Άρθρα

5.3: Το σύστημα αριθμού ινδουιστών-αραβικών - μαθηματικά


Η Εξέλιξη ενός Συστήματος

Το δικό μας σύστημα αριθμών, που αποτελείται από τα δέκα σύμβολα {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} ονομάζεται ινδός των ανατολικών ινδίων-Αραβικό σύστημα. Επιπλέον, αυτό το σύστημα είναι θέση, πράγμα που σημαίνει ότι η θέση ενός συμβόλου επηρεάζει την τιμή αυτού του συμβόλου εντός του αριθμού. Για παράδειγμα, η θέση του συμβόλου 3 στον αριθμό 435.681 του δίνει μια τιμή πολύ μεγαλύτερη από την τιμή του συμβόλου 8 στον ίδιο αριθμό. Θα διερευνήσουμε λεπτομερέστερα τα βασικά συστήματα αργότερα. Η ανάπτυξη αυτών των δέκα συμβόλων και η χρήση τους σε ένα σύστημα εντοπισμού θέσης μας έρχεται κυρίως από την Ινδία. [I]

Δεν ήταν μέχρι τα 15ου αιώνα που τα σύμβολα που γνωρίζουμε σήμερα έλαβαν για πρώτη φορά στην Ευρώπη. Ωστόσο, η ιστορία αυτών των αριθμών και η ανάπτυξή τους ανάγονται εκατοντάδες χρόνια. Μια σημαντική πηγή πληροφοριών σχετικά με αυτό το θέμα είναι ο συγγραφέας al-Biruni, του οποίου η εικόνα εμφανίζεται εδώ. [Ii] Ο Al-Biruni, ο οποίος γεννήθηκε στο σύγχρονο Ουζμπεκιστάν, είχε επισκεφθεί πολλές φορές την Ινδία και είχε κάνει σχόλια για το ινδικό σύστημα αριθμών. . Όταν εξετάζουμε την προέλευση των αριθμών που αντιμετώπισε ο al-Biruni, πρέπει να επιστρέψουμε στον τρίτο αιώνα π.Χ. για να εξερευνήσουν την προέλευσή τους. Τότε χρησιμοποιήθηκαν οι αριθμοί Brahmi.

Οι αριθμοί Brahmi ήταν πιο περίπλοκοι από αυτούς που χρησιμοποιούνται στο σύγχρονο σύστημά μας. Είχαν ξεχωριστά σύμβολα για τους αριθμούς 1 έως 9, καθώς και ξεχωριστά σύμβολα για 10, 100, 1000,…, επίσης για 20, 30, 40,…, και άλλα για 200, 300, 400,…, 900. Το Brahmi Τα σύμβολα για τα 1, 2 και 3 φαίνονται παρακάτω. [iii]

Αυτοί οι αριθμοί χρησιμοποιήθηκαν μέχρι το 4ου αιώνα μ.Χ., με διακυμάνσεις στο χρόνο και τη γεωγραφική θέση. Για παράδειγμα, τον πρώτο αιώνα μ.Χ., ένα συγκεκριμένο σύνολο αριθμών Brahmi πήρε την ακόλουθη μορφή [iv]:

Από το 4ου αιώνα μετά, μπορείτε πραγματικά να εντοπίσετε πολλά διαφορετικά μονοπάτια που πήραν οι αριθμοί Brahmi για να φτάσετε σε διαφορετικά σημεία και ενσαρκώσεις. Ένα από αυτά τα μονοπάτια οδήγησε στο τρέχον αριθμητικό μας σύστημα και πέρασε από αυτά που ονομάζονται αριθμοί Gupta. Οι αριθμοί της Γκούπτα ήταν εμφανείς σε μια εποχή που κυβερνούσε η δυναστεία της Γκούπτα και εξαπλώθηκαν σε όλη την αυτοκρατορία καθώς κατέλαβαν εδάφη κατά τη διάρκεια των 4ου έως 6ου αιώνες. Έχουν την ακόλουθη μορφή [v]:

Ο τρόπος με τον οποίο οι αριθμοί έφτασαν στη φόρμα Gupta είναι ανοιχτός σε σημαντική συζήτηση. Έχουν προσφερθεί πολλές πιθανές υποθέσεις, οι περισσότερες από τις οποίες βασίζονται σε δύο βασικούς τύπους [vi]. Ο πρώτος τύπος υπόθεσης δηλώνει ότι οι αριθμοί προήλθαν από τα αρχικά γράμματα των ονομάτων των αριθμών. Αυτό δεν είναι ασυνήθιστο… οι ελληνικοί αριθμοί αναπτύχθηκαν με αυτόν τον τρόπο. Ο δεύτερος τύπος υπόθεσης δηλώνει ότι προήλθαν από κάποιο παλαιότερο σύστημα αριθμών. Ωστόσο, υπάρχουν και άλλες υποθέσεις που προσφέρονται, μία εκ των οποίων είναι από τον ερευνητή Ifrah. Η θεωρία του είναι ότι υπήρχαν αρχικά εννέα αριθμοί, ο καθένας αντιπροσωπεύεται από έναν αντίστοιχο αριθμό κάθετων γραμμών. Μια πιθανότητα είναι αυτή: [vii]

Επειδή αυτά τα σύμβολα θα χρειάζονταν πολύ χρόνο για να γράψουν, τελικά εξελίχθηκαν σε σύμβολα που μπορούσαν να γραφτούν πιο γρήγορα. Εάν τα συγκρίνουμε με τους παραπάνω αριθμούς Gupta, μπορούμε να προσπαθήσουμε να δούμε πώς θα μπορούσε να έχει πραγματοποιηθεί αυτή η εξελικτική διαδικασία, αλλά η φαντασία μας θα ήταν σχεδόν όλα όσα θα πρέπει να βασίζουμε, αφού δεν γνωρίζουμε ακριβώς πώς ξεδιπλώθηκε η διαδικασία.

Οι αριθμοί Gupta εξελίχθηκαν τελικά σε μια άλλη μορφή αριθμών που ονομάζεται Nagari αριθμοί, και αυτοί συνέχισαν να εξελίσσονται μέχρι το 11ου αιώνα, οπότε έμοιαζαν έτσι: [viii]

Σημειώστε ότι μέχρι τώρα, το σύμβολο για το 0 έχει εμφανιστεί! Ωστόσο, οι Μάγια στην Αμερική είχαν ένα σύμβολο για μηδέν πολύ πριν από αυτό, όπως θα δούμε αργότερα στο κεφάλαιο.

Αυτοί οι αριθμοί υιοθετήθηκαν από τους Άραβες, πιθανότατα τον όγδοο αιώνα κατά τη διάρκεια ισλαμικών επιδρομών στο βόρειο τμήμα της Ινδίας. [Ix] Πιστεύεται ότι οι Άραβες συνέβαλαν στη διάδοσή τους σε άλλα μέρη του κόσμου, συμπεριλαμβανομένης της Ισπανίας (βλ. Παρακάτω) ).

Άλλα παραδείγματα παραλλαγών έως τον 11ο αιώνα περιλαμβάνουν:

Devangari, όγδοος αιώνας [x]:

Δυτικό Αραβικό Gobar, δέκατος αιώνας [xi]:

Ισπανία, 976 π.Χ. [xii]:

Τέλος, ένα ακόμη γραφικό [xiii] δείχνει διάφορες μορφές αυτών των αριθμών καθώς εξελίχθηκαν και τελικά συγκλίνουν στα 15ου αιώνα στην Ευρώπη.

Το σύστημα θέσης

Πιο σημαντικό από τη μορφή των αριθμών συμβόλων είναι η ανάπτυξη του συστήματος τιμών θέσης. Αν και βρίσκεται σε μικρή διαφωνία, το παλαιότερο γνωστό έγγραφο στο οποίο το ινδικό σύστημα εμφανίζει ένα σύστημα θέσης χρονολογείται από το 346 μ.Χ. Ωστόσο, ορισμένα στοιχεία δείχνουν ότι μπορεί να έχουν αναπτύξει ένα σύστημα θέσης ήδη από τον πρώτο αιώνα Κ.Χ.

Οι Ινδοί δεν ήταν οι πρώτοι που χρησιμοποίησαν ένα σύστημα θέσης. Οι Βαβυλώνιοι (όπως θα δούμε στο Κεφάλαιο 3) χρησιμοποίησαν ένα σύστημα θέσης με 60 ως βάση τους. Ωστόσο, δεν υπάρχουν πολλές αποδείξεις ότι το σύστημα της Βαβυλώνας είχε πολύ αντίκτυπο στα μεταγενέστερα αριθμητικά συστήματα, εκτός από τους Έλληνες. Επίσης, οι Κινέζοι είχαν ένα σύστημα base-10, πιθανότατα προήλθε από τη χρήση ενός πίνακα μέτρησης [xiv]. Μερικοί πιστεύουν ότι το σύστημα τοποθέτησης που χρησιμοποιείται στην Ινδία προέρχεται από το κινεζικό σύστημα.

Όπου και αν προήλθε, φαίνεται ότι περίπου το 600 CE, οι Ινδοί εγκατέλειψαν τη χρήση συμβόλων για αριθμούς μεγαλύτερους από εννέα και άρχισαν να χρησιμοποιούν το οικείο σύστημά μας όπου η θέση του συμβόλου καθορίζει τη συνολική αξία του. [Xv] Πολλά έγγραφα από το ο έβδομος αιώνας καταδεικνύει τη χρήση αυτού του συστήματος θέσης.

