται αυθαίρετα χωρίς να αλλάζουν το άθροισμα. Αυτό οδηγεί στην ακόλουθη πρόταση.

Πρόταση 2.20

Για ( mbox {Re} s> 1 ) έχουμε

[ sum_ {n = 1} ^ { infty} n-s = prod_ {p prime} (1-p ^ {- s}) ^ {- 1} nonumber ]

Υπάρχουν δύο κοινές αποδείξεις αυτού του τύπου. Αξίζει να παρουσιάσετε και τα δύο.

Απόδειξη

Η πρώτη απόδειξη χρησιμοποιεί το Θεμελιώδες Θεώρημα της Αριθμητικής. Πρώτον, θυμόμαστε ότι χρησιμοποιούν γεωμετρικές σειρές

[(1-p ^ {- s}) ^ {- 1} = sum_ {k = 0} ^ { infty} p ^ {- ks} nonumber ]

για να ξαναγράψετε το δεξί χέρι του προϊόντος Euler. Αυτό δίνει

[ prod_ {p prime} (1-p ^ {- s}) ^ {- 1} = ( sum_ {k_1 = 0} ^ { infty} p_ {1} ^ {- k_ {1} s} ) ( sum_ {k_2 = 0} ^ { infty} p_ {2} ^ {- k_ {2} s}) ( sum_ {k_3 = 0} ^ { infty} p_ {3} ^ {- k_ { 3} s}) nonumber ]

Η αναδιάταξη των όρων αποφέρει

[ dots = (p_ {1} ^ {k_ {1}} p_ {2} ^ {k_ {2}} p_ {3} ^ {k_ {3}} dots) ^ {- s} nonumber ]

Με το θεμελιώδες θεώρημα της αριθμητικής, η έκφραση ((p_ {1} ^ {k_ {1}} p_ {2} ^ {k_ {2}} p_ {3} ^ {k_ {3}} dots) ) διατρέχει όλους τους θετικούς ακέραιους ακριβώς μία φορά. Έτσι, όταν ξαναρχίσουμε ξανά, παίρνουμε το αριστερό της φόρμουλας του Euler.

Η δεύτερη απόδειξη, αυτή που χρησιμοποίησε ο Euler, χρησιμοποιεί μια μέθοδο κοσκινίσματος. Αυτή τη φορά, ξεκινάμε με το αριστερό χέρι του προϊόντος Euler. Εάν πολλαπλασιάσουμε ( zeta ) επί (2 ^ {- s} ), επιστρέφουμε με ακρίβεια τους όρους με (n ) ακόμη. Έτσι

[(1-2 ^ {- s}) zeta (s) = 1 + 3 ^ {- s} +5 ^ {- s} + cdots = sum_ {2 nmid n} n ^ {- s } μη αριθμός ]

Στη συνέχεια πολλαπλασιάζουμε αυτήν την έκφραση με ((1-3 ^ {- s}) ). Αυτό έχει ως αποτέλεσμα την κατάργηση των όρων που παραμένουν όπου (n ) είναι πολλαπλάσιο του (3 ). Αυτό ακολουθεί τελικά

[(1-p_ {l} ^ {- s}) dots (1-p_ {1} ^ {- s}) zeta (s) = sum_ {p_ {1} nmid n, cdots p_ {l} nmid n} n ^ {- s} nonumber ]

Το επιχείρημα που χρησιμοποιείται στο κόσκινο Eratosthenes (Ενότητα 1.1) χρησιμεύει τώρα για να δείξει ότι στη δεξιά πλευρά της τελευταίας εξίσωσης όλοι οι όροι εκτός από το (1 ) εξαφανίζονται καθώς τείνει στο άπειρο. Επομένως, το αριστερό χέρι τείνει στο 1, πράγμα που υποδηλώνει την πρόταση.

Το πιο σημαντικό θεώρημα σχετικά με τους πρώτους είναι πιθανώς το ακόλουθο (χωρίς απόδειξη).

Σχήμα 3. Στα αριστερά, η συνάρτηση ( int_ {2} ^ {x} mbox {ln} t dt ) με μπλε χρώμα, ( pi (x) ) με κόκκινο χρώμα και (x / mbox {ln } x ) με πράσινο χρώμα. Στα δεξιά, έχουμε ( int_ {2} ^ {x} mbox {ln} t dt - x / mbox {ln} x ) με μπλε χρώμα, ( pi (x) - x / mbox {ln} x ) με κόκκινο χρώμα.

Θεώρημα 2.21 (Θεώρημα Prime Number)

Ας ( pi (x) ) υποδηλώνει τη συνάρτηση πρωταρχικής μέτρησης, δηλαδή: ο αριθμός των πρώτων μικρότερος ή ίσος με (x> 2 ).

Τότε

  1. ( lim_ {x rightarrow infty} frac { pi (x)} {(x / mbox {ln} x)} = 1 ) και
  2. ( lim_ {x rightarrow infty} frac { pi (x)} { int_ {2} ^ {x} mbox {ln} t dt} = 1 )

όπου ( mbox {ln} ) είναι ο φυσικός λογάριθμος.

Η πρώτη εκτίμηση είναι η ευκολότερη απόδειξη, η δεύτερη είναι η πιο ακριβής. Στο σχήμα 3 στα αριστερά, σχεδιάσαμε, για (x in [2.1000] ), από πάνω προς τα κάτω τις συναρτήσεις ( int_ {2} ^ {x} mbox {ln} t dt ) με μπλε χρώμα, ( pi (x) ) με κόκκινο χρώμα και (x / mbox {ln} x ). Στο δεξί σχήμα, αυξάνουμε τον τομέα σε (x in [2, 100000] ). και σχεδιάστε τη διαφορά αυτών των συναρτήσεων με (x / mbox {ln} x ). Είναι πλέον σαφές ότι ( int_ {2} ^ {x} mbox {ln} t dt ) είναι πράγματι μια πολύ καλύτερη προσέγγιση του ( pi (x) ). Από αυτό το σχήμα μπορεί κανείς να πειρασθεί να συμπεράνει ότι ( int_ {2} ^ {x} mbox {ln} t dt - pi (x) ) είναι πάντα μεγαλύτερο από ή ίσο με το μηδέν. Αυτό, ωστόσο, είναι ψευδές. Είναι γνωστό ότι υπάρχουν πάρα πολλά n για τα οποία ( int_ {2} ^ {x} mbox {ln} t dt - pi (x) <0 ). Το πρώτο τέτοιο (n ) ονομάζεται αριθμός Skewes. Δεν είναι γνωστά πολλά για αυτόν τον αριθμό, εκτός από το ότι είναι μικρότερο από 10317.

Ίσως το πιο σημαντικό ανοιχτό πρόβλημα σε όλα τα μαθηματικά είναι τα ακόλουθα. Αφορά την αναλυτική συνέχεια του ( zeta (s) ) που δίνεται παραπάνω.

Εικασία 2.22 (Υπόθεση Riemann)

Όλα τα μη πραγματικά μηδενικά του ( zeta (s) ) βρίσκονται στη γραμμή ( mbox {Re} s = frac {1} {2} )

Στο μοναδικό του έγγραφο σχετικά με τη θεωρία αριθμών [20], Ο Riemann συνειδητοποίησε ότι η υπόθεση του επέτρεψε να περιγράψει λεπτομερείς ιδιότητες της κατανομής των πρώτων από την άποψη της θέσης του μη πραγματικού μηδέν του ( zeta (μικρό) ). Αυτή η εντελώς απροσδόκητη σύνδεση μεταξύ τόσο διαφορετικών πεδίων - αναλυτικών συναρτήσεων και πρώτων στο ( mathbb {N} - ) μίλησε για τη φαντασία και οδήγησε σε ένα τεράστιο ενδιαφέρον για το θέμα. Σε περαιτέρω έρευνα, έχει αποδειχθεί ότι η υπόθεση σχετίζεται επίσης με άλλους τομείς των μαθηματικών, όπως, για παράδειγμα, οι αποστάσεις μεταξύ των ιδιοτιμών των τυχαίων Ερμιτικών πινάκων [2], ακόμη και η φυσική [5, 6].


Οι αναφορές για τον Riemann Hypotheis δίνουν το καλύτερο όριο για το Prime Number Theorem

Ποια βιβλία καλύπτουν την απόδειξη ότι η υπόθεση Riemann είναι ισοδύναμη με το καλύτερο σφάλμα που δεσμεύεται για το θεώρημα Prime Number;

Η κατανόησή μου είναι ότι η υπόθεση του Riemann είναι ισοδύναμη με το καλύτερο όριο του θεώρημα πρωταρχικού αριθμού. Ο Von Koch (1901) απέδειξε ότι η υπόθεση του Ρίμαν είναι ισοδύναμη με το "καλύτερο δυνατό" δεσμευμένο για το λάθος του θεώρηματος του πρωταρχικού αριθμού, αλλά το έγγραφο του Koch είναι στα Γερμανικά, δεν μπορούσα να το διαβάσω.

Μπορεί κανείς να προτείνει βιβλία ή αγγλικά άρθρα που καλύπτουν αυτήν την απόδειξη;

Επίσης, ο Schoenfeld έδωσε μια βελτιωμένη έκδοση αυτού του επιχειρήματος;


Η υπόθεση του Ρίμαν

Παραλήπτης του Βραβείου Βιβλίου Beckenbach της Μαθηματικής Ένωσης της Αμερικής το 2018!

Η υπόθεση Ρίμαν αφορά τους πρωταρχικούς αριθμούς 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47 & hellip Παντού και θεμελιώδης στα μαθηματικά όπως είναι, είναι σημαντικό και ενδιαφέρον να γνωρίζουμε όσο το δυνατόν περισσότερο για αυτούς τους αριθμούς. Απλές ερωτήσεις θα ήταν: πώς κατανέμονται οι πρώτοι αριθμοί μεταξύ των θετικών ακέραιων αριθμών; Ποιος είναι ο αριθμός των πρώτων αριθμών των 100 ψηφίων; 1.000 ψηφίων; Αυτές οι ερωτήσεις ήταν το σημείο εκκίνησης ενός πρωτοποριακού εγγράφου του Bernhard Riemann που γράφτηκε το 1859. Εκτός από το άρθρο του, ο Riemann διατύπωσε τη διάσημη υπόθεσή του ότι μέχρι στιγμής κανείς δεν πλησίασε να αποδείξει: Όλα τα μη ασήμαντα μηδενικά της συνάρτησης zeta βρίσκονται η κριτική γραμμή. Κρυμμένο πίσω από αυτήν την πρώτη μυστηριώδη φράση βρίσκεται ένα ολόκληρο μαθηματικό σύμπαν πρωταρχικών αριθμών, άπειρες ακολουθίες, άπειρα προϊόντα και πολύπλοκες λειτουργίες.

