Άρθρα

7.5.1: Κανονικές εξισώσεις Euler (Ασκήσεις) - Μαθηματικά


Ε7.4.1

Σε Ασκήσεις 7.4.1-7.4.18 βρείτε τη γενική λύση της δεδομένης εξίσωσης Euler στο ((0, infty) ).

1. (x ^ 2y "+ 7xy" + 8y = 0 )

2. (x ^ 2y "- 7xy" + 7y = 0 )

3. (x ^ 2y "- xy" + y = 0 )

4. (x ^ 2y "+ 5xy" + 4y = 0 )

5. (x ^ 2y "+ xy" + y = 0 )

6. (x ^ 2y "- 3xy" + 13y = 0 )

7. (x ^ 2y "+ 3xy'-3y = 0 )

8. (12x ^ 2y "- 5xy" + 6y = 0 )

9. (4x ^ 2y "+ 8xy" + y = 0 )

10. (3x ^ 2y "- xy" + y = 0 )

11. (2x ^ 2y "- 3xy" + 2y = 0 )

12. (x ^ 2y "+ 3xy" + 5y = 0 )

13. (9x ^ 2y "+ 15xy" + y = 0 )

14. (x ^ 2y "- xy" + 10y = 0 )

15. (x ^ 2y "- 6y = 0 )

16. (2x ^ 2y "+ 3xy'-y = 0 )

17. (x ^ 2y "- 3xy" + 4y = 0 )

18. (2x ^ 2y "+ 10xy" + 9y = 0 )

Ε7.4.2

19.

  1. Προσαρμόστε την απόδειξη του Θεώρηματος 7.4.3 για να δείξετε ότι (y = y (x) ) ικανοποιεί την εξίσωση Euler [ax ^ 2y "+ bxy" + cy = 0 tag {A} ] on (( - infty, 0) ) εάν και μόνο εάν (Y (t) = y (-e ^ t) ) [a {d ^ 2Y over dt ^ 2} + (ba) {dY over dt } + cY = 0. nonumber ] on ((- infty, infty) ).
  2. Χρησιμοποιήστε το (a) για να δείξετε ότι η γενική λύση της Εξίσωσης A στο ((- infty, 0) ) είναι [ begin {aligned} y & = c_1 | x | ^ {r_1} + c_2 | x | ^ { r_2} mbox {εάν $ r_1 $ και $ r_2 $ είναι διαφορετικοί πραγματικοί αριθμοί. } y & = | x | ^ {r_1} (c_1 + c_2 ln | x |) mbox {if $ r_1 = r_2 $; } y & = | x | ^ { lambda} αριστερά [c_1 cos αριστερά ( omega ln | x | δεξιά) + c_2 sin αριστερά ( omega ln | x | δεξιά) δεξιά] mbox {if $ r_1, r_2 = lambda pm i omega $ with $ omega> 0 $}. end {aligned} nonumber ]

20. Χρησιμοποιήστε τη μείωση της παραγγελίας για να δείξετε ότι εάν

[ar (r-1) + br + c = 0 nonumber ]

έχει μια επαναλαμβανόμενη ρίζα (r_1 ) τότε (y = x ^ {r_1} (c_1 + c_2 ln x) ) είναι η γενική λύση του

[ax ^ 2y "+ bxy" + cy = 0 nonumber ]

στο ((0, infty) ).

21. Μια ασήμαντη λύση του

[P_0 (x) y "+ P_1 (x) y" + P_2 (x) y = 0 nonumber ]

λέγεται ότι είναι ταλαντευτικός σε ένα διάστημα ((a, b) ) εάν έχει άπειρα πολλά μηδενικά στο ((a, b) ). Διαφορετικά λέγεται ότι (y ) είναι μη ψυχολογικά στο ((a, b) ). Δείξτε ότι η εξίσωση

[x ^ 2y "+ ky = 0 quad (k = ; mbox {stable}) nonumber ]

έχει ταλαντωτικές λύσεις στο ((0, infty) ) εάν και μόνο εάν (k> 1/4 ).

22. Στο Παράδειγμα 7.4.2 είδαμε ότι (x_0 = 1 ) και (x_0 = -1 ) είναι κανονικά μοναδικά σημεία της εξίσωσης του Legendre

[(1-x ^ 2) y "- 2xy '+ alpha ( alpha + 1) y = 0. ετικέτα {A} ]

  1. Εισαγάγετε τις νέες μεταβλητές (t = x-1 ) και (Y (t) = y (t + 1) ) και δείξτε ότι (y ) είναι μια λύση του (A) εάν και μόνο εάν (Y ) είναι μια λύση του [t (2 + t) {d ^ 2Y over dt ^ 2} +2 (1 + t) {dY over dt} - alpha ( alpha + 1) Y = 0, nonumber ] που έχει ένα κανονικό μοναδικό σημείο στο (t_0 = 0 ).
  2. Εισαγάγετε τις νέες μεταβλητές (t = x + 1 ) και (Y (t) = y (t-1) ) και δείξτε ότι (y ) είναι μια λύση του (A) εάν και μόνο εάν (Y ) είναι μια λύση του [t (2-t) {d ^ 2Y over dt ^ 2} +2 (1-t) {dY over dt} + alpha ( alpha + 1) Y = 0, nonumber ] που έχει ένα κανονικό μοναδικό σημείο στο (t_0 = 0 ).