Είναι ενδιαφέρον ότι οι παλαιότερες επιγραφές που χρησιμοποιούν το σύστημα με σύμβολο μηδέν προέρχονται από την Καμπότζη. Το 683, το 605ου το έτος της εποχής Saka γράφεται με τρία ψηφία και μια τελεία στη μέση. Το 608ου το έτος χρησιμοποιεί τρία ψηφία με ένα μοντέρνο 0 στη μέση. [xvi] Η τελεία ως σύμβολο για το μηδέν εμφανίζεται επίσης σε μια κινεζική εργασία (Τσιου-χχ λι). Ο συγγραφέας αυτού του εγγράφου δίνει μια εντυπωσιακά σαφή περιγραφή του πώς λειτουργεί το ινδικό σύστημα:

Χρησιμοποιώντας τους [Ινδούς] αριθμούς, πραγματοποιείται πολλαπλασιασμός και διαίρεση. Κάθε αριθμός είναι γραμμένος με ένα κτύπημα. Όταν ένας αριθμός μετράται σε δέκα, προχωρά στην υψηλότερη θέση. Σε κάθε κενή θέση τοποθετείται πάντα μια κουκκίδα. Έτσι, ο αριθμός σημειώνεται πάντα σε κάθε μέρος. Κατά συνέπεια, δεν μπορεί να υπάρξει σφάλμα στον προσδιορισμό του τόπου. Με τους αριθμούς, οι υπολογισμοί είναι εύκολοι… "[xvii]

Διαβίβαση σε Ευρώπη

Δεν είναι απολύτως γνωστό πώς το σύστημα μεταδόθηκε στην Ευρώπη. Οι έμποροι και οι ταξιδιώτες των ακτών της Μεσογείου μπορεί να το έχουν μεταφέρει εκεί. Βρίσκεται σε ισπανικό χειρόγραφο του δέκατου αιώνα και μπορεί να έχει εισαχθεί στην Ισπανία από τους Άραβες, οι οποίοι εισέβαλαν στην περιοχή το 711 μ.Χ. και ήταν εκεί μέχρι το 1492.

Σε πολλές κοινωνίες, σχηματίστηκε μια διαίρεση μεταξύ εκείνων που χρησιμοποίησαν αριθμούς και υπολογισμούς για πρακτική, καθημερινή επιχείρηση και εκείνων που τους χρησιμοποιούσαν για τελετουργικούς σκοπούς ή για κρατικές επιχειρήσεις. [Xviii] Οι πρώτοι μπορεί συχνά να χρησιμοποιούν παλαιότερα συστήματα, ενώ οι τελευταίες είχαν την τάση να χρησιμοποιούν τους νεότερους, πιο ελίτ γραπτούς αριθμούς. Ο ανταγωνισμός μεταξύ των δύο ομάδων προέκυψε και συνεχίστηκε για αρκετό καιρό.

Σε 14ου χειρόγραφο αιώνα του Μποέθιου Οι παρηγοριά της φιλοσοφίας, εμφανίζεται ένα γνωστό σχέδιο δύο μαθηματικών. Ο ένας είναι έμπορος και χρησιμοποιεί άβακα (ο «άβατς»). Ο άλλος είναι ένας Πυθαγόρειος φιλόσοφος (ο «αλγόριθμος») που χρησιμοποιεί τους «ιερούς» αριθμούς του. Βρίσκονται σε διαγωνισμό που κρίνεται από τη θεά του αριθμού. Μέχρι το 1500 Κ.Χ., ωστόσο, τα νεότερα σύμβολα και σύστημα είχαν κερδίσει και επιμένουν μέχρι σήμερα. Οι Seattle Times ανέφεραν πρόσφατα ότι το ινδουιστικό-αραβικό αριθμητικό σύστημα έχει συμπεριληφθεί στο βιβλίο Οι μεγαλύτερες εφευρέσεις των τελευταίων 2000 ετών. [xix]

Μια ερώτηση για απάντηση είναι Γιατί οι Ινδοί θα αναπτύξουν μια τέτοια θέση. Δυστυχώς, η απάντηση σε αυτήν την ερώτηση δεν είναι προς το παρόν γνωστή. Μερικοί υποδηλώνουν ότι το σύστημα έχει την προέλευσή του από τους κινεζικούς πίνακες μέτρησης. Αυτά τα διοικητικά συμβούλια ήταν φορητά και πιστεύεται ότι οι Κινέζοι ταξιδιώτες που πέρασαν από την Ινδία πήραν μαζί τους τους πίνακες και πυροδότησαν μια ιδέα στα Ινδικά μαθηματικά. [Xx] Άλλοι, όπως ο GG Joseph, προτείνουν ότι είναι η ινδική γοητεία με πολύ μεγάλους αριθμούς που οδήγησαν να αναπτύξουν ένα σύστημα με το οποίο αυτά τα είδη μεγάλων αριθμών θα μπορούσαν εύκολα να καταγραφούν. Σε αυτήν τη θεωρία, το σύστημα αναπτύχθηκε εξ ολοκλήρου μέσα στο μαθηματικό πλαίσιο της Ινδίας χωρίς σημαντική επιρροή από άλλους πολιτισμούς.


[i] www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Indian_numerals.html

[ii] www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Al-Biruni.html

[iii] www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Indian_numerals.html

[iv] www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Indian_numerals.html

[v] Ibid

[vi] Όμοια

[vii] Όμοιο

[viii] Όμοιο

[ix] Katz, σελίδα 230

[x] Burton, David M., Ιστορία των μαθηματικών, μια εισαγωγή, Π. 254-255

[xi] Όμοια

[xii] Όμοια

[xiii] Katz, σελίδα 231.

[xiv] Ibid, σελίδα 230

[xv] Ibid, σελίδα 231.

[xvi] Ibid, σελίδα 232.

[xvii] Ibid, σελίδα 232.

[xviii] McLeish, σελ. 18

[xix] seattletimes.nwsource.com/news/health-science/html98/invs_20000201.html, Seattle Times, 1 Φεβρουαρίου 2000

[xx] Ibid, σελίδα 232.


Οι «αριθμοί» του Fibonacci: Ο άνθρωπος πίσω από τα μαθηματικά

Η λατινική φράση filius bonacci, στην πρώτη γραμμή του Liber Abaci Το χειρόγραφο (παραπάνω), έδωσε το σύγχρονο ψευδώνυμο του Leonardo da Pisa, Fibonacci. Κάντε κλικ εδώ για πιο προσεκτική εμφάνιση Εθνική Βιβλιοθήκη της Φλωρεντίας απόκρυψη λεζάντας

Η αριθμητική επανάσταση του Fibonacci

Αγορά επιλεγμένου βιβλίου

Η αγορά σας βοηθά στην υποστήριξη του προγραμματισμού NPR. Πως?

Μια σελίδα από το Liber Abaci χειρόγραφο. Ο Λεονάρντο ντα Πίζα έγραψε συμβολικούς υπολογισμούς στο περιθώριο για να απεικονίσει τις μεθόδους που περιγράφονται στο κείμενο. Κάντε κλικ εδώ για πιο προσεκτική εμφάνιση Δημόσια βιβλιοθήκη της Σιένα απόκρυψη λεζάντας

Μια σελίδα από το Liber Abaci χειρόγραφο. Ο Λεονάρντο ντα Πίζα έγραψε συμβολικούς υπολογισμούς στο περιθώριο για να απεικονίσει τις μεθόδους που περιγράφονται στο κείμενο. Κάντε κλικ εδώ για πιο προσεκτική εμφάνιση

Αν και γενιές μαθητών έχουν καταραστεί την αριθμητική, ο κόσμος ήταν ένα πολύ πιο άβολο μέρος χωρίς αυτόν. Πριν από την έλευση της σύγχρονης αριθμητικής τον 13ο αιώνα, οι βασικοί υπολογισμοί απαιτούσαν έναν φυσικό άβακα.

Αλλά στη συνέχεια ήρθε ένας νεαρός Ιταλός μαθηματικός με το όνομα Leonardo da Pisa - καμία σχέση με τον da Vinci - ο οποίος, το 1202, δημοσίευσε ένα βιβλίο με τίτλο Liber Abaci. Αυτό είναι λατινικό για το "Βιβλίο υπολογισμού".

Και αν και δεν είναι απαραίτητα ήχος σαν ένα best-seller μίας ημέρας, ήταν μια επιτυχία. Liber Abaci εισήγαγε πρακτικές χρήσεις για τους αραβικούς αριθμούς 0 έως 9 στη Δυτική Ευρώπη. Το βιβλίο έφερε επανάσταση στο εμπόριο, την τραπεζική, την επιστήμη και την τεχνολογία και καθιέρωσε τη βάση της σύγχρονης αριθμητικής, της άλγεβρας και άλλων κλάδων.

Έκδοση Σαββατοκύριακου "Math Guy" Ο Keith Devlin αφηγείται την ιστορία αυτής της αριθμητικής επανάστασης στο νέο του βιβλίο, Ο Άνθρωπος των Αριθμών. Οι αριθμοί 0 έως 9 βρίσκονταν εδώ και αιώνες σε ινδουιστικούς και αραβικούς πολιτισμούς, αλλά το πρόβλημα ήταν ότι οι Ευρωπαίοι δεν έκαναν πραγματικά δουλειά με τους αριθμούς.