Το παρόν βιβλίο είναι μια πρώτη εξερεύνηση αυτού του συναρπαστικού, άγνωστου κόσμου. Προήλθε από ένα διαδικτυακό μάθημα για ταλαντούχους μαθητές δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης μαθηματικών που διοργανώθηκαν από τους συγγραφείς αυτού του βιβλίου στο Πανεπιστήμιο του Άμστερνταμ. Στόχος του ήταν να φέρει τους μαθητές σε επαφή με προκλητικά μαθηματικά σε επίπεδο πανεπιστημίου και να τους δείξει τι είναι η υπόθεση Riemann και γιατί είναι ένα τόσο σημαντικό πρόβλημα στα μαθηματικά.


Η υπόθεση του Ρίμαν

Η Επιτροπή Λίστα Βασικών Βιβλιοθηκών προτείνει ότι οι προπτυχιακές βιβλιοθήκες μαθηματικών θεωρούν αυτό το βιβλίο για απόκτηση.

Η υπόθεση Ρίμαν είναι ένα από τα πιο δύσκολα και πιο διάσημα προβλήματα στα μαθηματικά. Η αρχική της διατύπωση, η οποία προέρχεται από τη θεωρία περίπλοκων συναρτήσεων, υποστηρίζει ότι όλα τα μη πραγματικά μηδενικά της συνάρτησης Riemann zeta έχουν πραγματικό μέρος ίσο με το μισό. Λόγω της τεχνικής του διατύπωσης, δεν είναι εύκολο να μιλάμε για την υπόθεση Riemann χωρίς να υποθέτουμε γνώση της θεωρίας της σύνθετης λειτουργίας, αλλά μπορούμε να εκμεταλλευτούμε τις συνδέσεις της με άλλους κλάδους των μαθηματικών. Ένα από τα πιο σημαντικά είναι το φως που ρίχνει στην κατανομή των πρώτων αριθμών. Και υπάρχουν επίσης κάποιες στοιχειώδεις εικασίες που αποδεικνύονται ισοδύναμες με την υπόθεση Riemann.

Το υπό εξέταση βιβλίο, το οποίο φαίνεται να είναι ένα από τα πρώτα βιβλία σε αυτό το επίπεδο σχετικά με την υπόθεση Ρίμαν, απευθύνεται σε μαθητές γυμνασίου και προπτυχιακούς. Επικεντρώνεται κυρίως στον λεγόμενο & ldquoexplicit τύπο, & rdquo που συνδέει την κατανομή των μηδενικών της συνάρτησης Zeta Riemann με την κατανομή των πρώτων αριθμών. Οι συγγραφείς έθεσαν το στάδιο εξηγώντας βασικά γεγονότα σχετικά με σύνθετους αριθμούς και συναρτήσεις, εισάγοντας τη συνάρτηση zeta και τον τύπο προϊόντων της. Στη συνέχεια διεξάγουν αριθμητικά πειράματα με τον ρητό τύπο, αναφέροντάς τα σε διάφορα σχήματα.

Το βιβλίο αποτελείται από τέσσερα κεφάλαια και τέσσερα παραρτήματα. Κάθε κεφάλαιο τελειώνει με μερικές ασκήσεις. Οι συγγραφείς παρέχουν κώδικα προγραμματισμού υπολογιστή για ασκήσεις με υπολογιστική γεύση και πλήρεις λύσεις για τα υπόλοιπα.

Το βιβλίο θα είναι χρήσιμο για τους μαθητές και τους δασκάλους να εξοικειωθούν με την υπόθεση Riemann. Μπορεί επίσης να χρησιμοποιηθεί ως κείμενο σε ένα μίνι μάθημα. Ο ενδιαφερόμενος αναγνώστης, ωστόσο, δεν θα βρει εδώ όλα όσα θα μπορούσαν να ειπωθούν για την υπόθεση Ρίμαν σε αυτό το επίπεδο. Πιστεύω ότι θα υπήρχε χώρος στο παρόν βιβλίο για κάποια σχετικά θέματα, συμπεριλαμβανομένων των πολλών στοιχειωδών δηλώσεων που είναι γνωστό ότι είναι ισοδύναμες με την υπόθεση Ρίμαν, όπως μια ανισότητα που συνεπάγεται το άθροισμα της λειτουργίας του διαιρέτη και των αρμονικών αριθμών.

Ο Mehdi Hassani είναι μέλος σχολής στο Τμήμα Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Zanjan, Ιράν. Τα πεδία ενδιαφέροντος του είναι στοιχειώδη, αναλυτική και πιθανοτική θεωρία αριθμών.

1. Πρωταρχικοί αριθμοί
1.1 Πρωταρχικά ως στοιχειώδη δομικά στοιχεία
1.2 Καταμέτρηση πρωτευόντων
1.3 Χρήση του λογάριθμου για την καταμέτρηση των δυνάμεων
1.4 Προσέγγιση για
1.5 Το θεώρημα του πρωταρχικού αριθμού
1.6 Μετρώντας λογικά λογικά τις πρωταρχικές δυνάμεις
1.7 Η υπόθεση του Ρίμαν & μια ματιά μπροστά
1.8 Πρόσθετες ασκήσεις

2. Η συνάρτηση zeta
2.1 Άπειρα ποσά
2.2 Σειρά για γνωστές λειτουργίες
2.3 Υπολογισμός ( zeta (2) )
2.4 Τύπος προϊόντος Euler & rsquos
2.5 Κοιτάζοντας πίσω και μια ματιά στο μέλλον
2.6 Πρόσθετες ασκήσεις

3. Η υπόθεση του Ρίμαν
3.1 Euler & rsquos ανακάλυψη του τύπου προϊόντος
3.2 Επέκταση του τομέα της συνάρτησης zeta
3.3 Ένα μάθημα συντριβής σε σύνθετους αριθμούς
3.4 Σύνθετες λειτουργίες και εξουσίες
3.5 Η σύνθετη συνάρτηση zeta
3.6 Τα μηδενικά της συνάρτησης zeta
3.7 Το κυνήγι για μηδενικά
3.8 Πρόσθετες ασκήσεις

4. Πρωταρχικά και η υπόθεση Ρίμαν
4.1 Λειτουργική εξίσωση Riemann & rsquos
4.2 Τα μηδενικά της συνάρτησης zeta
4.3 Ο ρητός τύπος για ( psi (x) )
4.4 Σύζευξη των μη ασήμαντων μηδενικών
4.5 Το θεώρημα του πρωταρχικού αριθμού
4.6 Μια απόδειξη του θεώρημα πρωταρχικού αριθμού
4.7 Η μουσική των πρώτων
4.8 Κοιτάζοντας πίσω
4.9 Πρόσθετες ασκήσεις

Παράρτημα Α. Γιατί είναι χρήσιμα τα μεγάλα πρωταρχικά
Παράρτημα B. Υποστήριξη υπολογιστών
Παράρτημα Γ. Περαιτέρω ανάγνωση και σερφάρισμα στο Διαδίκτυο
Παράρτημα Δ. Λύσεις στις ασκήσεις


Εδώ γιατί ενδιαφερόμαστε για τις προσπάθειες απόδειξης της υπόθεσης Ρίμαν

Ένα φημισμένο μαθηματικό αίνιγμα βρίσκεται και πάλι στο προσκήνιο.

Η υπόθεση Ρίμαν, που τέθηκε το 1859.

Ένα φημισμένο μαθηματικό αίνιγμα βρίσκεται και πάλι στο προσκήνιο.

Η υπόθεση Ρίμαν, που υποβλήθηκε το 1859 από τον Γερμανό μαθηματικό Bernhard Riemann, είναι ένα από τα μεγαλύτερα άλυτα παζλ στα μαθηματικά. Η υπόθεση, που θα μπορούσε να ξεκλειδώσει τα μυστήρια των πρώτων αριθμών, δεν έχει αποδειχθεί ποτέ. Όμως οι μαθηματικοί κάνουν μια νέα προσπάθεια.

Ο εκτιμώμενος μαθηματικός Michael Atiyah έκανε μια προσπάθεια να αποδείξει την υπόθεση σε μια διάλεξη στο Φόρουμ της Χαϊδελβέργης στη Γερμανία στις 24 Σεπτεμβρίου. Παρά το ανάστημα του Atiyah - ο οποίος έχει κερδίσει τις δύο πιο σημαντικές διακρίσεις στα μαθηματικά, το Medal Medal και το Βραβείο Abel - Πολλοί ερευνητές έχουν εκφράσει σκεπτικισμό σχετικά με την απόδειξη. Έτσι, η υπόθεση του Ρίμαν παραμένει έτοιμη.

Ας αναλύσουμε τι είναι η υπόθεση του Ρίμαν και τι σημαίνει μια επιβεβαιωμένη απόδειξη - αν βρεθεί ποτέ - για τα μαθηματικά.

Τι είναι η υπόθεση Ρίμαν;[ωωμ]

Η υπόθεση Riemann είναι μια δήλωση σχετικά με μια μαθηματική περιέργεια γνωστή ως συνάρτηση Riemann zeta. Αυτή η συνάρτηση συνδέεται στενά με πρωταρχικούς αριθμούς - ακέραιους αριθμούς που διαιρούνται ομοιόμορφα μόνο από το 1 και τους ίδιους. Οι πρωταρχικοί αριθμοί είναι μυστηριώδεις: Διασκορπίζονται σε ένα αδιάκριτο μοτίβο κατά μήκος της γραμμής αριθμών, καθιστώντας δύσκολο να προβλέψουμε πού θα πέσει κάθε πρώτος αριθμόςSN Online: 4/2/08).

Αλλά εάν η συνάρτηση Riemann zeta πληροί μια συγκεκριμένη προϋπόθεση, ο Riemann συνειδητοποίησε, θα αποκαλύψει μυστικά των πρωταρχικών αριθμών, όπως πόσα prime υπάρχουν κάτω από έναν δεδομένο αριθμό. Αυτή η απαιτούμενη προϋπόθεση είναι η υπόθεση Ρίμαν. Υποθέτει ότι ορισμένα μηδενικά της συνάρτησης - τα σημεία όπου η τιμή των συναρτήσεων είναι μηδέν - όλα βρίσκονται κατά μήκος μιας συγκεκριμένης γραμμής όταν σχεδιάζονται (SN: 9/27/08, σελ. 14). Εάν επιβεβαιωθεί η υπόθεση, θα μπορούσε να βοηθήσει στην έκθεση μιας μεθόδου για την τρέλα των πρώτων.