23. Αφήστε τα (P_0, P_1 ) και (P_2 ) να είναι πολυώνυμα χωρίς κοινό παράγοντα και υποθέστε ότι το (x_0 ne0 ) είναι ένα μοναδικό σημείο

[P_0 (x) y "+ P_1 (x) y" + P_2 (x) y = 0. ετικέτα {A} ]

Έστω (t = x-x_0 ) και (Y (t) = y (t + x_0) ).

  1. Δείξτε ότι (y ) είναι μια λύση του (A) εάν και μόνο εάν (Y ) είναι μια λύση του [R_0 (t) {d ^ 2Y over dt ^ 2} + R_1 (t) {dY over dt} + R_2 (t) Y = 0. tag {B} ] όπου [R_i (t) = P_i (t + x_0), quad i = 0,1,2. nonumber ]
  2. Δείξτε ότι (R_0 ), (R_1 ) και (R_2 ) είναι πολυώνυμα στο (t ) χωρίς κοινούς παράγοντες και (R_0 (0) = 0 ); έτσι, (t_0 = 0 ) είναι ένα μοναδικό σημείο του (B).

7.5.1: Κανονικές εξισώσεις Euler (Ασκήσεις) - Μαθηματικά

Πρόκειται να σβήστε την εργασία σας σε αυτήν τη δραστηριότητα. Είστε βέβαιοι ότι θέλετε να το κάνετε αυτό;

Διαθέσιμη ενημερωμένη έκδοση

Υπάρχει ένα αναβαθμισμένη έκδοση αυτής της δραστηριότητας. Εάν πραγματοποιήσετε ενημέρωση στην πιο πρόσφατη έκδοση αυτής της δραστηριότητας, τότε η τρέχουσα πρόοδός σας σε αυτήν τη δραστηριότητα θα διαγραφεί. Ανεξάρτητα, το αρχείο ολοκλήρωσης θα παραμείνει. Πως θα θέλατε να συνεχίσετε;

Επεξεργαστής Μαθηματικής Έκφρασης

Ολοκληρώνουμε τη μελέτη μας για τη μέθοδο του Frobenius για την εξεύρεση λύσεων σειράς γραμμικών διαφορικών εξισώσεων δεύτερης τάξης, λαμβάνοντας υπόψη την περίπτωση όπου η ενδεικτική εξίσωση έχει διαφορετικές πραγματικές ρίζες που διαφέρουν από έναν ακέραιο.

Η μέθοδος του Frobenius III

Στην τάφρο 7.5 και 7.6 συζητήσαμε μεθόδους για την εξεύρεση λύσεων Frobenius μιας ομοιογενούς γραμμικής εξίσωσης δεύτερης τάξης κοντά σε ένα κανονικό μοναδικό σημείο στην περίπτωση όπου η ενδεικτική εξίσωση έχει επαναλαμβανόμενη ρίζα ή διακριτές πραγματικές ρίζες που δεν διαφέρουν από έναν ακέραιο. Σε αυτήν την ενότητα εξετάζουμε την περίπτωση όπου η ενδεικτική εξίσωση έχει ξεχωριστές πραγματικές ρίζες που διαφέρουν από έναν ακέραιο. Θα περιορίσουμε τη συζήτησή μας σε εξισώσεις που μπορούν να γραφτούν ως

ή όπου οι ρίζες της ενδεικτικής εξίσωσης διαφέρουν κατά θετικό ακέραιο.

Ξεκινάμε με ένα θεώρημα που παρέχει ένα θεμελιώδες σύνολο λύσεων εξισώσεων της φόρμας (eq: 7.7.1).

Proof Theorem thmtype: 7.5.3 σημαίνει ότι. Τώρα θα το δείξουμε. Δεδομένου ότι είναι γραμμικός τελεστής, αυτό ισοδυναμεί με το να δείξουμε ότι Για να το επαληθεύσουμε αυτό, θα το δείξουμε και αυτό θα υπονοεί αυτό, αφού αντικαθιστούμε (eq: 7.7.7) και (eq: 7.7.8) στο (eq: 7.7 6) και χρήση (eq: 7.7.4) αποδόσεις

Θα αποδείξουμε (eq: 7.7.8) πρώτα. Από το θεώρημα thmtype: 7.6.1, Ρύθμιση και ανάκληση αυτού και αποδόσεις

Δεδομένου ότι και είναι οι ρίζες της ενδεικτικής εξίσωσης, το ενδεικτικό πολυώνυμο μπορεί να γραφτεί ως Διαφοροποίηση αυτής της απόδοσης Επομένως, έτσι (eq: 7.7.9) υπονοεί (eq: 7.7.8).