"Ηχογράφησαν τα πάντα σε παλιούς ρωμαϊκούς αριθμούς και αν ήθελαν υπολογισμούς, πήγαν στο δρόμο σε κάποιον που ήταν έμπειρος στη χρήση ενός φυσικού άβακα", λέει ο Ντέλλιν στον Scott Simon του NPR. "Στην πραγματικότητα ήταν ένας πίνακας με γραμμές πάνω του, όπου μετακινήσατε βότσαλα γύρω του, ήταν ένας ακατέργαστος και αναποτελεσματικός τρόπος επιχειρηματικής δραστηριότητας."

Η πρώτη έκδοση του Liber Abaci ήταν ένα πυκνό, λεπτομερές βιβλίο που ήταν δύσκολο να κατανοήσει ο μέσος άνθρωπος. Έτσι η da Pisa κυκλοφόρησε μια απλοποιημένη έκδοση για να προσεγγίσει τους εμπόρους και τους εμπορικούς ανθρώπους της Πίζας - και το αποτέλεσμα εξαπλώθηκε σε όλο τον κόσμο.

"Μέσα σε λίγες δεκαετίες Liber Abaci φαίνεται ότι έχετε 1.000 ή περισσότερα διαφορετικά άτομα που γράφουν πρακτικά αριθμητικά εγχειρίδια ", λέει ο Devlin." Συνηθισμένοι άνθρωποι που ήθελαν να ιδρύσουν μια επιχείρηση - και δεν είχαν πολλά χρήματα για να πληρώσουν τους ανθρώπους για να κάνουν τη λογιστική για αυτούς - θα μπορούσαν να το κάνουν μόνοι τους. "

Τα βασικά της λογιστικής, της τραπεζικής, της ασφάλισης και της λογιστικής διπλής εισόδου βγήκαν από την Πίζα του 13ου αιώνα, λέει ο Devlin. Και αυτό χάρη στη νέα ικανότητα αποτελεσματικής αριθμητικής.

Σίγουρα, η βασική αριθμητική μπορεί να φαίνεται απλό πράγμα σήμερα, αλλά ο Devlin λέει ότι η εισαγωγή του στον κόσμο ήταν συγκρίσιμο με την εφεύρεση του υπολογιστή. Οι κουραστικές και περίπλοκες εργασίες που απαιτούσαν έναν ειδικό ήταν ξαφνικά ταχύτερες και ευκολότερες - και κάτι που θα μπορούσατε να κάνετε για τον εαυτό σας. "[Η Da Pisa] είναι ο Steve Jobs, ο Bill Gates. Είναι η επανάσταση στον υπολογιστή που ζήσαμε τη δεκαετία του 1980 και οι παραλληλισμοί είναι πραγματικά παράξενοι", λέει ο Devlin.

Παρά τον μόνιμο αντίκτυπό του στον σύγχρονο κόσμο, ο da Pisa δεν είναι ακριβώς ένα οικιακό όνομα. Αλλά μπορεί να τον αναγνωρίσετε με το ψευδώνυμό του: Fibonacci. Εκτός από το γράψιμο Liber Abaci, Η da Pisa παρουσίασε επίσης τη διάσημη ακολουθία Fibonacci στη Δυτική Ευρώπη. (Θυμηθείτε ότι ένα από τα μαθηματικά του γυμνασίου; Ξεκινά με 0 και μετά 1, και έπειτα κάθε επόμενος αριθμός είναι το άθροισμα των δύο αριθμών που προηγούνται.) Το όνομα του δόθηκε από έναν ιστορικό τον 19ο αιώνα που διάβασε το φράση filius Bonacci - "γιος του Bonacci" - στην αρχή του Liber Abaci και έδωσε στην Ντα Πίζα το μόνικερ του.

Αν και ο Fibonacci μπορεί να πάρει πίστωση για την πρακτική αριθμητική στον δυτικό κόσμο, ο Devlin λέει ότι ακόμη και χωρίς αυτόν, είναι απίθανο οι άνθρωποι να έπρεπε να βασίζονται στον άβακα για πάντα.

"Ένα από τα πράγματα για σχεδόν όλα τα μαθηματικά είναι ότι τελικά θα εμφανιστεί και θα συνηθίσει", λέει ο Devlin. "Είναι θέμα ποιος το κάνει και πότε."


Ιστορία: Λατινικοί αριθμοί

Οι αρχαίοι Ρωμαίοι χρησιμοποίησαν μια έκδοση συστημάτων αριθμού προσθέτων. Οι Ρωμαίοι αντιπροσώπευαν τους αριθμούς με αυτόν τον τρόπο:

αριθμός Ρωμαϊκός αριθμός
1 Εγώ
5 Β
10 Χ
50 μεγάλο
100 ντο
500 ρε
1,000 Μ

Έτσι, ο αριθμός 2013 θα εκπροσωπηθεί ως MMXIII. Αυτό διαβάζεται ως 2.000 (δύο M & # 8217s), ένα δέκα (ένα X) και τρία (τρία I & # 8217s).

Για οποιοδήποτε σύστημα προσθέτων αριθμών, πολύ μεγάλοι αριθμοί καθίστανται ανέφικτοι να γράφονται. Για να αντιπροσωπεύσετε το νούμερο ένα εκατομμύριο σε λατινικούς αριθμούς θα χρειαστούν χίλια M's!

Ωστόσο, οι λατινικοί αριθμοί είχαν ένα πλεονέκτημα απόδοσης: η σειρά των συμβόλων είχε σημασία. Εάν ένα σύμβολο προς τα αριστερά ήταν μικρότερο από το σύμβολο προς τα δεξιά, θα αφαιρέθηκε αντί να προστεθεί. Έτσι, για παράδειγμα, το εννέα αντιπροσωπεύεται ως IX παρά ως VIIII.

Σκεφτείτε / Ζευγάρι / Κοινή χρήση

Αν δεν γνωρίζετε ήδη πώς να χρησιμοποιείτε λατινικούς αριθμούς, ερευνήστε το λίγο. Στη συνέχεια απαντήστε σε αυτές τις ερωτήσεις.

  • Γράψτε τους αριθμούς 1–20 με λατινικούς αριθμούς.
  • Ποιος είναι ο μέγιστος αριθμός συμβόλων που απαιτείται για την εγγραφή αριθμού μεταξύ 1 και 1.000 σε λατινικούς αριθμούς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας.

Τα πρώτα συστήματα αριθμού θέσης αποδίδονται στους Βαβυλώνιους (βάση 60) και στους Μάγια (βάση 20). Αυτά τα συστήματα θέσης αναπτύχθηκαν και τα δύο πριν είχαν ένα σύμβολο ή μια σαφή αντίληψη για το μηδέν. Αντί να χρησιμοποιήσει το 0, χρησιμοποιήθηκε ένα κενό διάστημα για να δείξει την παράλειψη μιας συγκεκριμένης τιμής μέρους. Αυτό θα μπορούσε να οδηγήσει σε αμφισημία.

Ας υποθέσουμε ότι δεν είχαμε ένα σύμβολο για το 0 και κάποιος έγραψε τον αριθμό

Θα ήταν αδύνατο να πούμε αν σημαίνουν 23, 203, 2003, ή ίσως δύο ξεχωριστούς αριθμούς (δύο και τρία).

Leonardo Pisano Bigollo, πιο γνωστό ως Fibonacci [4], έπαιξε καθοριστικό ρόλο στην καθοδήγηση της Ευρώπης από μια μακρά περίοδο κατά την οποία η σημασία και η ανάπτυξη των μαθηματικών ήταν σε έντονη παρακμή. Γεννήθηκε στην Ιταλία γύρω στο 1170 μ.Χ. από τον Guglielmo Bonacci, έναν επιτυχημένο έμπορο. Ο Guglielmo έφερε τον γιο του μαζί του σε αυτό που είναι τώρα Αλγερία και ο Leonardo εκπαιδεύτηκε στα μαθηματικά μαθηματικά εκεί.

Εκείνη την εποχή, οι ρωμαϊκοί αριθμοί κυριάρχησαν στην Ευρώπη, και το επίσημο μέσο υπολογισμού ήταν ο άβακας. Ο Muḥammad ibn Mūsā al-Khwārizmī [5] περιέγραψε τη χρήση του ινδο-αραβικού συστήματος στο βιβλίο του Σχετικά με τον υπολογισμό με ινδουιστικούς αριθμούς το 825 μ.Χ., αλλά δεν ήταν γνωστό στην Ευρώπη.

Άγαλμα του al-Khwarizmi στο Τεχνολογικό Πανεπιστήμιο Amirkabir

Βιβλίο Fibonacci & # 8217s Liber Abaci περιέγραψε το ινδουιστικό-αραβικό σύστημα και τις επιχειρηματικές του εφαρμογές για μια ευρωπαϊκή αναγνωσιμότητα. Το βιβλίο του έγινε δεκτό σε ολόκληρη την Ευρώπη και σηματοδότησε την αρχή της αφύπνισης των ευρωπαϊκών μαθηματικών.