Γιατί είναι τόσο σημαντικό;[ωωμ]

Οι πρωταρχικοί αριθμοί είναι μαθηματικοί VIP: Όπως τα άτομα του περιοδικού πίνακα, είναι τα δομικά στοιχεία για μεγαλύτερους αριθμούς. Τα πρωταρχικά θέματα έχουν σημασία και για πρακτικούς σκοπούς, καθώς είναι σημαντικά για την ασφάλεια κρυπτογραφημένων μεταδόσεων που αποστέλλονται μέσω του Διαδικτύου. Και το σημαντικότερο, ένα πλήθος μαθηματικών εγγράφων θεωρεί την υπόθεση του Ρίμαν ως δεδομένη. Εάν αυτή η θεμελιώδης υπόθεση αποδειχτεί σωστή, "πολλά αποτελέσματα που πιστεύεται ότι είναι αληθινά θα είναι γνωστό ότι είναι αλήθεια", λέει ο μαθηματικός Ken Ono του Πανεπιστημίου Emory στην Ατλάντα. "Είναι ένα είδος μαθηματικού μαντείου."

Οι άνθρωποι δεν προσπάθησαν να το αποδείξουν πριν;[ωωμ]

Ναι Είναι δύσκολο να μετρηθεί ο αριθμός των προσπαθειών, αλλά πιθανώς εκατοντάδες ερευνητές έχουν δοκιμάσει τα χέρια τους σε μια απόδειξη. Μέχρι στιγμής καμία από τις αποδείξεις δεν έχει τεθεί σε έλεγχο. Το πρόβλημα είναι τόσο πεισματάρητο που έχει τώρα μια γενναιοδωρία στο κεφάλι του: Το Ινστιτούτο Μαθηματικών Clay έχει προσφέρει 1 εκατομμύριο δολάρια σε όποιον μπορεί να αποδείξει την υπόθεση του Ρίμαν.

Γιατί είναι τόσο δύσκολο να αποδειχθεί;[ωωμ]

Η λειτουργία Riemann zeta είναι ένα δύσκολο θηρίο με το οποίο μπορείτε να εργαστείτε. Ακόμα και ο ορισμός είναι πρόκληση, λέει ο Ono. Επιπλέον, η συνάρτηση έχει έναν άπειρο αριθμό μηδενικών. Εάν κάποιο από αυτά τα μηδενικά δεν βρίσκεται στην αναμενόμενη γραμμή του, η υπόθεση του Ρίμαν είναι λάθος. Και δεδομένου ότι υπάρχουν άπειρα μηδενικά, ο έλεγχος με μη αυτόματο τρόπο δεν θα λειτουργήσει. Αντίθετα, μια απόδειξη πρέπει να δείχνει χωρίς αμφιβολία ότι κανένα μηδέν δεν μπορεί να είναι ακραίο. Για δύσκολα μαθηματικά τεταρτημόρια όπως η υπόθεση Ρίμαν, η ράβδος αποδοχής μιας απόδειξης είναι εξαιρετικά υψηλή. Η επαλήθευση μιας τέτοιας απόδειξης απαιτεί συνήθως μήνες ή και χρόνια διπλού ελέγχου από άλλους μαθηματικούς προτού να πειστεί ο καθένας, ή η απόδειξη θεωρείται ελαττωματική.

Τι θα χρειαστεί για να αποδειχθεί η υπόθεση του Ρίμαν;[ωωμ]

Διάφοροι μαθηματικοί έχουν προχωρήσει σε κάποια απόδειξη. Ο Ono το παρομοιάζει με το να προσπαθεί να ανέβει στο Όρος Έβερεστ και να το κάνει στο base camp. Ενώ κάποιος έξυπνος μαθηματικός μπορεί τελικά να είναι σε θέση να ολοκληρώσει αυτήν την αναρρίχηση, ο Ono λέει, "υπάρχει αυτή η πεποίθηση ότι η απόλυτη απόδειξη ... εάν γίνει ποτέ, θα απαιτήσει ένα διαφορετικό επίπεδο μαθηματικών."


Συντακτικές κριτικές

Ανασκόπηση

Σε όλο το βιβλίο δίνονται προσεκτικές αποδείξεις για όλα τα αποτελέσματα που συζητήθηκαν, εισάγοντας μια εντυπωσιακή σειρά μαθηματικών εργαλείων. Πράγματι, το κύριο επίτευγμα του έργου είναι ο τρόπος με τον οποίο αποδεικνύει πώς όλες αυτές οι διαφορετικές θεματικές περιοχές μπορούν να ασκηθούν για την υπόθεση του Ρίμαν. Η έκθεση είναι προσβάσιμη σε ισχυρούς προπτυχιακούς φοιτητές, αλλά ακόμη και ειδικοί θα βρουν υλικό εδώ για να τους ενδιαφέρουν ». D. R. Heath-Brown, Μαθηματικές κριτικές

«Αυτός ο κατάλογος δύο τόμων πολλών από τα διάφορα ισοδύναμα της υπόθεσης Riemann από τον Kevin Broughan είναι μια πολύτιμη προσθήκη στη βιβλιογραφία… όλοι σε αυτούς τους δύο τόμους είναι απαραίτητοι για όσους ενδιαφέρονται για την υπόθεση Ρίμαν.» Steven Decke, MAA Κριτικές

«Οι δύο τόμοι είναι ένας πολύτιμος πόρος και μια συναρπαστική ανάγνωση για ένα πιο ενδιαφέρον πρόβλημα». Ρ.Σ. Ενημερωτικό δελτίο MacKay, London Mathematical Society

«Όλα αυτά τα βιβλία χρησιμεύουν ως μια καλή εισαγωγή σε ένα ευρύ φάσμα μαθηματικών που σχετίζονται με την υπόθεση Ρίμαν και συμβάλλουν σε μια πολύτιμη συμβολή στη λογοτεχνία. Είναι πραγματικά εγκυκλοπαιδικοί και είμαι βέβαιος ότι θα δελεάσει πολλούς αναγνώστες να συμβουλευτούν κάποια βιβλιογραφία που αναφέρθηκε και ποιος ξέρει, τελικά θα συμβάλει στην περιοχή. »Pieter Moree, Nieuw Archief voor Wiskunde

«Αυτό το βιβλίο μπορεί να χρησιμεύσει ως αναφορά για την υπόθεση Ρίμαν και τις αντίστοιχες διατυπώσεις του ή ως έμπνευση για όλους όσους ενδιαφέρονται για τη θεωρία αριθμών. Είναι γραμμένο σε πολύ ευανάγνωστο στυλ και για τα περισσότερα μέρη βασίζεται μόνο σε βασικές γνώσεις (σύνθετη ανάλυση). Έτσι μπορεί επίσης να χρησιμεύσει ως (κάπως συγκεκριμένη) εισαγωγή στη θεωρία των αναλυτικών αριθμών. »J. Mahnkopf, Εγκυκλοπαίδεια των Μαθηματικών και οι Εφαρμογές της


Περιεχόμενα

Η συνάρτηση Riemann zeta ορίζεται για το συγκρότημα μικρό με πραγματικό μέρος μεγαλύτερο από 1 από την απόλυτα συγκλίνουσα άπειρη σειρά

Ο Leonhard Euler εξέτασε ήδη αυτή τη σειρά τη δεκαετία του 1730 για πραγματικές τιμές του s, σε συνδυασμό με τη λύση του στο πρόβλημα της Βασιλείας. Επίσης απέδειξε ότι ισούται με το προϊόν Euler

όπου το άπειρο προϊόν εκτείνεται σε όλους τους πρώτους αριθμούς Π. [2]

Η υπόθεση Ρίμαν συζητά μηδενικά εκτός της περιοχής σύγκλισης αυτής της σειράς και του προϊόντος Euler. Για να κατανοήσετε την υπόθεση, είναι απαραίτητο να συνεχίσετε αναλυτικά τη συνάρτηση για να αποκτήσετε μια φόρμα που να ισχύει για όλα τα σύνθετα μικρό. Αυτό επιτρέπεται επειδή η συνάρτηση zeta είναι μερομορφική, επομένως η αναλυτική της συνέχιση είναι εγγυημένη ότι είναι μοναδικές και λειτουργικές μορφές ισοδύναμες με τους τομείς τους. Ένα ξεκινά δείχνοντας ότι η συνάρτηση zeta και η συνάρτηση Dirichlet eta ικανοποιούν τη σχέση

Αλλά η σειρά στα δεξιά συγκλίνει όχι μόνο όταν το πραγματικό μέρος του μικρό είναι μεγαλύτερο από ένα, αλλά γενικότερα κάθε φορά μικρό έχει θετικό πραγματικό μέρος. Έτσι, αυτή η εναλλακτική σειρά επεκτείνει τη συνάρτηση zeta από το Re (μικρό) & gt 1 στον μεγαλύτερο τομέα Re (μικρό) & gt 0, εξαιρουμένων των μηδενικών s = 1 + 2 π i n / log ⁡ 2 < displaystyle s = 1 + 2 pi in / log 2> of 1 - 2/2 s < displaystyle 1-2 / 2 ^> όπου n < displaystyle n> είναι οποιοσδήποτε μηδενικός ακέραιος (βλέπε Dirichlet eta συνάρτηση). Η συνάρτηση zeta μπορεί να επεκταθεί και σε αυτές τις τιμές λαμβάνοντας όρια, δίνοντας μια πεπερασμένη τιμή για όλες τις τιμές του μικρό με θετικό πραγματικό μέρος εκτός από τον απλό πόλο στο μικρό = 1.

Στη λωρίδα 0 & lt Re (μικρό) & lt 1 η συνάρτηση zeta ικανοποιεί τη λειτουργική εξίσωση

Κάποιος μπορεί στη συνέχεια να ορίσει ζ (μικρό) για όλους τους υπόλοιπους μη μηδενικούς σύνθετους αριθμούς μικρό (Πρ (μικρό≤ 0 και μικρό ≠ 0) εφαρμόζοντας αυτήν την εξίσωση έξω από τη λωρίδα και αφήνοντας ζ (μικρό) ίση με τη δεξιά πλευρά της εξίσωσης όποτε μικρό έχει μη θετικό πραγματικό μέρος (και μικρό ≠ 0).

Αν μικρό είναι αρνητικός ακόμη και ακέραιος τότε ζ (μικρό) = 0 επειδή ο παράγοντας sin (πμικρό/ 2) εξαφανίζεται αυτά είναι ασήμαντα μηδενικά της συνάρτησης zeta. (Αν μικρό είναι θετικός ακόμη και ακέραιος, αυτό το όρισμα δεν ισχύει επειδή τα μηδενικά της ημιτονοειδούς συνάρτησης ακυρώνονται από τους πόλους της συνάρτησης γάμμα καθώς παίρνει αρνητικά ακέραια επιχειρήματα.)