Πριν από την απόδειξη (eq: 7.7.7), σημειώνουμε πρώτα ότι ορίζεται καλά (eq: 7.7.3) για, αφού για αυτές τις τιμές του. Ωστόσο, δεν μπορούμε να ορίσουμε με (eq: 7.7.3), δεδομένου ότι. Για ευκολία, ορίζουμε για. Στη συνέχεια, από το θεώρημα thmtype: 7.5.1,

όπου και εάν, τότε (eq: 7.7.3) υπονοεί ότι. Εάν, τότε γιατί. Επομένως (eq: 7.7.10) μειώνεται σε Από και, αυτό σημαίνει (eq: 7.7.7).

Αφήνουμε την απόδειξη ότι είναι ένα θεμελιώδες σύνολο ως άσκηση.

Για τον υπολογισμό των συντελεστών και, ορίσαμε στο (eq: 7.7.13) και εφαρμόζουμε τον προκύπτοντα τύπο επανάληψης για, ως εκ τούτου,

Χρησιμοποιούμε λογαριθμική διαφοροποίηση για την απόκτηση. Από (eq: 7.7.14), Επομένως, Διαφοροποιώντας σε σχέση με τις αποδόσεις, επομένως Ρυθμίστε εδώ και ανακαλείτε (eq: 7.7.15) αποδόσεις

Αντικαθιστώντας αυτό σε (eq: 7.7.16) αποδόσεις

Εάν στο (eq: 7.7.4), δεν χρειάζεται να υπολογιστεί στον τύπο (eq: 7.7.5) για. Επομένως, είναι καλύτερο να υπολογίζετε πριν από τον υπολογισμό. Αυτό απεικονίζεται στο επόμενο παράδειγμα.

Για να υπολογίσουμε τους συντελεστές, ορίσαμε στο (eq: 7.7.20) και εφαρμόζουμε τον προκύπτοντα τύπο επανάληψης για, έτσι, έτσι,

Εξετάζουμε τώρα εξισώσεις της μορφής όπου οι ρίζες της ενδεικτικής εξίσωσης είναι πραγματικές και διαφέρουν από έναν ομοιόμορφο ακέραιο. Η απόδειξη του επόμενου θεωρήματος είναι παρόμοια με την απόδειξη του τύπου Θεώρημα: 7.7.1

Για τον υπολογισμό των συντελεστών και, στο, ορίσαμε στο (eq: 7.7.26) και εφαρμόζουμε τον προκύπτοντα τύπο επανάληψης για, έτσι,

Αυτό αποδίδει υποκατάστατα, και σε (ισοδ .: 7.7.23) αποδόσεις. Επομένως, από (eq: 7.7.24),

Για να αποκτήσουμε χρησιμοποιούμε λογαριθμική διαφοροποίηση. Από (eq: 7.7.27), Επομένως Διαφοροποιώντας σε σχέση με τις αποδόσεις Επομένως Ρυθμίστε εδώ και ανακαλέστε αποδόσεις (eq: 7.7.28)

Επειδή μπορούμε να ξαναγράψουμε (eq: 7.7.30) ως αντικαθιστώντας αυτό σε (eq: 7.7.29) αποδόσεις

Για τον υπολογισμό των συντελεστών, και, ορίσαμε (eq: 7.7.33) και εφαρμόζουμε τον προκύπτοντα τύπο επανάληψης για, ως εκ τούτου,

Πηγή κειμένου

Trench, William F., "Elementary Differential Equations" (2013). Σχολή Συγγραφέων και Επεξεργασμένων Βιβλίων & CD. 8. (CC-BY-NC-SA)


Περισσότερες ειδικές λειτουργίες

Υπεργεωμετρικές αναπαραστάσεις

Ορισμένες από τις ειδικές λειτουργίες που παρουσιάζονται σε αυτό το βιβλίο μπορούν να εκφραστούν σε όρους υπεργομετρικών λειτουργιών. Η ταυτοποίηση μπορεί συνήθως να γίνει σημειώνοντας ότι αυτές οι λειτουργίες είναι λύσεις των ODE που είναι ειδικές περιπτώσεις του υπεργγεωμετρικού ODE. Είναι επίσης απαραίτητο να προσδιοριστούν οι παράγοντες που απαιτούνται για την έκφραση των συναρτήσεων στη συμφωνημένη κλίμακα. Αναφέρουμε πολλά παραδείγματα.