The Man of Numbers: Η αριθμητική επανάσταση του Fibonacci [Απόσπασμα]

Πριν από τον 13ο αιώνα οι Ευρωπαίοι χρησιμοποιούσαν ρωμαϊκούς αριθμούς για να κάνουν αριθμητική. Ο Λεονάρντο της Πίζας, πιο γνωστός σήμερα ως Fibonacci, είναι σε μεγάλο βαθμό υπεύθυνος για την υιοθέτηση του ινδουιστικού-αραβικού αριθμητικού συστήματος στην Ευρώπη, το οποίο επανάσταση όχι μόνο στα μαθηματικά αλλά και στο εμπόριο και στο εμπόριο. Πώς εξαπλώθηκε το σύστημα από τον αραβικό κόσμο στην Ευρώπη και ποια θα ήταν η ζωή μας χωρίς αυτό;

Ανατυπώθηκε με άδεια από The Man of Numbers: Η αριθμητική επανάσταση του Fibonacci, από τον Keith Devlin. Πνευματική ιδιοκτησία &αντίγραφο 2011, από το Bloomsbury Publishing.

Οι μέρες σας είναι αριθμημένες
Προσπαθήστε να φανταστείτε μια μέρα χωρίς αριθμούς. Μην πειράζετε μια μέρα, προσπαθήστε να φανταστείτε να περάσετε την πρώτη ώρα χωρίς αριθμούς: χωρίς ξυπνητήρι, χωρίς χρόνο, χωρίς ημερομηνία, χωρίς τηλεόραση ή ραδιόφωνο, χωρίς έκθεση χρηματιστηρίου ή αθλητικά αποτελέσματα στις εφημερίδες, χωρίς τραπεζικό λογαριασμό για έλεγχο. Δεν ξεκαθαρίζει ακριβώς πού ξυπνάτε, γιατί χωρίς αριθμούς δεν θα υπήρχε σύγχρονη κατοικία.

Το γεγονός είναι ότι οι ζωές μας εξαρτώνται πλήρως από τους αριθμούς. Μπορεί να μην έχετε & ldquoa κεφάλι για φιγούρες, & rdquo, αλλά σίγουρα έχετε ένα κεφάλι γεμάτο αριθμούς. Τα περισσότερα από τα πράγματα που κάνετε κάθε μέρα εξαρτώνται και εξαρτώνται από τους αριθμούς. Μερικά από αυτά είναι προφανή, όπως αυτά που αναφέρονται παραπάνω άλλα ρυθμίζουν τη ζωή μας πίσω από τα παρασκήνια. Ο βαθμός στον οποίο η σύγχρονη κοινωνία μας εξαρτάται από αριθμούς που κρύβονται από εμάς έγινε σαφές από την παγκόσμια οικονομική κατάρρευση το 2008, όταν η υπερβολική αυτοπεποίθηση στα προηγμένα μαθηματικά των μελλοντικών προβλέψεων και της πιστωτικής αγοράς οδήγησε σε μια πλήρη κατάρρευση του παγκόσμιου χρηματοοικονομικό σύστημα.

Πώς ήμασταν ως είδος και ως κοινωνία & mdash εξοικειωθήκαμε και βασίζαμε πλήρως σε αυτές τις αφαιρέσεις που οι εφευρέτες μας εφευρέθηκαν πριν από μερικές χιλιάδες χρόνια; Ως μαθηματικός, αυτή η ερώτηση με προβλημάτισε για πολλά χρόνια, αλλά για το μεγαλύτερο μέρος της καριέρας μου ως καθηγητής πανεπιστημίου μαθηματικών, οι πιέσεις να ανακαλύψω νέα μαθηματικά και να διδάξω μαθηματικά σε νέες γενιές μαθητών δεν μου άφησαν αρκετό χρόνο για να αναζητήσω απάντηση. Καθώς μεγάλωσα, ωστόσο, και συμφώνησα με το αναπόφευκτο γεγονός ότι οι ικανότητές μου να κάνω πρωτότυπα μαθηματικά άρχισαν να εξασθενίζουν λίγο και να κάνουν μια διαδικασία που για τους περισσότερους μαθηματικούς ξεκινά γύρω στην ηλικία των σαράντα (βάζοντας τα μαθηματικά στην ίδια κατηγορία με πολλά αθλητικές δραστηριότητες) & mdash Άρχισα να περνάω περισσότερο χρόνο κοιτάζοντας τις ρίζες του θέματος που μου άρεσε με τέτοιο πάθος από τότε που έκανα τη μετάβαση από & ldquoIt & rsquos βαρετό & rdquo σε & ldquoIt & rsquos απίστευτα όμορφο & rdquo γύρω στα δεκαέξι.

Ως επί το πλείστον, η ιστορία των αριθμών ήταν εύκολο να ανακαλυφθεί. Μέχρι το τελευταίο μέρος της πρώτης χιλιετίας της Τρέχουσας Εποχής, το σύστημα που χρησιμοποιούμε σήμερα για να γράφουμε αριθμούς και να κάνουμε αριθμητική είχε επεξεργαστεί & mdash εκφράζοντας οποιονδήποτε αριθμό χρησιμοποιώντας μόνο τους δέκα αριθμούς 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 , 7, 8, 9 και προσθέτοντας, αφαιρώντας, πολλαπλασιάζοντας και διαιρώντας τους με τις διαδικασίες που όλοι μας διδάσκονται στο δημοτικό σχολείο. (Μονάδα στήλη, δεκάδες στήλη, εκατοντάδες στήλη, μεταφορές κ.λπ.) Αυτός ο οικείος τρόπος για να γράψετε αριθμούς και να κάνετε αριθμητική είναι γνωστός σήμερα ως το ινδουιστικο-αραβικό σύστημα, ένα όνομα που αντικατοπτρίζει την ιστορία του.

Πριν από τον δέκατο τρίτο αιώνα, ωστόσο, οι μόνοι Ευρωπαίοι που γνώριζαν το σύστημα ήταν, σε γενικές γραμμές, μελετητές, που το χρησιμοποιούσαν αποκλειστικά για να κάνουν μαθηματικά. Οι έμποροι κατέγραψαν τα αριθμητικά τους δεδομένα χρησιμοποιώντας λατινικούς αριθμούς και πραγματοποίησαν υπολογισμούς είτε με μια αρκετά περίπλοκη και ευρέως χρησιμοποιούμενη διαδικασία δακτύλων είτε με μηχανικό άβακα. Αυτή η κατάσταση άρχισε να αλλάζει λίγο μετά το 1202, τη χρονιά ενός νεαρού Ιταλού, του Λεονάρντο της Πίζας και του ανθρώπου που πολλούς αιώνες αργότερα ένας ιστορικός θα μεταγλώττιζε & ldquo τις μεθόδους & ldquonew & rdquo με όρους που οι απλοί άνθρωποι θα μπορούσαν να καταλάβουν και να κάνουν εμπόρους και επιχειρηματίες, καθώς και μαθητές. Ενώ μπορούν να εντοπιστούν άλλες γενεαλογίες, η επιρροή του Leonardo & rsquos, μέσω του Liber abbaci, ήταν μακράν η πιο σημαντική και διαμόρφωσε την ανάπτυξη της σύγχρονης δυτικής Ευρώπης.

Ο Λεονάρντο έμαθε για το ινδο-αραβικό σύστημα αριθμών και άλλα μαθηματικά που αναπτύχθηκαν τόσο από Ινδιάνους όσο και από Αραβικούς μαθηματικούς, όταν ο πατέρας του έφερε τον νεαρό γιο του για να τον ενώσει στο λιμάνι της Βόρειας Αφρικής της Bugia (τώρα Beja & iumla, στην Αλγερία) γύρω στο 1185, έχοντας μετακομίσει εκεί από την Πίζα για να ενεργήσει ως εμπορικός εκπρόσωπος και τελωνειακός υπάλληλος. Χρόνια αργότερα, το βιβλίο Leonardo & rsquos όχι μόνο παρείχε μια γέφυρα που επέτρεψε στη σύγχρονη αριθμητική να διασχίσει τη Μεσόγειο, αλλά γεφυρώνει τους μαθηματικούς πολιτισμούς του αραβικού και του ευρωπαϊκού κόσμου, δείχνοντας στη Δύση τον αλγεβρικό τρόπο σκέψης που αποτελεί τη βάση της σύγχρονης επιστήμης και μηχανικής (αν και δεν είναι ο γνωστός συμβολικός μας συμβολισμός για την άλγεβρα, που ήρθε πολύ αργότερα).

Αυτό που έκανε ο Λεονάρντο ήταν εξίσου επαναστατικό με τους πρωτοπόρους προσωπικών υπολογιστών που στη δεκαετία του 1980 πήραν υπολογιστές από μια μικρή ομάδα τύπων & ldquocomputer & rdquo και έκαναν τους υπολογιστές διαθέσιμους και χρησιμοποιήσιμους από οποιονδήποτε. Όπως και αυτοί, το μεγαλύτερο μέρος της πίστης για την εφεύρεση και την ανάπτυξη των μεθόδων που περιγράφει το Leonardo στο Liber abbaci πηγαίνει σε άλλους, ιδίως Ινδιάνους και Αραβικούς μελετητές για πολλούς αιώνες. Ο ρόλος του Leonardo & rsquos ήταν να & ldquopackage & rdquo και & ldquosell & rdquo τις νέες μεθόδους στον κόσμο.