Η τιμή ζ (0) = −1/2 δεν καθορίζεται από τη λειτουργική εξίσωση, αλλά είναι η οριακή τιμή του ζ (μικρό) όπως και μικρό πλησιάζει το μηδέν. Η λειτουργική εξίσωση υπονοεί επίσης ότι η συνάρτηση zeta δεν έχει μηδενικά με αρνητικό πραγματικό μέρος εκτός από τα ασήμαντα μηδενικά, οπότε όλα τα μη ασήμαντα μηδενικά βρίσκονται στην κρίσιμη λωρίδα όπου μικρό έχει πραγματικό μέρος μεταξύ 0 και 1.

. es ist sehr wahrscheinlich, dass alle Wurzeln reell sind. Hiervon wäre allerdings ein strenger Beweis zu wünschen ich habe indess die Aufsuchung desselben nach einigen flüchtigen vergeblichen Versuchen vorläufig bei Seite gelassen, da er für den nächsten Zweck meiner Untersuchung entbehr.

. είναι πολύ πιθανό ότι όλες οι ρίζες είναι πραγματικές. Φυσικά κάποιος θα επιθυμούσε μια αυστηρή απόδειξη εδώ, προς το παρόν, μετά από κάποιες ματαιώδεις προσπάθειες, να αφήσω προσωρινά την έρευνα για αυτό, καθώς φαίνεται ότι είναι απαράδεκτο για τον άμεσο στόχο της έρευνάς μου.

Το αρχικό κίνητρο του Riemann για τη μελέτη της συνάρτησης zeta και των μηδενικών της ήταν η εμφάνισή τους στη ρητή φόρμουλα του για τον αριθμό των πρώτων π (Χ) μικρότερο ή ίσο με έναν δεδομένο αριθμό Χ, το οποίο δημοσίευσε στην εφημερίδα του 1859 με τίτλο "Σχετικά με τον αριθμό των πρωτογενών λιγότερο από ένα δεδομένο μέγεθος". Ο τύπος του δόθηκε από την άποψη της σχετικής λειτουργίας

που μετράει τα πρωταρχικά και τα πρωταρχικά Χ, μετρώντας μια πρωταρχική δύναμη Π ν ως 1 ⁄ ν . Ο αριθμός των πρώτων μπορεί να ανακτηθεί από αυτήν τη συνάρτηση χρησιμοποιώντας τον τύπο αντιστροφής Möbius,

όπου μ είναι η συνάρτηση Möbius. Ο τύπος του Riemann είναι τότε

όπου το άθροισμα είναι πάνω από τα μηδενικά μηδενικά της συνάρτησης zeta και όπου Π0 είναι μια ελαφρώς τροποποιημένη έκδοση του Π που αντικαθιστά την τιμή της στα σημεία ασυνέχειας από τον μέσο όρο των άνω και κάτω ορίων του:

Το άθροισμα στον τύπο του Riemann δεν είναι απολύτως συγκλίνουσα, αλλά μπορεί να αξιολογηθεί λαμβάνοντας τα μηδενικά ρ με τη σειρά της απόλυτης τιμής του φανταστικού τους μέρους. Η συνάρτηση li που εμφανίζεται στον πρώτο όρο είναι η (απροσδόκητη) λογαριθμική αναπόσπαστη συνάρτηση που δίνεται από την κύρια τιμή του Cauchy του αποκλίνοντος ακέραιου

Οι όροι li (Χ ρ ) η συμμετοχή των μηδενικών της συνάρτησης zeta χρειάζεται κάποια προσοχή στον ορισμό τους, καθώς το li έχει σημεία διακλάδωσης στα 0 και 1, και ορίζονται (για Χ & gt 1) με αναλυτική συνέχεια στη σύνθετη μεταβλητή ρ στην περιοχή Re (ρ) & gt 0, δηλαδή πρέπει να θεωρούνται Ei (ρ κούτσουρο Χ). Οι άλλοι όροι αντιστοιχούν επίσης σε μηδενικά: ο κυρίαρχος όρος li (Χ) προέρχεται από τον πόλο στο μικρό = 1, θεωρείται μηδέν πολλαπλότητας −1, και οι υπόλοιποι μικροί όροι προέρχονται από τα ασήμαντα μηδενικά. Για μερικά γραφήματα των αθροισμάτων των πρώτων όρων αυτής της σειράς δείτε τους Riesel & amp Göhl (1970) ή Zagier (1977).

Αυτός ο τύπος λέει ότι τα μηδενικά της συνάρτησης Zeta Riemann ελέγχουν τις ταλαντώσεις των πρώτων γύρω από τις «αναμενόμενες» θέσεις τους. Ο Riemann γνώριζε ότι τα μη ασήμαντα μηδενικά της συνάρτησης zeta κατανεμήθηκαν συμμετρικά για τη γραμμή μικρό = 1/2 + τοκαι ήξερε ότι όλα τα μη ασήμαντα μηδενικά του πρέπει να βρίσκονται στην περιοχή 0 ≤ Re (μικρό≤ 1. Έλεγξε ότι μερικά από τα μηδενικά βρισκόταν στην κρίσιμη γραμμή με το πραγματικό μέρος 1/2 και πρότεινε ότι όλοι το κάνουν αυτό είναι η υπόθεση του Ρίμαν.

Οι πρακτικές χρήσεις της υπόθεσης Ρίμαν περιλαμβάνουν πολλές προτάσεις που είναι γνωστό ότι είναι αληθινές υπό την υπόθεση Ρίμαν, και μερικές που μπορεί να αποδειχθεί ότι είναι ισοδύναμες με την υπόθεση Ρίμαν.

Κατανομή των πρώτων αριθμών

Ο Von Koch (1901) απέδειξε ότι η υπόθεση του Ρίμαν υπονοεί το «καλύτερο δυνατό» δεσμευμένο για το σφάλμα του πρωταρχικού θεωρήματος αριθμού. Μια ακριβής εκδοχή του αποτελέσματος του Koch, λόγω του Schoenfeld (1976), λέει ότι η υπόθεση του Ρίμαν υπονοεί

όπου π (Χ) είναι η συνάρτηση πρωταρχικής καταμέτρησης και log (Χ) είναι ο φυσικός λογάριθμος του Χ.

Ο Schoenfeld (1976) έδειξε επίσης ότι η υπόθεση του Ρίμαν συνεπάγεται

Αυτή είναι μια ρητή εκδοχή ενός θεωρήματος του Cramér.

Ανάπτυξη αριθμητικών συναρτήσεων

Η υπόθεση Ρίμαν συνεπάγεται ισχυρά όρια στην ανάπτυξη πολλών άλλων αριθμητικών συναρτήσεων, εκτός από τη συνάρτηση μέτρησης των πρώτων.

Ένα παράδειγμα αφορά τη συνάρτηση Möbius μ. Η δήλωση ότι η εξίσωση

ισχύει για κάθε μικρό με πραγματικό μέρος μεγαλύτερο από 1/2, με το άθροισμα στη δεξιά πλευρά να συγκλίνει, ισοδυναμεί με την υπόθεση Ρίμαν. Από αυτό μπορούμε επίσης να συμπεράνουμε ότι εάν η συνάρτηση Mertens ορίζεται από

για κάθε θετικό ε είναι ισοδύναμο με την υπόθεση του Ρίμαν (J.E. Littlewood, 1912 βλ. για παράδειγμα: παράγραφος 14.25 στο Titchmarsh (1986)). (Για την έννοια αυτών των συμβόλων, δείτε τη σημείωση Big O.) Ο καθοριστικός παράγοντας της παραγγελίας ν Το Redheffer matrix είναι ίσο με Μ(ν), έτσι η υπόθεση Ρίμαν μπορεί επίσης να δηλωθεί ως προϋπόθεση για την ανάπτυξη αυτών των καθοριστικών παραγόντων. Η υπόθεση του Ρίμαν θέτει ένα μάλλον σφιχτό δεσμό στην ανάπτυξη του Μ, αφού ο Odlyzko & ο Riele (1985) απέδειξαν την ελαφρώς ισχυρότερη υπόθεση του Mertens

Η υπόθεση Riemann είναι ισοδύναμη με πολλές άλλες εικασίες σχετικά με τον ρυθμό ανάπτυξης άλλων αριθμητικών συναρτήσεων εκτός από το μ (ν). Ένα τυπικό παράδειγμα είναι το θεώρημα του Robin, [5] που δηλώνει ότι εάν σ (ν) είναι η λειτουργία διαιρέτη, που δίνεται από

για όλα ν & gt 5040 εάν και μόνο εάν η υπόθεση Ρίμαν είναι αλήθεια, όπου γ είναι η σταθερά Euler – Mascheroni.

Ένα άλλο παράδειγμα βρέθηκε από τον Jérôme Franel και επεκτάθηκε από τον Landau (βλ. Franel & amp; Landau (1924)). Η υπόθεση Ρίμαν αντιστοιχεί σε πολλές δηλώσεις που δείχνουν ότι οι όροι της ακολουθίας Farey είναι αρκετά κανονικοί. Μία τέτοια ισοδυναμία έχει ως εξής: εάν φάν είναι η ακολουθία της σειράς Farey ν, ξεκινώντας με 1 /ν και έως το 1/1, τότε ο ισχυρισμός ότι για όλα τα ε & gt 0

είναι ισοδύναμη με την υπόθεση Ρίμαν. Εδώ

είναι ο αριθμός των όρων στην ακολουθία παραγγελίας του Farey ν.

Για παράδειγμα από τη θεωρία της ομάδας, εάν σολ(ν) είναι η λειτουργία του Landau που δίνεται από τη μέγιστη σειρά στοιχείων της συμμετρικής ομάδας μικρόν πτυχίου ν, τότε οι Massias, Nicolas & Robin (1988) έδειξαν ότι η υπόθεση Ρίμαν είναι ισοδύναμη με τη δέσμευση

για όλα αρκετά μεγάλα ν.