Οι υπερηχητικές συναρτήσεις C n (α) (x) ικανοποιούν το ODE που δίνεται ως Εξ. (18.99), και επειδή αυτή η εξίσωση είναι μια ειδική περίπτωση της υπεργγεωμετρικής εξίσωσης, Εξ. (18.120), βλέπουμε ότι οι υπερηχητικές συναρτήσεις (και οι συναρτήσεις Legendre και Chebyshev) μπορούν να εκφραστούν ως υπεργγεωμετρικές συναρτήσεις. Για την υπερηχητική λειτουργία λαμβάνουμε

Για Legendre και συναφείς συναρτήσεις Legendre βρίσκουμε

Οι συναρτήσεις Chebyshev έχουν παραστάσεις

Η υπεργεωμετρική σειρά μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον καθορισμό συναρτήσεων με μη ολοκληρωμένους δείκτες. Οι φυσικές εφαρμογές είναι ελάχιστες.

Για ντο, ακέραιος, και ένα και σι μη ολοκληρωμένο, δείξτε ότι

Τι συμβαίνει εάν ένα είναι ακέραιος, ας πούμε, ένα = −1 και ντο = −2?

Βρείτε τις σχέσεις επανάληψης Legendre, Chebyshev I και Chebyshev II που αντιστοιχούν στην σχέση υπεργγεωμετρικής γειτονικής συνάρτησης που δίνεται ως Εξ. (18.126).

Μεταμορφώστε τα ακόλουθα πολυώνυμα σε υπεργεωμετρικές συναρτήσεις του επιχειρήματος Χ 2: (α)

T 2 n (x) = (- 1) n 2 F 1 (- n, n 1 2 x 2).

x - 1 T 2 n + 1 (x) = (- 1) n (2 n + 1) 2 F 1 (- n, n + 1 3 2 x 2).

U 2 n (x) = (- 1) n 2 F 1 (- n, n + 1 1 2 x 2).

x - 1 U 2 n + 1 (x) = (- 1) n (2 n + 2) 2 F 1 (- n, n + 2 3 2 x 2).

Παραγάγετε ή επαληθεύστε τον κύριο παράγοντα στις υπεργεωμετρικές αναπαραστάσεις των λειτουργιών Chebyshev.

Βεβαιωθείτε ότι η λειτουργία Legendre του δεύτερου είδους,Ερν(ζ), δίνεται από

Η ατελής συνάρτηση beta ορίστηκε στην Εξ. (13.78) ως

Επαληθεύστε την ολοκληρωμένη αναπαράσταση

Σημείωση. Παρόλο που οι σειρές ισχύος που χρησιμοποιούνται για τον καθορισμό αυτής της ολοκληρωμένης αναπαράστασης ισχύει μόνο για |ζ| & lt 1, η αναπαράσταση ισχύει για γενικά ζ, όπως μπορεί να αποδειχθεί με αναλυτική συνέχεια. Για μη ολοκληρωμένο ένα τον πραγματικό άξονα στο ζ- το αεροπλάνο από 1 έως ∞ είναι μια γραμμή κοπής.

Ιχνος. Το ακέραιο είναι ύποπτα σαν μια λειτουργία beta και μπορεί να επεκταθεί σε μια σειρά λειτουργιών beta.

Ιχνος. Εδώ είναι μια ευκαιρία να χρησιμοποιήσετε την ολοκληρωμένη αναπαράσταση στην Άσκηση 18.5.7.

Ιχνος. Δοκιμάστε μια ολοκληρωμένη αναπαράσταση.

Σημείωση. Αυτή η σχέση είναι χρήσιμη για την ανάπτυξη μιας αναπαράστασης του Rodrigues Τν(Χ) (βλ. Άσκηση 18.5.10).

Ιχνος. Μια πιθανότητα είναι η χρήση της σχέσης υπεργυομετρικής συνάρτησης

Δείξτε ότι το άθροισμα στην Εξ. (18.43),

Ιχνος. Εδώ είναι μια ευκαιρία να χρησιμοποιήσετε τη σχέση συνεχόμενης συνάρτησης Εξ. (18.127) και μαθηματική επαγωγή (Ενότητα 1.4). Εναλλακτικά, χρησιμοποιήστε την ολοκληρωμένη αναπαράσταση και τη συνάρτηση beta.