Η εμφάνιση του βιβλίου Leonardo & rsquos όχι μόνο προετοίμασε το στάδιο για την ανάπτυξη της σύγχρονης (συμβολικής) άλγεβρας, και ως εκ τούτου των σύγχρονων μαθηματικών, σηματοδότησε επίσης την αρχή του σύγχρονου χρηματοοικονομικού συστήματος και τον τρόπο επιχειρηματικής δραστηριότητας που εξαρτάται από εξελιγμένες τραπεζικές μεθόδους. Για παράδειγμα, ο καθηγητής William N. Goetzmann της Σχολής Διοίκησης του Yale, ειδικός στα οικονομικά και τα οικονομικά, πιστώνει τον Leonardo ως τον πρώτο που ανέπτυξε μια πρώιμη μορφή ανάλυσης της παρούσας αξίας, μια μέθοδο για τη σύγκριση της σχετικής οικονομικής αξίας των διαφορετικών ροών πληρωμών , λαμβάνοντας υπόψη την αξία-χρόνο του χρήματος. Η μαθηματική μείωση όλων των ροών ταμειακών ροών σε ένα μόνο χρονικό σημείο επιτρέπει στον επενδυτή να αποφασίσει ποια είναι η καλύτερη και η σύγχρονη εκδοχή του κριτηρίου της παρούσας αξίας, που αναπτύχθηκε από τον οικονομολόγο Irving Fisher το 1930, χρησιμοποιείται τώρα από σχεδόν όλες τις μεγάλες εταιρείες στη διαδικασία προϋπολογισμού κεφαλαίου.

Αυτό που έφερε ο Λεονάρντο στα μαθηματικά που έμαθε στην Bugia και αλλού στα μεταγενέστερα ταξίδια του στη Βόρεια Αφρική ήταν η συστηματική οργάνωση του υλικού, η ολοκληρωμένη κάλυψη όλων των μεθόδων γνώσης και η μεγάλη ικανότητα έκθεσης στην παρουσίαση του υλικού με τρόπο που το έκανε προσβάσιμο ( και ελκυστικό) για τους εμπορικούς ανθρώπους για τους οποίους έγραψε σαφώς Liber abbaci. Ήταν, φυσικά, ένας πολύ ικανός μαθηματικός & mdash, στην πραγματικότητα, ένας από τους πιο διακεκριμένους μαθηματικούς της μεσαιωνικής αρχαιότητας & mdash, αλλά μόνο στα γραπτά του μετά την πρώτη έκδοση του Liber abbaci το 1202 έδειξε σαφώς τη δική του μαθηματική ικανότητα.

Μετά την εμφάνιση του Liber abbaci, η διδασκαλία της αριθμητικής έγινε πολύ δημοφιλής σε όλη την Ιταλία, με ίσως χίλια ή περισσότερα χειρόγραφα αριθμητικά κείμενα να παράγονται τους επόμενους τρεις αιώνες. Επιπλέον, η έκδοση του βιβλίου & rsquos, καθώς και αυτή των άλλων έργων του, έφερε τη φήμη του Λεονάρντο σε όλη την Ιταλία, καθώς και ένα κοινό με τον Άγιο Ρωμαίο Αυτοκράτορα, Φρέντερικ Β '. Δεδομένου ότι τα γραπτά Pisan & rsquos κυκλοφορούν ακόμη στη Φλωρεντία κατά τη διάρκεια του δέκατου τέταρτου αιώνα, όπως και σχόλια για τα έργα του, γνωρίζουμε ότι η κληρονομιά του έζησε πολύ μετά το θάνατό του. Αλλά τότε το όνομα Leonardo & rsquos φαινόταν ξαφνικά ξεχασμένο. Ο λόγος ήταν η εφεύρεση της εκτύπωσης κινητού τύπου τον 15ο αιώνα.

Δεδομένου του ιταλικού επιχειρηματικού κόσμου και της γρήγορης υιοθέτησης της νέας αριθμητικής, όχι εκπληκτικά, το πρώτο κείμενο μαθηματικών που εκτυπώθηκε στην Ιταλία ήταν ένα βιβλίο σελίδας 52 σελίδων για την εμπορική αριθμητική: ένα χωρίς τίτλο, ανώνυμο έργο γνωστό σήμερα ως Aritmetica di Treviso (& ldquoTreviso Arithmetic & rdquo), μετά το μικρή πόλη κοντά στη Βενετία, όπου δημοσιεύθηκε στις 10 Δεκεμβρίου 1478. Λίγο αργότερα, ο Piero Borghi παρουσίασε μια μακρύτερη και πληρέστερη έκδοση, τυπωμένη στη Βενετία το 1484, η οποία έγινε αληθινή μπεστ σέλερ, με δεκαπέντε εκτυπώσεις, δύο το 1400 και το το τελευταίο το 1564. Ο Filippo Calandri έγραψε ένα τρίτο βιβλίο, το Pitagora aritmetice εισαγωγέα, τυπωμένο στη Φλωρεντία το 1491, και ένα χειρόγραφο που γράφτηκε από τον Λεονάρντο Ντα Βίντσι και τον καθηγητή rsquos Benedetto da Firenze το 1463, Trattato d & rsquoabacho, εκτυπώθηκε σύντομα. Αυτά τα αρχικά τυπωμένα αριθμητικά κείμενα ακολούθησαν σύντομα πολλοί άλλοι.

Αν και το Liber abbaci θεωρήθηκε γενικά ως η αρχική πηγή για πολλά, αν όχι όλα, τα τυπωμένα αριθμητικά κείμενα που δημοσιεύθηκαν, μόνο ένα από αυτά περιελάμβανε οποιαδήποτε αναφορά στο Leonardo. Η Luca Pacioli, του οποίου το πολύ σεβαστό, ακαδημαϊκό βιβλίο για τον άβακα Summa de arithmetica geometria propiion proportionalit & agrave (& ldquoAll That is Known About Arithmetic, Geometry, Proportions and Proportionality & rdquo) εκτυπώθηκε στη Βενετία το 1494, καταγράφοντας το Leonardo μεταξύ των πηγών του και δήλωσε:

Και αφού ακολουθούμε ως επί το πλείστον τον Leonardo Pisano, σκοπεύω να ξεκαθαρίσω τώρα ότι οποιαδήποτε προφορά που αναφέρεται χωρίς το όνομα του συγγραφέα πρέπει να αποδοθεί στον Leonardo.

Η γενική απουσία διαπίστευσης δεν ήταν ασυνήθιστη πηγή παραπομπής ήταν μια πρακτική που έγινε κοινή πολύ αργότερα, και οι συγγραφείς συχνά σήκωσαν ολόκληρα αποσπάσματα από άλλους συγγραφείς χωρίς καμία μορφή αναγνώρισης. Χωρίς αυτήν μια αναφορά από τον Πασιόλι, οι μετέπειτα ιστορικοί ίσως να μην γνώριζαν ποτέ τον σημαντικό ρόλο Pisan & rsquos στη γέννηση του σύγχρονου κόσμου. Ωστόσο, η παρατήρηση του Pacioli & rsquos ήταν κάτι περισσότερο από ένα νεύμα στην ιστορία, γιατί μια ανάγνωση ολόκληρου του κειμένου δείχνει ότι ο συγγραφέας δεν αντλεί από τον ίδιο τον Liber abbaci, αλλά από πηγές πιο κοντά στον δικό του χρόνο. Δεν υπάρχει καμία ένδειξη ότι είχε κοιτάξει ποτέ ένα αντίγραφο του Liber abbaci, πόσο μάλλον να το διαβάσει. Η παραπομπή του για τον Λεονάρντο αντικατοπτρίζει το γεγονός ότι, εκείνη την εποχή, ο Πίζαν θεωρήθηκε η κύρια αρχή, του οποίου το βιβλίο ήταν η αρχική πηγή όλων των άλλων.

Παρά τη μεγάλη ζήτηση για εγχειρίδια μαθηματικών, ο ίδιος ο Liber abbaci παρέμεινε σε μορφή χειρόγραφου για αιώνες, και ως εκ τούτου δεν ήταν προσβάσιμος σε όλους εκτός από τους πιο αφοσιωμένους μελετητές. Δεν ήταν μόνο πολύ πιο επιστημονικό και δύσκολο να κατανοηθεί από πολλά άλλα κείμενα, αλλά ήταν πολύ μεγάλο. Με την πάροδο του χρόνου έγινε ξεχασμένο, καθώς οι άνθρωποι στράφηκαν σε πιο σύντομα, πιο απλά και παράγωγα κείμενα. Αυτή η αναφορά στο Pacioli & rsquos Summa ήταν η μόνη ένδειξη για τον κεντρικό ρόλο του Leonardo & rsquos στη δραματική ανάπτυξη της αριθμητικής. Βρισκόταν εκεί, απαρατήρητο, μέχρι τα τέλη του δέκατου όγδοου αιώνα, όταν ένας Ιταλός μαθηματικός που ονομάζεται Pietro Cossali (1748 & ndash1815) το συναντήθηκε όταν μελέτησε τον Summa κατά τη διάρκεια της έρευνας του βιβλίου του Origine, transporto στην Ιταλία, primi progressi στην essa dell-algebra & ldquoOrigins, Transmission to Italy and Early Progress of Algebra There & rdquo). Ενθουσιασμένος από τον Pacioli & rsquos σύντομη αναφορά στο & ldquo Λεονάρντο Pisano & rdquo, ο Cossali άρχισε να ψάχνει τα χειρόγραφα Pisan & rsquos, και σε εύθετο χρόνο έμαθε από αυτά τη σημαντική συμβολή του Leonardo & rsquos.