Υπόθεση Lindelöf και ανάπτυξη της συνάρτησης zeta

Η υπόθεση του Ρίμαν έχει διάφορες ασθενέστερες συνέπειες, καθώς και η υπόθεση Lindelöf σχετικά με τον ρυθμό ανάπτυξης της συνάρτησης zeta στην κρίσιμη γραμμή, η οποία λέει ότι, για οποιαδήποτε ε & gt 0,

Η υπόθεση του Ρίμαν συνεπάγεται επίσης αρκετά έντονα όρια για τον ρυθμό ανάπτυξης της συνάρτησης zeta σε άλλες περιοχές της κρίσιμης λωρίδας. Για παράδειγμα, αυτό υπονοεί ότι

έτσι ο ρυθμός ανάπτυξης του ζ (1+το) και το αντίστροφό του θα ήταν γνωστό ως συντελεστή 2. [6]

Μεγάλη εικασία πρωταρχικού κενού

Το θεώρημα του πρωταρχικού αριθμού υποδηλώνει ότι κατά μέσο όρο, το χάσμα μεταξύ του πρώτου Π και ο διάδοχός του είναι αρχείο καταγραφής Π. Ωστόσο, ορισμένα κενά μεταξύ των πρώτων μπορεί να είναι πολύ μεγαλύτερα από το μέσο όρο. Ο Cramér απέδειξε ότι, με την υπόθεση της Ρίμαν, κάθε κενό είναι Ο( √ Π κούτσουρο Π). Αυτή είναι μια περίπτωση στην οποία ακόμη και το καλύτερο όριο που μπορεί να αποδειχθεί χρησιμοποιώντας την υπόθεση Ρίμαν είναι πολύ πιο αδύναμο από αυτό που φαίνεται αληθινό: η εικασία του Κράιμερ υπονοεί ότι κάθε κενό είναι Ο((κούτσουρο Π) 2), το οποίο, ενώ είναι μεγαλύτερο από το μέσο κενό, είναι πολύ μικρότερο από το όριο που υπονοεί η υπόθεση του Ρίμαν. Τα αριθμητικά στοιχεία υποστηρίζουν την υπόθεση του Cramér. [7]

Αναλυτικά κριτήρια ισοδύναμα με την υπόθεση Ρίμαν

Έχουν βρεθεί πολλές δηλώσεις ισοδύναμες με την υπόθεση του Ρίμαν, αν και μέχρι στιγμής καμία από αυτές δεν έχει οδηγήσει σε μεγάλη πρόοδο στην απόδειξη (ή την απόρριψη). Μερικά τυπικά παραδείγματα έχουν ως εξής. (Άλλοι περιλαμβάνουν τη λειτουργία διαιρέτη σ (ν).)

Το κριτήριο του Riesz δόθηκε από τον Riesz (1916), ότι το δεσμευμένο

ισχύει για όλα τα ε & gt 0 εάν και μόνο εάν ισχύει η υπόθεση Ρίμαν.

Ο Nyman (1950) απέδειξε ότι η υπόθεση Ρίμαν είναι αληθής εάν και μόνο εάν ο χώρος των λειτουργιών της φόρμας

όπου ρ (ζ) είναι το κλασματικό μέρος του ζ, 0 ≤ θν ≤ 1, και

είναι πυκνό στο χώρο του Χίλμπερτ μεγάλο 2 (0,1) τετραγωνικά ενσωματώσιμων συναρτήσεων στο διάστημα μονάδας. Ο Beurling (1955) το επέκτεινε δείχνοντας ότι η συνάρτηση zeta δεν έχει μηδενικά με πραγματικό μέρος μεγαλύτερο από 1 /Π εάν και μόνο εάν αυτός ο χώρος λειτουργίας είναι πυκνός L σ (0,1)

Ο Salem (1953) έδειξε ότι η υπόθεση Ρίμαν είναι αληθής εάν και μόνο εάν η ολοκληρωμένη εξίσωση

Κριτήριο του Weil είναι η δήλωση ότι η θετικότητα μιας συγκεκριμένης συνάρτησης είναι ισοδύναμη με την υπόθεση του Ρίμαν. Σχετικό είναι το κριτήριο του Λι, μια δήλωση ότι η θετικότητα μιας συγκεκριμένης ακολουθίας αριθμών είναι ισοδύναμη με την υπόθεση του Ρίμαν.

Η ακολουθία Farey παρέχει δύο ισοδυναμίες, λόγω των Jerome Franel και Edmund Landau το 1924.

Η σταθερά De Bruijn – Newman επισημαίνεται με Λ και πήρε το όνομά του από τους Nicolaas Govert de Bruijn και Charles M. Newman, ορίζεται μέσω των μηδενικών της συνάρτησης

που χρησιμοποιεί μια πραγματική παράμετρο λ, μια σύνθετη μεταβλητή ζ και μια συνάρτηση υπερ-εκθετικά αποσύνθεσης που ορίζεται ως

Δεδομένου ότι η υπόθεση Ρίμαν αντιστοιχεί στον ισχυρισμό ότι όλα τα μηδενικά Η(0, ζ) είναι αληθινά, η υπόθεση του Ρίμαν ισοδυναμεί με την υπόθεση ότι Λ ≤ 0 < displaystyle Lambda leq 0>. Ο Brad Rodgers και ο Terence Tao ανακάλυψαν ότι η ισοδυναμία είναι στην πραγματικότητα Λ = 0 < displaystyle Lambda = 0> αποδεικνύοντας το μηδέν ως το κατώτερο όριο της σταθεράς. [8] Η απόδειξη του μηδενός είναι επίσης το ανώτερο όριο θα αποδείξει επομένως την υπόθεση Ρίμαν. Από τον Απρίλιο του 2020 το ανώτατο όριο είναι Λ ≤ 0,2 < displaystyle Lambda leq 0,2>. [9]

Συνέπειες της γενικευμένης υπόθεσης Ρίμαν

Πολλές εφαρμογές χρησιμοποιούν τη γενικευμένη υπόθεση Riemann για συναρτήσεις Dirichlet L-series ή zeta των αριθμών πεδίων και όχι μόνο την υπόθεση Riemann. Πολλές βασικές ιδιότητες της συνάρτησης Riemann zeta μπορούν εύκολα να γενικευτούν σε όλες τις σειρές Dirichlet L, οπότε είναι εύλογο ότι μια μέθοδος που αποδεικνύει την υπόθεση Riemann για τη συνάρτηση Riemann zeta θα λειτουργούσε επίσης για τη γενικευμένη υπόθεση Riemann για Dirichlet L-functions. Αρκετά αποτελέσματα αποδείχθηκαν για πρώτη φορά χρησιμοποιώντας τη γενικευμένη υπόθεση Ρίμαν, αργότερα δόθηκαν άνευ όρων αποδείξεις χωρίς να τη χρησιμοποιήσουν, αν και αυτά ήταν συνήθως πολύ πιο δύσκολα. Πολλές από τις συνέπειες στον ακόλουθο κατάλογο προέρχονται από τον Conrad (2010).

  • Το 1913, ο Grönwall έδειξε ότι η γενικευμένη υπόθεση Ρίμαν υποδηλώνει ότι η λίστα των φανταστικών τετραγωνικών πεδίων του Γκαους με την τάξη 1 είναι πλήρης, αν και οι Baker, Stark και Heegner αργότερα έδωσαν αποδείξεις χωρίς όρους χωρίς να χρησιμοποιήσουν τη γενικευμένη υπόθεση Ρίμαν.
  • Το 1917, ο Hardy και ο Littlewood έδειξαν ότι η γενικευμένη υπόθεση του Ρίμαν υπονοεί μια εικασία του Chebyshev ότι
  • Το 1923, ο Hardy και ο Littlewood έδειξαν ότι η γενικευμένη υπόθεση του Ρίμαν υποδηλώνει μια αδύναμη μορφή της εικασίας του Goldbach για περίεργους αριθμούς: ότι κάθε αρκετά μεγάλος αριθμός είναι το άθροισμα τριών πρώτων, αν και το 1937 ο Vinogradov έδωσε μια άνευ όρων απόδειξη. Το 1997, οι Deshouillers, Effinger, te Riele και Zinoviev έδειξαν ότι η γενικευμένη υπόθεση Ρίμαν υποδηλώνει ότι κάθε περίεργος αριθμός μεγαλύτερος από 5 είναι το άθροισμα των τριών πρώτων. Το 2013 ο Harald Helfgott απέδειξε την τριμερή εικασία Goldbach χωρίς την εξάρτηση GRH, υπό τον όρο ορισμένων εκτεταμένων υπολογισμών που ολοκληρώθηκαν με τη βοήθεια του David J. Platt.
  • Το 1934, ο Τσούλα έδειξε ότι η γενικευμένη υπόθεση Ρίμαν υποδηλώνει ότι ο πρώτος πρωταρχικός στην αριθμητική εξέλιξη ένα mod Μ είναι το πολύ Χλμ 2 ημερολόγιο (Μ) 2 για κάποια σταθερή σταθερά κ.
  • Το 1967, ο Hooley έδειξε ότι η γενικευμένη υπόθεση Ρίμαν υποδηλώνει την εικασία του Άρτιν στις πρωτόγονες ρίζες.
  • Το 1973, ο Weinberger έδειξε ότι η γενικευμένη υπόθεση του Ρίμαν υποδηλώνει ότι η λίστα των idoneal αριθμών του Euler είναι πλήρης. έδειξε ότι η γενικευμένη υπόθεση Ρίμαν για τις συναρτήσεις zeta όλων των αλγεβρικών πεδίων αριθμών υποδηλώνει ότι οποιοδήποτε πεδίο αριθμού με αριθμό κλάσης 1 είναι είτε Ευκλείδη ή ένα φανταστικό τετραγωνικό πεδίο αριθμού διακριτικών −19, −43, −67 ή −163.
  • Το 1976, ο Γ. Μίλερ έδειξε ότι η γενικευμένη υπόθεση Ρίμαν υποδηλώνει ότι μπορεί κανείς να ελέγξει εάν ένας αριθμός είναι πρωταρχικός σε πολυωνυμικό χρόνο μέσω του τεστ Miller. Το 2002, οι Manindra Agrawal, Neeraj Kayal και Nitin Saxena απέδειξαν αυτό το αποτέλεσμα χωρίς όρους χρησιμοποιώντας το τεστ πρωτότητας AKS. discussed how the generalized Riemann hypothesis can be used to give sharper estimates for discriminants and class numbers of number fields. showed that the generalized Riemann hypothesis implies that Ramanujan's integral quadratic formΧ 2 + γ 2 + 10ζ 2 represents all integers that it represents locally, with exactly 18 exceptions.

Excluded middle

Some consequences of the RH are also consequences of its negation, and are thus theorems. In their discussion of the Hecke, Deuring, Mordell, Heilbronn theorem, Ireland & Rosen (1990, p. 359) say

The method of proof here is truly amazing. If the generalized Riemann hypothesis is true, then the theorem is true. If the generalized Riemann hypothesis is false, then the theorem is true. Thus, the theorem is true!! (punctuation in original)

Care should be taken to understand what is meant by saying the generalized Riemann hypothesis is false: one should specify exactly which class of Dirichlet series has a counterexample.

Littlewood's theorem

This concerns the sign of the error in the prime number theorem. It has been computed that π(Χ) < li(Χ) for all Χ ≤ 10 25 (see this table), and no value of Χ is known for which π(Χ) > li(Χ).

In 1914 Littlewood proved that there are arbitrarily large values of Χ for which

and that there are also arbitrarily large values of Χ for which

Thus the difference π(Χ) − li(Χ) changes sign infinitely many times. Skewes' number is an estimate of the value of Χ corresponding to the first sign change.