Πίνακας περιεχομένων

Πρόλογος για τον εκπαιδευτή xv Πρόλογος για τον μαθητή xvii 1 Τι είναι μια διαφορική εξίσωση; 1 1.1 Εισαγωγικές παρατηρήσεις 1 1.2 Μια γεύση συνηθισμένων διαφορικών εξισώσεων 5 1.3 Η φύση των λύσεων 7 1.4 Ξεχωριστές εξισώσεις 15 1.5 Πρώτης τάξης, Γραμμικές εξισώσεις 18 1.6 Ακριβείς εξισώσεις 24 1.7 Ορθογώνιες τροχιές και καμπύλες 30 1.8 Ομογενείς εξισώσεις 36 1.9 Ολοκληρωτικοί παράγοντες 41 1.10 Μείωση της παραγγελίας 46 1.10.1 Εξαρτώμενη μεταβλητή που λείπει 46 1.10.2 Ανεξάρτητη μεταβλητή που λείπει 48 1.11 Η κρεμαστή αλυσίδα και οι καμπύλες επιδίωξης 52 1.11.1 Η κρεμαστή αλυσίδα 52 1.11.2 Καμπύλες επιδίωξης 57 1.12 Ηλεκτρικά κυκλώματα 62 1.13 Ο σχεδιασμός μιας μηχανής διάλυσης 67 Προβλήματα για έλεγχο και ανακάλυψη 72 2 Γραμμικές εξισώσεις δεύτερης τάξης 77 2.1 Γραμμικές εξισώσεις δεύτερης τάξης με σταθερούς συντελεστές 77 2.2 Η μέθοδος των απροσδιόριστων συντελεστών 85 ix 2.3 Η μέθοδος παραλλαγής των παραμέτρων 90 2.4 Η χρήση μιας γνωστής λύσης για την εύρεση άλλης 95 2.5 Δονήσεις και ταλαντώσεις 100 2.5.1 Ανεπιθύμητη απλή αρμονική κίνηση 100 2,5,2 Αφυγραντικές δονήσεις 102 2,5,3 Αναγκαστικές δονήσεις 106 2,5,4 A Λίγες παρατηρήσεις A περί Ηλεκτρικής Ενέργειας 109 2.6 Νόμος του Βαρύτητος του Νεύτωνα και Νόμοι του Κέπλερ 112 2.6.1 Ο δεύτερος νόμος του Κέπλερ 116 2.6.2 Ο πρώτος νόμος του Κέπλερ 118 2.6.3 Τρίτος νόμος του Κέπλερ 121 2.7 Εξισώσεις ανώτερης τάξης 128 Ιστορική σημείωση 135 2.8 Λειτουργίες Bessel και η μεμβράνη δόνησης 136 Προβλήματα για αναθεώρηση και ανακάλυψη 142 3 Λύσεις Power Series και Ειδικές Λειτουργίες 145 3.1 Εισαγωγή και Επανεξέταση της Σειράς Ισχύος 145 3.1.1 Επανεξέταση της Σειράς Ισχύος 146 3.2 Σειρά Λύσεις Εξισώσεων Πρώτης Τάξης 157 3.3 Συνηθισμένα Σημεία 163 3.4 Κανονικά Μοναδικά Σημεία 173 3.5 Περισσότερα σχετικά με τακτικά Singular Points 180 Ιστορική σημείωση 190 Ιστορική σημείωση 192 ​​3.6 Θερμοκρασία σταθερής κατάστασης σε μια μπάλα 193 Προβλήματα για αναθεώρηση και ανακάλυψη 196 4 Προβλήματα Sturm-Liouville και Προβλήματα Οριακής Αξίας 199 4.1 Τι είναι το πρόβλημα Sturm – Liouville; 199 4.2 Ανάλυση προβλήματος Sturm – Liouville 206 4.3 Εφαρμογές της θεωρίας Sturm – Liouville 213 4.4 Singular Sturm – Liouville 220 4.5 Μερικές ιδέες από την Κβαντομηχανική 227 Προβλήματα για αναθεώρηση και ανακάλυψη 231 5 Αριθμητικές μέθοδοι 235 5.1 Εισαγωγικές παρατηρήσεις 236 5.2 Η μέθοδος του Euler 238 5.3 Ο όρος σφάλματος 242 5.4 Μια βελτιωμένη μέθοδος Euler 246 5.5 Η μέθοδος Runge – Kutta 252 5.6 Μια μέθοδος σταθερής διαταραχής 256 Προβλήματα για αναθεώρηση και ανακάλυψη 260 6 Σειρά Fourier: Βασικές έννοιες 265 6.1 Συντελεστές Fourier 265 6.2 Ορισμένες παρατηρήσεις σχετικά με τη σύγκλιση 275 6,3 ακόμη και περίεργες συναρτήσεις: Σειρά Cosine and Sine 282 6.4 Fourier Series σε αυθαίρετα διαστήματα 289 6.5 Ορθογώνιες συναρτήσεις 293 Ιστορική σημείωση 299 6.6 Εισαγωγή στο Fourier Transform 300 6.6.1 Convolution and Fourier Inversion 309 6.6.2 Προβλήματα μετασχηματισμού Inverse Fourier Transform 309 Discovery 312 7 Laplace Transforms 317 7.0 Εισαγωγή 317 7.1 Εφαρμογές σε διαφορικές εξισώσεις 321 7.2 Παράγωγα και Integra ls 327 7.3 Convolutions 334 7.3.1 Πρόβλημα μηχανικής Abel 337 7.4 Η μονάδα και οι λειτουργίες παλμών 342 Ιστορική σημείωση 352 7.5 Ροή σε μια επίπεδη πλάκα που ξεκίνησε 353 Προβλήματα για αναθεώρηση και ανακάλυψη 356 8 διανομές 363 8.1 Διανομές Schwartz 363 Προβλήματα για αναθεώρηση και ανακάλυψη 371 9 Wavelets 373 9.1 Localization in the Time and Space Variables 373 9.2 Building a Custom Fourier Analysis 376 9.3 The Haar Basis 379 9.4 Μερικά επεξηγηματικά παραδείγματα 384 9.5 Κατασκευή ενός Wavelet Basis 394 9.5.1 Μια συνδυαστική κατασκευή των Daubechies Wavelets398 9.5.2 Τα Daubechies Wavelets από την οπτική γωνία της ανάλυσης Fourier 399 9.5.3 Wavelets as a Unconditional Basis 402 9.5.4 Wavelets and Hampir Diagonalizability 403 9.6 The Wavelet Transform 406 9.7 More on the Wavelet Transform 423 9.8 Decomposition and the Obverse 429 9.9 Ορισμένες εφαρμογές 435 9.10 Προβλήματα αθροιστικής ενέργειας και εντροπίας 445 για αναθεώρηση και ανακάλυψη 451 10 Μερικές διαφορικές εξισώσεις και δεσμευμένες Προβλήματα αξίας ary455 10.1 Εισαγωγή και ιστορικές παρατηρήσεις 455 10.2 Τιμές ιδιοτήτων και η συμβολοσειρά δόνησης 460 10.2.1 Προβλήματα οριακής τιμής 460 10.2.2 Παραγωγή της εξίσωσης κύματος 461 10.2.3 Λύση της εξίσωσης κυμάτων 463 10.3 Η εξίσωση θερμότητας 469 10.4 Το πρόβλημα Dirichlet για δίσκο 478 10.4.1 Το Poisson Integral 481 Ιστορικό σημείωμα 488 Ιστορικό σημείωμα 489 Προβλήματα για αναθεώρηση και ανακάλυψη 491 Πίνακας σημείωσης 495 Γλωσσάριο 501 Λύσεις σε επιλεγμένες ασκήσεις 527 Βιβλιογραφία 527 Ευρετήριο 530