Στο βιβλίο του, που δημοσιεύτηκε σε δύο τόμους το 1797 και το 1799, το οποίο πολλοί λένε ότι είναι το πρώτο πραγματικά επαγγελματικό βιβλίο μαθηματικής ιστορίας που γράφτηκε στην Ιταλία, ο Cossali κατέληξε στο συμπέρασμα ότι ο Leonardo & rsquos Liber abbaci ήταν ο κύριος αγωγός για την & ldquotransmission στην Ιταλία & rdquo της σύγχρονης αριθμητικής και άλγεβρας, και ότι οι νέες μέθοδοι εξαπλώθηκαν πρώτα από την πατρίδα Leonardo & rsquos της Πίζας μέσω της Τοσκάνης (ιδίως της Φλωρεντίας) και έπειτα στην υπόλοιπη Ιταλία (κυρίως στη Βενετία) και τελικά σε όλη την Ευρώπη. Ως αποτέλεσμα, ο Λεονάρντο Πισάνο, διάσημος στη ζωή του και στη συνέχεια ξεχάστηκε εντελώς, έγινε γνωστός & mdash και διάσημος & mdash για άλλη μια φορά. Αλλά η κληρονομιά του είχε πλησιάσει πολύ για να χαθεί για πάντα.

Η έλλειψη βιογραφικών λεπτομερειών καθιστά μια ευθεία χρονική της ζωής του Leonardo & rsquos αδύνατη. Πού και πότε γεννήθηκε ακριβώς; Πού και πότε πέθανε; Παντρεύτηκε και απέκτησε παιδιά; Πως έμοιαζε? (Ένα σχέδιο του Λεονάρντο που μπορείτε να βρείτε σε βιβλία και ένα άγαλμα του άνδρα στην Πίζα είναι πιθανότατα καλλιτεχνικές μυθοπλασίες, δεν υπάρχουν στοιχεία που να βασίζονται στην πραγματικότητα.) Τι άλλο έκανε εκτός από τα μαθηματικά; Όλες αυτές οι ερωτήσεις δεν απαντώνται. Από ένα νομικό έγγραφο, γνωρίζουμε ότι ο πατέρας του ονομάστηκε Guilichmus, το οποίο μεταφράζεται ως & ldquoWilliam & rdquo (η παραλλαγή Guilielmo είναι επίσης κοινή) και ότι είχε έναν αδελφό που ονομάζεται Bonaccinghus. Αλλά αν η φήμη και η αναγνώριση του Leonardo & rsquos στην Ιταλία κατά τη διάρκεια της ζωής του οδήγησαν σε οποιοδήποτε γραπτό ρεκόρ, δεν έχει επιβιώσει μέχρι σήμερα.

Έτσι, ένα βιβλίο για τον Λεονάρντο πρέπει να επικεντρωθεί στη μεγάλη του συμβολή και στην πνευματική του κληρονομιά. Έχοντας αναγνωρίσει ότι οι αριθμοί, και ιδιαίτερα οι ισχυροί και αποτελεσματικοί τρόποι υπολογισμού με αυτούς, θα μπορούσαν να αλλάξουν τον κόσμο, ξεκίνησε να το κάνει αυτό σε μια εποχή που η Ευρώπη ήταν έτοιμη για σημαντικές εξελίξεις στην επιστήμη, την τεχνολογία και την εμπορική πρακτική. Μέσω του Liber abbaci έδειξε ότι ένας αφηρημένος συμβολισμός και μια συλλογή φαινομενικά σκοτεινών διαδικασιών χειρισμού αυτών των συμβόλων είχαν τεράστιες πρακτικές εφαρμογές.

Το βιβλίο των έξι εκατό σελίδων που έγραψε ο Λεονάρντο για να εξηγήσει αυτές τις ιδέες είναι η γέφυρα που τον συνδέει με τη σημερινή εποχή. Μπορεί να μην έχουμε μια λεπτομερή ιστορική καταγραφή του Λεονάρντο του άνδρα, αλλά έχουμε τα λόγια και τις ιδέες του. Ακριβώς όπως μπορούμε να καταλάβουμε σπουδαίους μυθιστοριογράφους μέσω των βιβλίων τους ή καταξιωμένων συνθετών μέσω της μουσικής τους & mdash, ειδικά αν καταλάβουμε τις συνθήκες υπό τις οποίες δημιούργησαν και έτσι μπορούμε επίσης να καταλάβουμε τον Leonardo της Πίζας. Γνωρίζουμε πώς ήταν η ζωή τη στιγμή που έζησε. Μπορούμε να σχηματίσουμε μια εικόνα του κόσμου στον οποίο ο Λεονάρντο μεγάλωσε και τις επιρροές που διαμόρφωσαν τις ιδέες του. (Καθώς μας βοηθάει η επιβίωση μέχρι σήμερα, σε μεγάλο βαθμό αμετάβλητη, πολλών από τους δρόμους και τα κτίρια της Πίζας του δέκατου τρίτου αιώνα.) Και ξέρουμε πώς χρησιμοποιήθηκαν οι αριθμοί πριν από την εμφάνιση του Liber abbaci, και πώς το βιβλίο άλλαξε αυτό χρήση για πάντα.


5.3: Το σύστημα αριθμού ινδουιστών-αραβικών - μαθηματικά

Η μουσική είναι μια εξαιρετικά υποκειμενική εμπειρία. Μερικά από τα ηχητικά κύματα που φτάνουν στο ανθρώπινο αυτί θεωρούνται ευχάριστα, ενώ άλλα είναι δυσάρεστα και απλώς ονομάζονται θόρυβοι. Έτσι, η μουσική είναι η τέχνη του συνδυασμού ήχων με σκοπό την ομορφιά της έκφρασης του συναισθήματος. Οι μουσικά καλές μελωδίες είναι επομένως αρμονικές στο χαρακτήρα.

Τα μαθηματικά είναι η βάση της διάδοσης των ηχητικών κυμάτων, και ένας ευχάριστος ήχος συνίσταται στην αρμονία που προκύπτει από τις μουσικές κλίμακες από την άποψη των αριθμητικών αναλογιών, ιδιαίτερα εκείνων των μικρών ακεραίων. Τα μαθηματικά είναι μουσική για το μυαλό, ενώ η μουσική είναι μαθηματικά για την ψυχή.

Ένας κατάλληλος συνδυασμός και συνδυασμός ορισμένων βασικών νότες δημιουργεί μελωδική μουσική που συναρπάζει και μεταφέρει μία σε μια νέα απολαυστική εμπειρία. Αν και θεωρητικά άπειρες δυνατότητες μπορούν να εξεταστούν, μόνο 279 ήταν σε μόδα. Στην καρνατική μουσική, επτά νότες ή σουράρες όπως λέγονται, αποτελούν το θεμέλιο των διαφόρων παραλλαγών και συνδυασμών. Θεωρητικά, μπορεί κανείς να σκεφτεί μαθηματικά το 7! = 5040 δυνατότητες. But only 72 of them, called Janaka ragas, have been analyzed and found to have practical usage from the melody point of view. A raga thus has a set of rules that specify what notes of the octave must be used under the given rule and how to move from one note to the other. A Melkartha raga must necessarily have Sa and Pa and one of the Mas, one each of the Ris and Ga's, and one each of the Dhas and Nis, and further Ri must precede Ga and Dha must precde Ni, and thus we have 2 x 6 x 6 =72 possibilities of the Melakartha ragas.

It was Venkata Makhi who first thought of classifying these 72 ragams or combinations of swaras, and later Govindacharya adopted a slightly different combination. The basic swaras in Carnatic music and those that correspond to the basic notes in Western music are as follows:

Western system: C D E F G A B

Carnatic music: Sa Ri Ga Ma Pa Dha Ni

In the equal tempered system of Western music, the successive notes have a ratio of twelfth root of 2 as shown below:

In the Carnatic music system also, just as in the Western music system, some of the swaras have small variants, and according to some scholars, 22 such notes are possible with the ratios as given below to the fundamental Sa.

Swara Ratio Frequency I Hz

But according to some scholars, Ma has only 2 variants while Ri, Ga, Dha and Ni have only 3 variants each while Sa and Pa are fixed, and Venkata Makhi has followed this system in his classification of the ragas in vogue. Although many ragas might have been in existence earlier, it was first Venkata Makhi who made a classification of the ragas by allotting them a number in what is called the Melakartha system, by adding prefix to the existing ones wherever necessary, following the katapayaaadi system of numbering he considered a raga to be a Melakartha raga only if all the 7 swaras were present in the regular order in the ascending as well as descending mode. Govindacharya, however, allowed some freedom in this respect, and permitted deviation of the order as well as absence of any particular swara in either mode provided all the 7 swaras were present.

Melakartha ragas have a swara pattern, with arohanam και avarohanam, the latter being the mirror image of the former, and both together make a musical palindrome!