Littlewood's proof is divided into two cases: the RH is assumed false (about half a page of Ingham 1932, Chapt. V), and the RH is assumed true (about a dozen pages). (Stanisław Knapowski [[#CITEREFKnapowski|]]) followed this up with a paper on the number of times Δ ( n ) changes sign in the interval Δ ( n ) .

Gauss's class number conjecture

This is the conjecture (first stated in article 303 of Gauss's Disquisitiones Arithmeticae) that there are only finitely many imaginary quadratic fields with a given class number. One way to prove it would be to show that as the discriminant ρε → −∞ the class number η(ρε) → ∞.

The following sequence of theorems involving the Riemann hypothesis is described in Ireland & Rosen 1990, pp. 358–361:

Theorem (Hecke 1918). Αφήνω ρε < 0 be the discriminant of an imaginary quadratic number field κ. Assume the generalized Riemann hypothesis for μεγάλο-functions of all imaginary quadratic Dirichlet characters. Then there is an absolute constant ντο έτσι

h ( D ) > C | D | log ⁡ | D | . >>.>

Theorem (Deuring 1933). If the RH is false then η(ρε) > 1 if |ρε| is sufficiently large.

Theorem (Mordell 1934). If the RH is false then η(ρε) → ∞ as ρε → −∞.

Theorem (Heilbronn 1934). If the generalized RH is false for the μεγάλο-function of some imaginary quadratic Dirichlet character then η(ρε) → ∞ as ρε → −∞.

(In the work of Hecke and Heilbronn, the only μεγάλο-functions that occur are those attached to imaginary quadratic characters, and it is only for those μεγάλο-functions that GRH is true ή GRH is false is intended a failure of GRH for the μεγάλο-function of a cubic Dirichlet character would, strictly speaking, mean GRH is false, but that was not the kind of failure of GRH that Heilbronn had in mind, so his assumption was more restricted than simply GRH is false.)

In 1935, Carl Siegel later strengthened the result without using RH or GRH in any way.

Growth of Euler's totient

Dirichlet L-series and other number fields

The Riemann hypothesis can be generalized by replacing the Riemann zeta function by the formally similar, but much more general, global L-functions. In this broader setting, one expects the non-trivial zeros of the global μεγάλο-functions to have real part 1/2. It is these conjectures, rather than the classical Riemann hypothesis only for the single Riemann zeta function, which account for the true importance of the Riemann hypothesis in mathematics.

The generalized Riemann hypothesis extends the Riemann hypothesis to all Dirichlet L-functions. In particular it implies the conjecture that Siegel zeros (zeros of μεγάλο-functions between 1/2 and 1) do not exist.

The extended Riemann hypothesis extends the Riemann hypothesis to all Dedekind zeta functions of algebraic number fields. The extended Riemann hypothesis for abelian extension of the rationals is equivalent to the generalized Riemann hypothesis. The Riemann hypothesis can also be extended to the μεγάλο-functions of Hecke characters of number fields.

Function fields and zeta functions of varieties over finite fields

Artin (1924) introduced global zeta functions of (quadratic) function fields and conjectured an analogue of the Riemann hypothesis for them, which has been proved by Hasse in the genus 1 case and by Weil (1948) in general. For instance, the fact that the Gauss sum, of the quadratic character of a finite field of size ε (με ε odd), has absolute value q >> is actually an instance of the Riemann hypothesis in the function field setting. This led Weil (1949) to conjecture a similar statement for all algebraic varieties the resulting Weil conjectures were proved by Pierre Deligne (1974, 1980).

Arithmetic zeta functions of arithmetic schemes and their L-factors

Arithmetic zeta functions generalise the Riemann and Dedekind zeta functions as well as the zeta functions of varieties over finite fields to every arithmetic scheme or a scheme of finite type over integers. The arithmetic zeta function of a regular connected equidimensional arithmetic scheme of Kronecker dimension ν can be factorized into the product of appropriately defined L-factors and an auxiliary factor Jean-Pierre Serre (1969–1970). Assuming a functional equation and meromorphic continuation, the generalized Riemann hypothesis for the L-factor states that its zeros inside the critical strip ℜ ( s ) ∈ ( 0 , n ) lie on the central line. Correspondingly, the generalized Riemann hypothesis for the arithmetic zeta function of a regular connected equidimensional arithmetic scheme states that its zeros inside the critical strip lie on vertical lines ℜ ( s ) = 1 / 2 , 3 / 2 , … , n − 1 / 2 and its poles inside the critical strip lie on vertical lines ℜ ( s ) = 1 , 2 , … , n − 1 . This is known for schemes in positive characteristic and follows from Pierre Deligne (1974, 1980), but remains entirely unknown in characteristic zero.

Selberg zeta functions

Selberg (1956) introduced the Selberg zeta function of a Riemann surface. These are similar to the Riemann zeta function: they have a functional equation, and an infinite product similar to the Euler product but taken over closed geodesics rather than primes. The Selberg trace formula is the analogue for these functions of the explicit formulas in prime number theory. Selberg proved that the Selberg zeta functions satisfy the analogue of the Riemann hypothesis, with the imaginary parts of their zeros related to the eigenvalues of the Laplacian operator of the Riemann surface.

Ihara zeta functions

The Ihara zeta function of a finite graph is an analogue of the Selberg zeta function, which was first introduced by Yasutaka Ihara in the context of discrete subgroups of the two-by-two p-adic special linear group. A regular finite graph is a Ramanujan graph, a mathematical model of efficient communication networks, if and only if its Ihara zeta function satisfies the analogue of the Riemann hypothesis as was pointed out by T. Sunada.

Montgomery's pair correlation conjecture

Montgomery (1973) suggested the pair correlation conjecture that the correlation functions of the (suitably normalized) zeros of the zeta function should be the same as those of the eigenvalues of a random hermitian matrix. Odlyzko (1987) showed that this is supported by large-scale numerical calculations of these correlation functions.

Montgomery showed that (assuming the Riemann hypothesis) at least 2/3 of all zeros are simple, and a related conjecture is that all zeros of the zeta function are simple (or more generally have no non-trivial integer linear relations between their imaginary parts). Dedekind zeta functions of algebraic number fields, which generalize the Riemann zeta function, often do have multiple complex zeros. [11] This is because the Dedekind zeta functions factorize as a product of powers of Artin L-functions, so zeros of Artin L-functions sometimes give rise to multiple zeros of Dedekind zeta functions. Other examples of zeta functions with multiple zeros are the L-functions of some elliptic curves: these can have multiple zeros at the real point of their critical line the Birch-Swinnerton-Dyer conjecture predicts that the multiplicity of this zero is the rank of the elliptic curve.

Other zeta functions

There are many other examples of zeta functions with analogues of the Riemann hypothesis, some of which have been proved. Goss zeta functions of function fields have a Riemann hypothesis, proved by Sheats (1998). The main conjecture of Iwasawa theory, proved by Barry Mazur and Andrew Wiles for cyclotomic fields, and Wiles for totally real fields, identifies the zeros of a Π-adic μεγάλο-function with the eigenvalues of an operator, so can be thought of as an analogue of the Hilbert–Pólya conjecture for Π-adic μεγάλο-functions. [12]

Several mathematicians have addressed the Riemann hypothesis, but none of their attempts has yet been accepted as a proof. Watkins (2007) lists some incorrect solutions.

Operator theory

Hilbert and Pólya suggested that one way to derive the Riemann hypothesis would be to find a self-adjoint operator, from the existence of which the statement on the real parts of the zeros of ζ(μικρό) would follow when one applies the criterion on real eigenvalues. Some support for this idea comes from several analogues of the Riemann zeta functions whose zeros correspond to eigenvalues of some operator: the zeros of a zeta function of a variety over a finite field correspond to eigenvalues of a Frobenius element on an étale cohomology group, the zeros of a Selberg zeta function are eigenvalues of a Laplacian operator of a Riemann surface, and the zeros of a p-adic zeta function correspond to eigenvectors of a Galois action on ideal class groups.

Odlyzko (1987) showed that the distribution of the zeros of the Riemann zeta function shares some statistical properties with the eigenvalues of random matrices drawn from the Gaussian unitary ensemble. This gives some support to the Hilbert–Pólya conjecture.

and even more strongly, that the Riemann zeros coincide with the spectrum of the operator 1 / 2 + i H ^ >> . This is in contrast to canonical quantization, which leads to the Heisenberg uncertainty principle σ x σ p ≥ ℏ 2 sigma _

geq <2>>> and the natural numbers as spectrum of the quantum harmonic oscillator. The crucial point is that the Hamiltonian should be a self-adjoint operator so that the quantization would be a realization of the Hilbert–Pólya program. In a connection with this quantum mechanical problem Berry and Connes had proposed that the inverse of the potential of the Hamiltonian is connected to the half-derivative of the function

The analogy with the Riemann hypothesis over finite fields suggests that the Hilbert space containing eigenvectors corresponding to the zeros might be some sort of first cohomology group of the spectrum Spec (Ζ) of the integers. Deninger (1998) described some of the attempts to find such a cohomology theory. [14]

Zagier (1981) constructed a natural space of invariant functions on the upper half plane that has eigenvalues under the Laplacian operator that correspond to zeros of the Riemann zeta function—and remarked that in the unlikely event that one could show the existence of a suitable positive definite inner product on this space, the Riemann hypothesis would follow. Cartier (1982) discussed a related example, where due to a bizarre bug a computer program listed zeros of the Riemann zeta function as eigenvalues of the same Laplacian operator.

Schumayer & Hutchinson (2011) surveyed some of the attempts to construct a suitable physical model related to the Riemann zeta function.

Lee–Yang theorem

The Lee–Yang theorem states that the zeros of certain partition functions in statistical mechanics all lie on a "critical line" with their real part equals to 0, and this has led to some speculation about a relationship with the Riemann hypothesis. [15]

Turán's result

Pál Turán (1948) showed that if the functions

Noncommutative geometry

Connes (1999, 2000) has described a relationship between the Riemann hypothesis and noncommutative geometry, and shows that a suitable analog of the Selberg trace formula for the action of the idèle class group on the adèle class space would imply the Riemann hypothesis. Some of these ideas are elaborated in Lapidus (2008).

Hilbert spaces of entire functions

Louis de Branges (1992) showed that the Riemann hypothesis would follow from a positivity condition on a certain Hilbert space of entire functions. However Conrey & Li (2000) showed that the necessary positivity conditions are not satisfied. Despite this obstacle, de Branges has continued to work on an attempted proof of the Riemann hypothesis along the same lines, but this has not been widely accepted by other mathematicians. [16]

Quasicrystals

The Riemann hypothesis implies that the zeros of the zeta function form a quasicrystal, a distribution with discrete support whose Fourier transform also has discrete support. Dyson (2009) suggested trying to prove the Riemann hypothesis by classifying, or at least studying, 1-dimensional quasicrystals.