7. Απλοποίηση της εξίσωσης του Euler.

Ας υποθέσουμε ότι το Lagrangian L = L (x, y, y & # 8216) εξαρτάται μόνο από δύο από τις τρεις μεταβλητές x, ε και ε & # 8216. Τότε μπορούμε να απλοποιήσουμε κάπως την εξίσωση του Euler. Έχουμε τις ακόλουθες τρεις ειδικές περιπτώσεις:

Περίπτωση 1: L = L (x, ε). Τότε η εξίσωση του Euler & # 8217s είναι

Περίπτωση 2: L = L (x, y & # 8216 ). Τότε η εξίσωση του Euler & # 8217s είναι

όπου ντο είναι μια αυθαίρετη σταθερά.
Περίπτωση 3: L = L (y, y & # 8216 ). Στη συνέχεια, η εξίσωση του Euler & # 8217s

όπου ντο είναι και αυθαίρετη σταθερά.

Παρατήρηση: Η σχέση στην παραπάνω περίπτωση 3 ονομάζεται ταυτότητα Beltrami.

όπου η ισότητα στο τελευταίο βήμα προκύπτει από την εξίσωση του Euler & # 8217s.
Παράδειγμα 12 (Σύγκριση παραδείγματος 5): Βρείτε το άκρο στο λειτουργικό

και μπορούμε έτσι να απλοποιήσουμε το πρόβλημα χρησιμοποιώντας την ταυτότητα Beltrami & # 8217 παραπάνω. Παίρνουμε

το οποίο μπορεί να απλοποιηθεί

Επιλέγουμε το σύμβολο minu παραπάνω από τότε dy / dx & lt0 (δείτε το σχήμα). Τώρα κάντε την αλλαγή των μεταβλητών


& lt & gt με την οποία γίνεται η εξίσωση

Οι σταθερές ντο 1 και ντο 2 επιλέγονται έτσι ώστε να πληρούνται οι οριακές προϋποθέσεις. Αυτή είναι η μορφή παραμέτρου του a κυκλοειδής, η καμπύλη που περιγράφει πώς ένα σημείο της περιφέρειας ενός τροχού καθώς ο τροχός κυλά κατά μήκος μιας ευθείας γραμμής. Δείτε το παρακάτω σχήμα:

Στα παρακάτω κινούμενα σχέδια, εξετάζουμε μια μπάλα ακτίνας ένα κύλιση μεταξύ δύο σημείων κάτω από τη βαρύτητα. Συγκρίνουμε τις περιπτώσεις όταν περιστρέφεται με τον συντομότερο τρόπο και όταν κυλάει κατά μήκος του κυκλοειδούς που περνά και από τα δύο σημεία. Είναι προφανές ότι το κυκλοειδές δίνει μικρότερο χρόνο καθόδου από την ευθεία γραμμή, αλλά υπάρχουν επίσης διαφορές ανάλογα με τη μέση κλίση μεταξύ των σημείων έναρξης και λήξης.