(The list of the Melakartha ragas and the number of the Melakartha to which the raga belongs is decided according to the katapayaadi system of numeration as prevalent in ancient India, which is as follows:

The following verse found in Śa ṅ karavarman's Sadratnamāla explains the mechanism of the system.

नज्ञावचश्च शून्यानि संख्या: कटपयादय: |
मिश्रे तूपान्त्यहल् संख्या न च चिन्त्यो हलस्वर: ||

nanyāvacaśca śūnyāni sa khyā ka apayādaya
miśre tūpāntyahal sa khyā na ca cintyo halasvara

Μετάφραση : na ( न) , nya ( ञ) and ένα ( अ)- s i.e. vowels represent zero . The (nine) integers are represented by consonant group beginning with ka, ένα , pa, ya. In a conjunct consonant, the last of the consonants alone will count. A consonant without vowel is to be ignored.

The assignment of letters to the numerals is as per the following arrangement.

Consonants have numerals assigned as per the above table. For example, ba ( ब) is always three 3 whereas 5 can be represented by either nga ( ङ) or ένα ( ण) or ma ( म) or śha ( श).

All stand-alone vowels like ένα ( अ) and ( ऋ) are assigned to zero 0.

In case of a conjunct, consonants attached to a non-vowel will not be valueless. Για παράδειγμα, kya ( क्या) is formed by κ ( क्) + ya ( य) + ένα ( अ). The only consonant standing with a vowel is ya ( य). So the corresponding numeral for kya ( क्या) will be 1.

There is no way of representing Decimal separator in the system.

Indians used the Hindu-Arabic numeral system for numbering, traditionally written in increasing place values from left to right. This is as per the rule ένα kānām vāmato gati ( अङ्कानाम् वामतो गति) which means numbers go from left to right .

The moment the name of a raga is given, the above system is used to find the Melakartha of that raga. Sometimes to fix the correct number, the name of the raga is slightly changed, as for instance, Sankarabharanam is called Dheerasankarabhaaranam, and Kalyani is called Mechakalyani and so on.

Let us consider some examples. Take Mayamalava Gowla. Here, Ma stands for 5 and ya stands for 1. So, the number we get is 51, and as per the reversing rule, the number of the Melkartha is 15.

Then, consider Simhendra Madhyamam. Sa stands for 7, and Ma for 5. The number is 75 and on reversing it is 57, which is the Melakartha of this raga. (The second consonant ha has number 8, and on reversal would give 87 as melakartha raga which is nonexistent. Hence, ma is taken in simha as the second consonant).

Now, consider Vachaspati. Va stands for 4, and cha for 6, and the number is 46 which on reversing gives 64 as its Melakartha. Sa and Pa are taken as fixed for all the Melakartha ragas.

The question arises which variant of Ri, Ga, Ma, Dha, Ni figures in what parent raga.

For ragas whose Melakartha number is 36 or less, M1 is chosen and for ragas whose Melakartha number is 37 or more, M2 is chosen.

Regarding the choice of the variant of Ri, Ga, Dha and Ni, this is decided with a little bit of mathematics. This method, which was perhaps prevalent earlier was refined to generate the entire raga by Ajay Sathyanath in April 1999 and published under the title “Mathematical Fundas in Indian Classical Music” and this gives an elegant method to determine the variants needed. (cf. http://ajaysat.tripod.com/carnatic.html )

Step 1: First, find the number of the Melakartha raga using the Katapayaadi system. Suppose it is K.

Step 2: Consider [[K/6]], called the ceiling function of K/6, that is, the integer which is equal to greater than K/6. π.χ. Suppose K is 31. Then 31/6=5.1…, and [[K/6]] is 6. If K is 30, then [[K/6]] = 5. If [[K/6]] > 6, then take mod 6 of that number arrived at.

Step 3: Now, consider K modulo 6. Since this number will lie between 0 and 5 only, we make this lie between 1 and 6 by setting 0 as 6. If K is 31, then 31 = 1 mod 6. So, we consider only 1 for the procedure to be followed as outlined below.

Step 4: Consider a 3 x 4 upper triangular matrix, as shown below:

…. ….. 7, and we identify these elements as:

The matrix can now be written for convenience as :

In the example considered in step 2, we have the number 6 corresponding to (3,3), we have Ra3 and Ga 3.

Step 5: In step 3, we had 1 as residue after dividing 31 by 6. So, 1 corresponds to (1,1) as indicated above. Ετσι το swaras chosen are Dha1 and Ni3.

31 < 36, and hence we have Ma1.

So, the raga characteristic of Melakartha raga 31 (Yagapriya) is:

Sa Ra3 Ga3 Ma1 Dha1 Ni1 and S in arohana και

Sa Ni1 Dha1 Ma1, Ga3, Ra3 and S in avarohana.

Ex. :Now, let us consider another example: consider Shubhapanthuvarali: Sha stands for 5 and bha stands for 4, so, the number is 54, which on reversal gives 45. 45 > 36, and hence we have Ma2.

To sum up, if [[K/6]] is as defined above, then in this case [[45/6]] =8 = 2 mod 6. 2 corresponds to (1,2), and hence we have Ri1 and Ga2.

45 = 3 mod 6. 3 corresponds to (1,3) in the matrix, and so, we have Dha1 and Ni3.

(i) Find the Melakartha number of the raga with the katapayaadi system. Suppose it is K.

(ii) If K = 36 or <36, then we have Ma1. If K >37, we have Ma2.

(iii) Consider [[K/6]] = a. If a is > 6, take mod 6 of a, suppose it is a*, then find the element in the matrix corresponding to a* which lies between 1 and 6 only. That will decide Ri and Ga.

(iv) Now, consider K = b mod 6. Find the element corresponding to b in the matrix, and that will decide Dha and Ni.

A list of the Melakartha (Janaka) ragas as well as the janya ragas under them and also those not associated with them or whose scales are not yet added is given in appendix 1.


Positional Notation

Both the Babylonian number system and ours rely on position to give value. The two systems do it differently, partly because their system lacked a zero. Learning the Babylonian left to right (high to low) positional system for one's first taste of basic arithmetic is probably no more difficult than learning our 2-directional one, where we have to remember the order of the decimal numbers -- increasing from the decimal, ones, tens, hundreds, and then fanning out in the other direction on the other side, no oneths column, just tenths, hundredths, thousandths, etc.

I will go into the positions of the Babylonian system on further pages, but first there are some important number words to learn.


Ιστορικό

One of the essential requirements for any type of mathematics is a means of representing quantities. At first, tokens might be used—pebbles or small clay objects with one pebble representing each sheep in a herd, for example. Eventually, tokens of different shapes might be used to represent certain multiples, say five or ten sheep instead of one. With the invention of writing, it made more sense to use marks pressed into clay or made on paper or papyrus to keep track of one's possessions. The Babylonians, Egyptians, Indians, and Mayans all had developed elaborate systems to represent quantities by the first century a.d. The Babylonians developed a sophisticated number system based on the number 60, using it in commerce and for astronomy and astrology. By the last century b.c., this system included a symbol for zero, which was used as a placeholder in expressing quantities.

Of the several number systems, those that had the greatest effect on the development of mathematics in Europe of the Middle Ages were the Roman, the Chinese, and the Indian or Hindu, transmitted to the Western world by the Arabs and now known as Hindu-Arabic numerals. In the Roman system, still occasionally used today, letters of the alphabet were used to represent units and multiples of five or ten. In the Roman system the year 2004 can be written quite compactly as MMIV, with a hint of positional notation in that the "I" appearing before the "V" means that the one it represents is to be subtracted from the five represented by the "V." Roman numerals were adequate for record keeping and could be added and subtracted easily, but were far more cumbersome in multiplication and division and certainly not suited to the needs of modern science or commerce.

The Chinese system was not a decimal system, based on the number 10, but a centesimal system, based on separate symbols for the whole numbers between 1 and 9 and for multiples of 10 between 10 and 90. By alternating the pairs of symbols, the Chinese were able to represent numbers of any size. Because the Chinese number symbols were composed of single strokes, it was possible to represent them by short sticks, and to do arithmetic by moving sticks about according to preset rules. This led in the Middle Ages to the use of counting boards by merchants to do simple arithmetic. The Chinese were also responsible for the abacus, an arrangement of beads on wires that facilitated the ordinary operations of addition, subtraction, and multiplication.

The number system we use today, based on the numerals 0-9 and using position to denote different powers of 10, originated in India. Mathematical thinking in India dates back to at least 800 b.c. Number symbols first appear in the third century b.c., including among many alternatives the so-called Brahmi symbols, which include separate symbols for the numerals 1 through 9 and the multiples of 10 from 10 to 90. The Brahmi figures gradually evolved into the "1,2,3. " of today. By the year 600, they had come to predominate and to include a symbol for zero and for the use of positional notation. ο Brahamasphuta Siddhanta, a treatise on astronomy written by the astronomer and mathematician Brahmagupta (598-c. 665) includes a treatment of arithmetic using the system of ten numerals, including zero, along with rules for fractions, the computation of interest, and rules for using negative numbers. Interestingly, Brahmagupta appeared to treat the fraction 0/0 as equal to zero, and avoided the question of dividing other numbers by zero.