Arithmetic zeta functions of models of elliptic curves over number fields

When one goes from geometric dimension one, e.g. an algebraic number field, to geometric dimension two, e.g. a regular model of an elliptic curve over a number field, the two-dimensional part of the generalized Riemann hypothesis for the arithmetic zeta function of the model deals with the poles of the zeta function. In dimension one the study of the zeta integral in Tate's thesis does not lead to new important information on the Riemann hypothesis. Contrary to this, in dimension two work of Ivan Fesenko on two-dimensional generalisation of Tate's thesis includes an integral representation of a zeta integral closely related to the zeta function. In this new situation, not possible in dimension one, the poles of the zeta function can be studied via the zeta integral and associated adele groups. Related conjecture of Fesenko (2010) on the positivity of the fourth derivative of a boundary function associated to the zeta integral essentially implies the pole part of the generalized Riemann hypothesis. Suzuki (2011) proved that the latter, together with some technical assumptions, implies Fesenko's conjecture.

Multiple zeta functions

Deligne's proof of the Riemann hypothesis over finite fields used the zeta functions of product varieties, whose zeros and poles correspond to sums of zeros and poles of the original zeta function, in order to bound the real parts of the zeros of the original zeta function. By analogy, Kurokawa (1992) introduced multiple zeta functions whose zeros and poles correspond to sums of zeros and poles of the Riemann zeta function. To make the series converge he restricted to sums of zeros or poles all with non-negative imaginary part. So far, the known bounds on the zeros and poles of the multiple zeta functions are not strong enough to give useful estimates for the zeros of the Riemann zeta function.

Number of zeros

The functional equation combined with the argument principle implies that the number of zeros of the zeta function with imaginary part between 0 and Τ δίνεται από

Για μικρό=1/2+iΤ, where the argument is defined by varying it continuously along the line with Im(μικρό)=Τ, starting with argument 0 at ∞+iΤ. This is the sum of a large but well understood term

and a small but rather mysterious term

So the density of zeros with imaginary part near Τ is about log(Τ)/2π, and the function μικρό describes the small deviations from this. The function μικρό(τ) jumps by 1 at each zero of the zeta function, and for τ ≥ 8 it decreases monotonically between zeros with derivative close to −log τ.

points where the function μικρό(τ) changes sign.

Selberg (1946) showed that the average moments of even powers of μικρό are given by

This suggests that μικρό(Τ)/(log log Τ) 1/2 resembles a Gaussian random variable with mean 0 and variance 2π 2 (Ghosh (1983) proved this fact). In particular |μικρό(Τ)| is usually somewhere around (log log Τ) 1/2 , but occasionally much larger. The exact order of growth of μικρό(Τ) is not known. There has been no unconditional improvement to Riemann's original bound μικρό(Τ)=O(log Τ), though the Riemann hypothesis implies the slightly smaller bound μικρό(Τ)=O(log Τ/log log Τ). [6] The true order of magnitude may be somewhat less than this, as random functions with the same distribution as μικρό(Τ) tend to have growth of order about log(Τ) 1/2 . In the other direction it cannot be too small: Selberg (1946) showed that μικρό(Τ) ≠ o((log Τ) 1/3 /(log log Τ) 7/3 ) , and assuming the Riemann hypothesis Montgomery showed that μικρό(Τ) ≠ o((log Τ) 1/2 /(log log Τ) 1/2 ) .

Numerical calculations confirm that μικρό grows very slowly: |μικρό(Τ)| < 1 for Τ < 280 , |μικρό(Τ)| < 2 for Τ < 6 800 000 , and the largest value of |μικρό(Τ)| found so far is not much larger than 3. [17]

Riemann's estimate μικρό(Τ) = O(log Τ) implies that the gaps between zeros are bounded, and Littlewood improved this slightly, showing that the gaps between their imaginary parts tends to 0.

Theorem of Hadamard and de la Vallée-Poussin

Hadamard (1896) and de la Vallée-Poussin (1896) independently proved that no zeros could lie on the line Re(μικρό) = 1. Together with the functional equation and the fact that there are no zeros with real part greater than 1, this showed that all non-trivial zeros must lie in the interior of the critical strip 0 < Re(μικρό) < 1 . This was a key step in their first proofs of the prime number theorem.

Both the original proofs that the zeta function has no zeros with real part 1 are similar, and depend on showing that if ζ(1+το) vanishes, then ζ(1+2το) is singular, which is not possible. One way of doing this is by using the inequality

for σ > 1, τ real, and looking at the limit as σ → 1. This inequality follows by taking the real part of the log of the Euler product to see that

where the sum is over all prime powers Π ν , έτσι ώστε

which is at least 1 because all the terms in the sum are positive, due to the inequality

Zero-free regions

Hardy (1914) and Hardy & Littlewood (1921) showed there are infinitely many zeros on the critical line, by considering moments of certain functions related to the zeta function. Selberg (1942) proved that at least a (small) positive proportion of zeros lie on the line. Levinson (1974) improved this to one-third of the zeros by relating the zeros of the zeta function to those of its derivative, and Conrey (1989) improved this further to two-fifths.

Most zeros lie close to the critical line. More precisely, Bohr & Landau (1914) showed that for any positive ε, the number of zeroes with real part at least 1/2+ε and imaginary part at between -T και Τ is O ( T ) . Combined with the facts that zeroes on the critical strip are symmetric about the critical line and that the total number of zeroes in the critical strip is Θ ( T log ⁡ T ) , almost all non-trivial zeroes are within a distance ε of the critical line. Ivić (1985) gives several more precise versions of this result, called zero density estimates, which bound the number of zeros in regions with imaginary part at most Τ and real part at least 1/2+ε.

Hardy–Littlewood conjectures

> lying on the interval ( 0 , T ]

Selberg's zeta function conjecture

Numerical calculations

has the same zeros as the zeta function in the critical strip, and is real on the critical line because of the functional equation, so one can prove the existence of zeros exactly on the real line between two points by checking numerically that the function has opposite signs at these points. Usually one writes

where Hardy's Z function and the Riemann–Siegel theta function θ are uniquely defined by this and the condition that they are smooth real functions with θ(0)=0. By finding many intervals where the function Ζ changes sign one can show that there are many zeros on the critical line. To verify the Riemann hypothesis up to a given imaginary part Τ of the zeros, one also has to check that there are no further zeros off the line in this region. This can be done by calculating the total number of zeros in the region using Turing's method and checking that it is the same as the number of zeros found on the line. This allows one to verify the Riemann hypothesis computationally up to any desired value of Τ (provided all the zeros of the zeta function in this region are simple and on the critical line).

Some calculations of zeros of the zeta function are listed below, where the "height" of a zero is the magnitude of its imaginary part, and the height of the νth zero is denoted by γν. So far all zeros that have been checked are on the critical line and are simple. (A multiple zero would cause problems for the zero finding algorithms, which depend on finding sign changes between zeros.) For tables of the zeros, see Haselgrove & Miller (1960) or Odlyzko.

They also verified the work of Gourdon (2004) and others.

Gram points

A Gram point is a point on the critical line 1/2 + το where the zeta function is real and non-zero. Using the expression for the zeta function on the critical line, ζ(1/2 + το) = Ζ(τ)e − Εγώθ(τ) , where Hardy's function, Ζ, is real for real τ, and θ is the Riemann–Siegel theta function, we see that zeta is real when sin(θ(τ)) = 0. This implies that θ(τ) is an integer multiple of π, which allows for the location of Gram points to be calculated fairly easily by inverting the formula for θ. They are usually numbered as σολν Για ν = 0, 1, . όπου σολν is the unique solution of θ(τ) = νπ.

Gram observed that there was often exactly one zero of the zeta function between any two Gram points Hutchinson called this observation Gram's law. There are several other closely related statements that are also sometimes called Gram's law: for example, (−1) ν Ζ(σολν) is usually positive, or Ζ(τ) usually has opposite sign at consecutive Gram points. The imaginary parts γν of the first few zeros (in blue) and the first few Gram points σολν are given in the following table

σολ−1 γ1 σολ0 γ2 σολ1 γ3 σολ2 γ4 σολ3 γ5 σολ4 γ6 σολ5
0 3.436 9.667 14.135 17.846 21.022 23.170 25.011 27.670 30.425 31.718 32.935 35.467 37.586 38.999

The first failure of Gram's law occurs at the 127th zero and the Gram point σολ126, which are in the "wrong" order.

σολ124 γ126 σολ125 σολ126 γ127 γ128 σολ127 γ129 σολ128
279.148 279.229 280.802 282.455 282.465 283.211 284.104 284.836 285.752

A Gram point τ is called good if the zeta function is positive at 1/2 + το. The indices of the "bad" Gram points where Ζ has the "wrong" sign are 126, 134, 195, 211, . (sequence A114856 in the OEIS). ΕΝΑ Gram block is an interval bounded by two good Gram points such that all the Gram points between them are bad. A refinement of Gram's law called Rosser's rule due to Rosser, Yohe & Schoenfeld (1969) says that Gram blocks often have the expected number of zeros in them (the same as the number of Gram intervals), even though some of the individual Gram intervals in the block may not have exactly one zero in them. For example, the interval bounded by σολ125 και σολ127 is a Gram block containing a unique bad Gram point σολ126, and contains the expected number 2 of zeros although neither of its two Gram intervals contains a unique zero. Rosser et al. checked that there were no exceptions to Rosser's rule in the first 3 million zeros, although there are infinitely many exceptions to Rosser's rule over the entire zeta function.

Gram's rule and Rosser's rule both say that in some sense zeros do not stray too far from their expected positions. The distance of a zero from its expected position is controlled by the function μικρό defined above, which grows extremely slowly: its average value is of the order of (log log Τ) 1/2 , which only reaches 2 for T around 10 24 . This means that both rules hold most of the time for small Τ but eventually break down often. Indeed, Trudgian (2011) showed that both Gram's law and Rosser's rule fail in a positive proportion of cases. To be specific, it is expected that in about 73% one zero is enclosed by two successive Gram points, but in 14% no zero and in 13% two zeros are in such a Gram-interval on the long run.

Mathematical papers about the Riemann hypothesis tend to be cautiously noncommittal about its truth. Of authors who express an opinion, most of them, such as Riemann (1859) and Bombieri (2000), imply that they expect (or at least hope) that it is true. The few authors who express serious doubt about it include Ivić (2008), who lists some reasons for skepticism, and Littlewood (1962), who flatly states that he believes it false, that there is no evidence for it and no imaginable reason it would be true. The consensus of the survey articles (Bombieri 2000, Conrey 2003, and Sarnak 2005) is that the evidence for it is strong but not overwhelming, so that while it is probably true there is reasonable doubt.