Σημειώστε ότι το πρόβλημα που επιλύσαμε παραπάνω πραγματεύεται στην πραγματικότητα μια σωματιδιακή ολίσθηση κατά μήκος μιας καμπύλης, αλλά η διόρθωση που πρέπει να κάνουμε για μια κυλιόμενη μπάλα είναι ότι η κινητική ενέργεια Δ αντ 'αυτού δίνεται από

όπου Εγώ είναι η στιγμή της αδράνειας της μπάλας και της γωνιακής ταχύτητάς της. Αν χρησιμοποιούμε αυτήν την έκφραση αντί

στο παράδειγμα 5 συνειδητοποιούμε εύκολα ότι οδηγεί στην ίδια διαφορική εξίσωση και έτσι στην ίδια λύση.

Παρατήρηση: Το κυκλοειδές έχει επίσης την ενδιαφέρουσα ιδιότητα ότι είναι ταυτοχρόνη. Αυτό σημαίνει ότι ένα σωματίδιο που τοποθετείται οπουδήποτε στο κυκλοειδές θα γλιστρά κατά μήκος της καμπύλης κάτω από τη βαρύτητα στο χαμηλότερο σημείο του ίδιου χρόνου, ανεξάρτητα από το πού ξεκίνησε. Αυτή η ιδιότητα απεικονίζεται στο παρακάτω σχήμα:


Γεωμετρία ισχύος σε αλγεβρικές και διαφορικές εξισώσεις

8 Ασυμπτωτική λύση ενός συστήματος εξισώσεων

Θεωρούμε το θεμελιώδες πρόβλημα. Αφήστε το σύστημα εξισώσεων

όπου το φάΕγώ(Χ) είναι τα πολυώνυμα Laurent και ο κυρτός κώνος κ σε ℝ * n να δοθεί. Απαιτείται η εύρεση όλων αυτών των λύσεων πολλαπλών παραμέτρων στο σύστημα (8.1), που βρίσκονται στο σύνολο U (K *, ε), όπου κ* είναι ο κώνος διπλός στον κώνο κ, και ε Το & gt 0 είναι αρκετά μικρό και μέσω του οποίου μπορεί κανείς να σχεδιάσει μια καμπύλη της φόρμας (2.1) με Πκ (Π ≠ 0).

Ένα βασικό πρόβλημα ονομάζεται το μειωμένος ένα αν ψάχνουμε για κλάδους στα οποία καμία από τις συντεταγμένες δεν είναι ίδια με το μηδέν (ή το άπειρο). Προφανώς, ένα θεμελιώδες πρόβλημα χωρίζεται σε ένα μη διαστατικό μειωμένο πρόβλημα και έναν πεπερασμένο αριθμό μειωμένων προβλημάτων στα οποία ορισμένες συντεταγμένες ΧΕγώ έχουν οριστεί ως μηδενικά (ή άπειρα), δηλαδή σταθερές, και ο κώνος του προβλήματος είναι η τομή του κώνου του θεμελιώδους προβλήματος κ με το σετ

Για την επίλυση του μειωμένου προβλήματος με τον κώνο του προβλήματος κ, για κάθε φάΕγώ σχηματίζουμε το πολυέδρον Newton ΓΕγώ, και ξεχωρίζουμε τα πρόσωπά του Γ i k (d) με κανονικούς κώνους U i k (d) Εδώ αρκεί να ξεχωρίζουμε όλες τις επιφάνειες Γ i k (d) για τις οποίες η διασταύρωση U i k (d) ∩ K δεν είναι κενή. Παρουσιάζουμε το K i k (d) = K ∩ U i k (d) και εξετάζουμε όλες τις πιθανές μη κενές διασταυρώσεις

Αφήνω ΠΛ είναι μια τέτοια διασταύρωση και αφήστε το περικομμένο σύστημα

Εάν υπάρχει ρεΕγώ = 0, τότε f ^ i = a X Q. Οι λύσεις στην εξίσωση aX Q = 0 έχουν μία από τις συντεταγμένες ίση με το μηδέν (ή το άπειρο), δεν μπορούν να είναι λύσεις στο μειωμένο πρόβλημα. Επομένως, είναι απαραίτητο να ληφθούν υπόψη μόνο τα κομμένα συστήματα (8.3) στα οποία όλα ρεΕγώ & gt 0. Σύμφωνα με το περικομμένο σύστημα (8.3) κάνουμε έναν μετασχηματισμό ισχύος και τις μειώσεις που αναφέρονται στο Θεώρημα 7.1. Στη συνέχεια, το σύστημα (8.1) μετατρέπεται σε σύστημα

και το περικομμένο σύστημα (8.3) μεταμορφώνεται στο σύστημα

όπου ρε είναι η διάσταση του περικομμένου συστήματος (8.3). Υποθέτουμε ότι το g ^ i είναι συνηθισμένα πολυώνυμα γ1,…, γρε, και αυτό στο σολΕγώ οι συντεταγμένες γδ +1,…, γν εμφανίζονται με μη αρνητικές δυνάμεις. Είναι πάντα δυνατό να επιτευχθεί αυτό σύμφωνα με την Παρατήρηση 7.1. Εδώ είναι ο κώνος της περικοπής (8.5)