Beginning in a.d. 632 Arab armies expanding from the Arabian peninsula established an Islamic empire that would stretch as far eastward as India and as far west as Spain. In 755 it split into two kingdoms, one with its capital at Baghdad. There, Hindu scientists and mathematicians found themselves welcome, despite their different religious beliefs. In Baghdad they could meet the descendants of the Greek scholars who had fled to Persia, bringing their mathematical interests, after the Emperor Justinian closed Plato's academy in a.d. 529. By 766 some Hindu mathematical work had been translated into Arabic. At Baghdad the Caliph al-Ma'mun (786-833) established a "House of Wisdom" modeled on the earlier Greek academy at Alexandria, with a library and observatory.

One of the scholars at the House of Wisdom was al-Khwarizmi (c. 780-c. 850). Al-Khwarizmi's book on algebra, popularly known as the al-jabr, was translated into Latin in 1145 by Robert of Chester (fl. c. 1141-1150), an English scholar living in Islamic Spain. Al-Khwarizmi would also become known to the Western world for a book known only in Latin translation as the Al-goritmi de numero Indorum, ή Al-Khwarizmi on the Hindu Method of Calculation, in which he explains the Hindu number system and how it can be used in arithmetic calculations. It is from the title of this book that we obtain the word "algorithm" for any systematic method of calculation.

Among the readers of this book were Leonardo of Pisa (c. 1170- c. 1250), also known as Leonardo Fibonacci, an Italian who traveled throughout northern Africa and became familiar with the Arab system of numbers and methods of calculation. In 1202 he wrote the Liber Abaci ή Book of Calculations, in which he described the Arabic system of numbers. Although the Hindu-Arabic system of numbers was not entirely unknown in Europe, it was Fibonacci's book that led to its widespread adoption in commerce and record keeping.


Hindu-Arabic and Roman Numeral Systems

It was stated previously that the ancient Hindus are credited with discovering the decimal system of numeration we use today. This system was translated into Arabic prior to its introduction into Europe by traveling merchants around the 13th century. Hence it is also known as the Hindu-Arabic system.

Adoption of the Hindu-Arabic system met resistance due to the widespread use of the Roman numeral system during this period. Gradually, however, the superior Hindu-Arabic system was learned by the Europeans, and eventually it replaced the Roman system (see Roman numeral).

The Roman numerals are still sometimes used. Some examples of items on or in which Roman numerals still appear include clock faces and books, for numbering introductory pages and chapters.

The Roman system, like others that are not based on the principle of position, does not provide an efficient and easy method of computation. Here are some examples of computations using the Roman system. Equivalent computations using the Hindu-Arabic system are alongside.


The Five Big Contributions Ancient India Made to the World of Math

As well as giving us the concept of zero, Indian mathematicians made seminal contributions to the study of trigonometry, algebra, arithmetic and negative numbers.

Winston Mills-Compton teaches a class in mathematics at the Mfantsipim Boys School in Cape Coast, Ghana, June 20, 2006. Mfantsipim is one of the oldest schools in Cape Coast, a town that prides itself as the academic center of the country. UN Secretary General Kofi Annan is one of the school's alumni. Credit: Flickr

It should come as no surprise that the first recorded use of the number zero, recently discovered to be made as early as the third or fourth century, happened in India. Mathematics on the Indian subcontinent has a rich history going back over 3,000 years and thrived for centuries before similar advances were made in Europe, with its influence meanwhile spreading to China and the Middle East.

As well as giving us the concept of zero, Indian mathematicians made seminal contributions to the study of trigonometry, algebra, arithmetic and negative numbers among other areas. Perhaps most significantly, the decimal system that we still employ worldwide today was first seen in India.

The number system

As far back as 1200 BC, mathematical knowledge was being written down as part of a large body of knowledge known as the Vedas. In these texts, numbers were commonly expressed as combinations of powers of ten. For example, 365 might be expressed as three hundreds (3吆²), six tens (6吆¹) and five units (5吆⁰), though each power of ten was represented with a name rather than a set of symbols. It is reasonable to believe that this representation using powers of ten played a crucial role in the development of the decimal-place value system in India.

Brahmi numerals. Credit: Wikimedia Commons

From the third century BC, we also have written evidence of the Brahmi numerals, the precursors to the modern, Indian or Hindu-Arabic numeral system that most of the world uses today. Once zero was introduced, almost all of the mathematical mechanics would be in place to enable ancient Indians to study higher mathematics.

The concept of zero

Zero itself has a much longer history. The recently dated first recorded zeros, in what is known as the Bakhshali manuscript, were simple placeholders – a tool to distinguish 100 from ten. Similar marks had already been seen in the Babylonian and Mayan cultures in the early centuries AD and arguably in Sumerian mathematics as early as 3000-2000 BC.

But only in India did the placeholder symbol for nothing progress to become a number in its own right. The advent of the concept of zero allowed numbers to be written efficiently and reliably. In turn, this allowed for effective record-keeping that meant important financial calculations could be checked retroactively, ensuring the honest actions of all involved. Zero was a significant step on the route to the democratisation of mathematics.

These accessible mechanical tools for working with mathematical concepts, in combination with a strong and open scholastic and scientific culture, meant that, by around 600AD, all the ingredients were in place for an explosion of mathematical discoveries in India. In comparison, these sorts of tools were not popularised in the West until the early 13th century, though Fibonnacci’s book liber abaci.

Solutions of quadratic equations

In the seventh century, the first written evidence of the rules for working with zero were formalised in the Brahmasputha Siddhanta. In his seminal text, the astronomer Brahmagupta introduced rules for solving quadratic equations (so beloved of secondary school mathematics students) and for computing square roots.

Rules for negative numbers

Brahmagupta also demonstrated rules for working with negative numbers. He referred to positive numbers as fortunes and negative numbers as debts. He wrote down rules that have been interpreted by translators as: “A fortune subtracted from zero is a debt,” and “a debt subtracted from zero is a fortune”.

This latter statement is the same as the rule we learn in school, that if you subtract a negative number, it is the same as adding a positive number. Brahmagupta also knew that “The product of a debt and a fortune is a debt” – a positive number multiplied by a negative is a negative.

For the large part, European mathematicians were reluctant to accept negative numbers as meaningful. Many took the view that negative numbers were absurd. They reasoned that numbers were developed for counting and questioned what you could count with negative numbers. Indian and Chinese mathematicians recognised early on that one answer to this question was debts.

For example, in a primitive farming context, if one farmer owes another farmer seven cows, then effectively the first farmer has -7 cows. If the first farmer goes out to buy some animals to repay his debt, he has to buy seven cows and give them to the second farmer in order to bring his cow tally back to zero. From then on, every cow he buys goes to his positive total.

Basis for calculus

This reluctance to adopt negative numbers, and indeed zero, held European mathematics back for many years. Gottfried Wilhelm Leibniz was one of the first Europeans to use zero and the negatives in a systematic way in his development of calculus in the late 17th century. Calculus is used to measure rates of changes and is important in almost every branch of science, notably underpinning many key discoveries in modern physics.

But Indian mathematician Bhāskara had already discovered many of Leibniz’s ideas over 500 years earlier. Bhāskara, also made major contributions to algebra, arithmetic, geometry and trigonometry. He provided many results, for example on the solutions of certain “Diophantine” equations, that would not be rediscovered in Europe for centuries.

The Kerala school of astronomy and mathematics, founded by Madhava of Sangamagrama in the 1300s, was responsible for many firsts in mathematics, including the use of mathematical induction and some early calculus-related results. Although no systematic rules for calculus were developed by the Kerala school, its proponents first conceived of many of the results that would later be repeated in Europe including Taylor series expansions, infinitesimals and differentiation.

The leap, made in India, that transformed zero from a simple placeholder to a number in its own right indicates the mathematically enlightened culture that was flourishing on the subcontinent at a time when Europe was stuck in the dark ages. Although its reputation suffers from the Eurocentric bias, the subcontinent has a strong mathematical heritage, which it continues into the 21st century by providing key players at the forefront of every branch of mathematics.

Christian Yates is Senior Lecturer in Mathematical Biology in University of Bath.


The Arabic and Hindu Numeral System

The Arabic and Hindu number system was developed around 800AD. Today this numeral system is very popular and widely used. Now we shall discuss the following four main attributes about this numeral system.

First, it uses ten digits or number symbols, and all the numbers we see around us are combinations of these ten digits. The digits are written as 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, and 9. Secondly, the system contains groups of tens, and we usually have ten digits on our hands. It may be noted that the word ψηφία mean the fingers. In the Arabic and Hindu numeral system, ten ones, ten tens, ten hundreds and 10 one thousand and so on are replaced by one ten, one hundred, one thousand and 10 thousands and so on, respectively.

Thirdly, starting from right to left, it uses place value:

  • The first number shows the number of ones it has.
  • The second number shows the number of tens it has.
  • The third number shows the number of hundreds it has.
  • The fourth number shows the number of thousands it has.
  • And so on …

For example if we examine the numeral 7594, there are 4 ones, 9 tens, 5 hundreds, and 7 thousands.

Finally, the value of a numeral is originated by multiplying every place value by its related digit and then adding the consequential products.


Δες το βίντεο: Τα μεγαλύτερα ποτάμια και οι μεγαλύτερες λίμνες της Γης - Νείλος (Δεκέμβριος 2021).