Some of the arguments for and against the Riemann hypothesis are listed by Sarnak (2005), Conrey (2003), and Ivić (2008), and include the following:

  • Several analogues of the Riemann hypothesis have already been proved. The proof of the Riemann hypothesis for varieties over finite fields by Deligne (1974) is possibly the single strongest theoretical reason in favor of the Riemann hypothesis. This provides some evidence for the more general conjecture that all zeta functions associated with automorphic forms satisfy a Riemann hypothesis, which includes the classical Riemann hypothesis as a special case. Similarly Selberg zeta functions satisfy the analogue of the Riemann hypothesis, and are in some ways similar to the Riemann zeta function, having a functional equation and an infinite product expansion analogous to the Euler product expansion. But there are also some major differences for example, they are not given by Dirichlet series. The Riemann hypothesis for the Goss zeta function was proved by Sheats (1998). In contrast to these positive examples, some Epstein zeta functions do not satisfy the Riemann hypothesis even though they have an infinite number of zeros on the critical line. [6] These functions are quite similar to the Riemann zeta function, and have a Dirichlet series expansion and a functional equation, but the ones known to fail the Riemann hypothesis do not have an Euler product and are not directly related to automorphic representations.
  • At first, the numerical verification that many zeros lie on the line seems strong evidence for it. But analytic number theory has had many conjectures supported by substantial numerical evidence that turned out to be false. See Skewes number for a notorious example, where the first exception to a plausible conjecture related to the Riemann hypothesis probably occurs around 10 316 a counterexample to the Riemann hypothesis with imaginary part this size would be far beyond anything that can currently be computed using a direct approach. The problem is that the behavior is often influenced by very slowly increasing functions such as log log Τ, that tend to infinity, but do so so slowly that this cannot be detected by computation. Such functions occur in the theory of the zeta function controlling the behavior of its zeros for example the function μικρό(Τ) above has average size around (log log Τ) 1/2 . Οπως και μικρό(Τ) jumps by at least 2 at any counterexample to the Riemann hypothesis, one might expect any counterexamples to the Riemann hypothesis to start appearing only when μικρό(Τ) becomes large. It is never much more than 3 as far as it has been calculated, but is known to be unbounded, suggesting that calculations may not have yet reached the region of typical behavior of the zeta function. 's probabilistic argument for the Riemann hypothesis [19] is based on the observation that if μ(Χ) is a random sequence of "1"s and "−1"s then, for every ε > 0 , the partial sums


2.5: The Riemann Hypothesis

The Riemann Hypothesis is a problem in mathematics which is currently unsolved.

To explain it to you I will have to lay some groundwork.

First: complex numbers, explained. You may have heard the question asked, "what is the square root of minus one?" Well, maths has an answer and we call it i. i multiplied by i equals -1. If the real number line . -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4. is represented as a horizontal line, then the numbers . -4i, -3i, -2i, -i, 0, i, 2i, 3i, 4i. can be thought of as the κατακόρυφος axis on this diagram. The whole plane taken together is then called the complex plane. This is a two-dimensional set of numbers.

Every complex number can be represented in the form a + b i. For real numbers, we simply take b =0.

Next: functions. In mathematics, a function is a black box which, when you put a number into it, spits a different number out. A function is represented by a letter - usually " f ". If you put a number x into the function you call f , then what f then spits out is written " f ( x )".

In most cases there is a convenient way to express f ( x ) in terms of x . For example, f ( x )= x 2 is a very simple function. Whatever x you put in, you'll get x 2 out. f (1)=1. f (2)=4. f (3)=9. Και ούτω καθεξής.

You're probably most familiar with real functions, or functions where you put a real number in and always get a real number out. HOWEVER. There's nothing stopping you from putting these weird new complex numbers into a function. For example, if f ( x )= x 2 and we let x =i, which is the square root of minus one I mentioned above, then you'll get f (i)=-1. That's just the beginning of what's more generally known as complex functions - where you can put any complex number a + b i in and get (potentially) any complex number out.

The Riemann Zeta Function is just such a complex function. "Zeta" is a Greek letter which is written "&zeta". For any complex number a + b i, &zeta ( a + b i) will be another complex number, c + d i.

The actual description of the Zeta Function is too boringly complicated to explain here.

Now, a zero of a function is (pretty obviously) a point a + b i where f ( a + b i)=0. If f ( x )= x 2 then the only zero is obviously at 0, where f (0)=0. For the Riemann Zeta Function this is more complicated. It basically has two types of zeros: the "trivial" zeroes, that occur at all negative even integers, that is, -2, -4, -6, -8. and the "nontrivial" zeroes, which are all the OTHER ones.

As far as we know, όλα the nontrivial zeroes occur at 1/2 + b i for μερικοί b . No others have been found in a lot of looking. but are they ALL like that? The Riemann Hypothesis suggests that they are. but nobody has yet been able to prove it.


Just to understand the$^dagger$ statement of the problem, you would have to be familiar with complex analysis and analytic number theory. The $zeta$ function itself is an analytic object from number theory and to understand its significance (just on the surface!) you would have to study it in these realms. Of course it is also a function on $Bbb C$ after analytic continuation - attained using a functional equation - with a simple pole at $1$, and understanding what this means and how to manipulate the function deftly will mean studying complex analysis.

$^dagger$I refer to the statement that $zeta(s)$ has all nontrivial zeros on the critical line. There are actually a lot of equivalent statements that require very little knowledge of complex analysis (you'll still need to pick up a few definitions of arithmetic functions from analytic NT for many of them, these aren't too hard). You can find a lot of equivalences listed here for example.

Beyond that, to understand the modern προσεγγίσεις to RH and related or generalized conjectures and all of the theory there is surrounding this creature, you must go much further in αλγεβρικός number theory at the very least, and travel to many other worlds like modular forms, differential geometry, quantum theory and random matrices, etc. - basically at least a basic knowledge of most advanced subjects in analysis, algebra and geometry, and then especially deeply in pertinent areas.


Everything about the Riemann hypothesis

Today's topic is The Riemann hypothesis.

This recurring thread will be a place to ask questions and discuss famous/well-known/surprising results, clever and elegant proofs, or interesting open problems related to the topic of the week.

Experts in the topic are especially encouraged to contribute and participate in these threads.

Next week's topic will be Galois theory.

These threads will be posted every Wednesday around 12pm UTC-5.

If you have any suggestions for a topic or you want to collaborate in some way in the upcoming threads, please send me a PM.

For previous week's "Everything about X" threads, check out the wiki link here

To kick things off, here is a very brief summary provided by wikipedia and myself:

Named after Bernhard Riemann, the Riemann hypothesis is one of the most famous open problems in mathematics, attracting the interest of both experts and laymen.

On Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse, Riemann studies the behaviour of the prime counting function and presents the now famous conjecture: The nontrivial zeros of the zeta function have real part 1/2.

The (Generalized) Riemann Hypothesis is famous for implying different results in related areas, inspiring the creation of entire branches of mathematics studied to this day, and having a 1M USD bouty

The Riemann Hypothesis is very easy to state, but its significance is not so straightforward.

It all boils down to two product formulas for the Riemann Zeta Function. The first is the product of (1-1/p -s ) -1 over all primes (valid for s>1). It is easy to use this expression to extract prime related functions, like the Chebyshev Functions, demonstrating that if we know stuff about the Riemann Zeta Function, then we know stuff about primes. On the other hand, we have that the Riemann Zeta Function is meromorphic on the entire complex plane (and we know its only pole), which means that we have all the niceness of entire functions at our disposal. The theory of Complex Analysis can then be used to set up another product formula for the Riemann Zeta Function, known as the Weierstrass Factorization. This, essentially, says that entire functions behave a ολόκληρος lot like infinite degree polynomials, including the fact that they are uniquely determined, up to "scale", by their zeros. The Weierstrass Factorization is then analog of factoring a polynomial by its roots it's a product of expressions over all the zeros of the zeta function.

If we go through the manipulations on the Riemann Zeta Function that gave us the Chebyshev function (which is a "smooth" prime-counting function), then we can write the Chebyshev function explicitly in terms of the zeros of the Riemann Zeta Function. This is the Riemann von-Mangoldt Explicit Formula. It is nothing more than an integral transformation of the two product representations of the Riemann Zeta Function. But this integral transformation explicitly gives us the information we seek about primes.

Now, the Functional Equation of the Riemann Zeta Function tells us that, outside a certain region, the only zeros of the Riemann Zeta Function are the negative even integers. But these, asymptotically, contribute nothing to the Chebyshev function and so are trivial. The zeros that really contribute to the growth of the Chebyshev function are the zeros in this certain region. In fact, the form of the Riemann von Mangold Formula is

Chebyshev = (Main Growth Term) + (Decay Term) + (Oscillatory Term)

The "Main Growth Term" comes directly from the pole of the Riemann Zeta Function. The "Decay Term" comes from the trivial zeros. The "Oscillatory Term" comes from the non-trivial zeros. The Oscillatory Term has the chance to contribute nontrivially to the growth of the Chebyshev function, but we would like to say that this does not happen and that the growth of the Chebyshev function is, more or less, completely governed by the "Main Growth Term".

Now, the nontrivial zeros lie in some region of the complex plane. But the amount that they contribute to the growth of the Chebyshev function through the Oscillatory Term is dependent on how close to the boundary of this region that they live. The Prime Number Theorem, which says that the Chebyshev function does, indeed, grow like the Main Growth Term, follows from proving that there are no zeros on the boundary of this region. But we would like to say that the Oscillatory Term contributes as little as possible to the growth of the Chebyshev function. This will then happen when the zeros are as far inside the critical region as possible. This is what the Riemann Hypothesis says. It is basically a conjecture on the error between the Chebyshev function and it's main asymptotic growth given by the Main Growth Term.

The Riemann Hypothesis, and its generalizations, is assumed for a lot of important results. It is mainly used to control the errors associated with out approximations for the prime counting function. If, say, you want to show that there is a number N so that there are infinitely many primes a distance at most N apart, then having a close and reliable approximation to where the primes are is probably a good thing. Luckily for the Bounded Gaps theorem, the exact General Riemann Hypothesis is not needed, instead you just need that it is true "on average". The Bombieri-Vinogradov Theorem is a sufficient enough result for this (after some tweaking) and basically says that the Generalized Riemann Hypothesis is true on average, and it's statement is a clear statement about the error between the prime counting function and its asymptotic approximation.

EDIT: I'm not sure if /u/chebushka was referring to my post of the original post description, but it should be emphasized that the important results generally all depend on the Generalized Riemann Hypothesis, or even the "Grand Riemann Hypothesis" which says that all zeros of all Riemann Zeta-like functions are on the critical line and are all their zeros are linearly independent over the rationals. Though the moral of bounding the error is relatively consistent throughout, a lot of the applications bounding the error for different types of prime-counting functions that each have their own "Riemann Hypothesis".