Τώρα πρέπει να βρούμε αυτές τις λύσεις

στο πλήρες σύστημα (8.4) που έχουν τη διανυσματική σειρά P ∈ Π ˜ λ. Σύμφωνα με το Θεώρημα 6.1, σε τέτοιες λύσεις οι τιμές γΕγώ = ντοΕγώ Εγώ = 1,…,ρε, ικανοποιήστε το σύστημα (8.5). Εδώ όλα ντο1,…, ντορε είναι διαφορετικά από το μηδέν και το άπειρο. Ο εφαπτόμενος κώνος T ˜ του περικομμένου συστήματος (8.5) περιέχει περιορισμούς μόνο εδ +1,…, εν, και βρίσκεται στον κώνο εδ +1,…, εν ≥ 0.

Αν ρε & lt Μ, τότε στη γενική περίπτωση το περικομμένο σύστημα (8.5) δεν έχει λύσεις. Εάν έχει μια μεμονωμένη γραμμική πολλαπλή λύσεων, τότε στο σύστημα (8.4) πρέπει να κάνουμε μια γραμμική αλλαγή συντεταγμένων, η οποία μεταφέρει αυτή την πολλαπλή σε έναν υποπεριοχή συντεταγμένων και, στη συνέχεια, για να την λύσουμε κοντά στον συγκεκριμένο χώρο, χρησιμοποιώντας το Newton polyhedra εάν είναι απαραίτητο. Εάν το σύστημα (8.5) έχει ένα συνεχές σύνολο λύσεων, το οποίο δεν είναι γραμμική πολλαπλή, τότε τέτοια υπόθεση ονομάζεται εκφυλισμένος ένα θα το εξετάσουμε αργότερα.

Θεωρούμε τώρα το σύστημα (8.5) με

Στο ρε- διαστατικός χώρος με συντεταγμένες γ1,…, γρε, το περικομμένο σύστημα εξισώσεων (8.5) καθορίζει μια αλγεβρική πολλαπλή G ^ Πρέπει να βρούμε τώρα ολόκληρη την πολλαπλή G ^ Εξάγουμε πρώτα το υποσύνολο G ^ c όλων των κρίσιμων σημείων y1,…γρε, στο οποίο διατηρούνται οι ισοτιμίες (8.5) και ο πίνακας

της διάστασης ρε × Μ έχει κατάταξη λιγότερο από τότε Μ. Το σετ G ^ G ^ c μπορεί να χωριστεί σε έναν πεπερασμένο αριθμό μερών G ^ 1,…, G ^ l σε καθένα από τα οποία υπάρχει τουλάχιστον ένας μη μηδενικός δευτερεύων τάξης Μ

του πίνακα (8.7) και των αντίστοιχων συντεταγμένων y i 1,…, y i m μπορούν να εκφραστούν ως συναρτήσεις των υπόλοιπων συντεταγμένων μεταξύ y1,…, γρε. Αφήστε το G ^ 1 να είναι αυτό το μέρος του συνόλου G ^ G ^ c στο οποίο

και λαμβάνουμε τις συναρτήσεις

τα οποία γράφουμε ως πολυώνυμα σε Z ^ = (z 1,…, z m, y d + 1,…, y n):

και οι εκθέτες Q ^ των επεκτάσεων (8.9) βρίσκονται στον εφαπτομενικό κώνο Ť, ίση με την προβολή του κώνου T ˜ στον υποπεριοχή των συντεταγμένων ε1,…, εΜ, ερε+1,…, εν. Τώρα στο σύστημα των εξισώσεων

μπορεί κανείς να εφαρμόσει το Θεώρημα Implicit Function 5.2 και να αποκτήσει τη λύση του με τη μορφή μιας σειράς

όπου Γ″ = (γρε+1,…, γν), Ρ″ = (ρρε+1,…, ρν), και οι συντελεστές φiR ″ είναι πολυώνυμα Ψ1,…, ΨΜ, γΜ+1,…, γρε, διαιρούμενο με τις εξουσίες του α από (8.10). Να θυμάστε την αλλαγή (8.8) και να επιστρέψετε από Γ προς το Χ με τη βοήθεια του μετασχηματισμού ισχύος, λαμβάνουμε μια παραμετρική αναπαράσταση Χ = Χ(γm +1,…, γν) για ορισμένες λύσεις στο αρχικό σύστημα εξισώσεων (8.1). Με παρόμοιο τρόπο λαμβάνουμε τις λύσεις που σχετίζονται με τα άλλα μέρη G ^ j του συνόλου G ^ G ^ c.

Το σύνολο των κρίσιμων σημείων G ^ c της πολλαπλής G ^ είναι μια ίδια αλγεβρική πολλαπλή. Αποτελείται από ορισμένα συνδεδεμένα στοιχεία G ^ c 1,…, G ^ c k. Εάν το G ^ c j είναι μια απομονωμένη γραμμική πολλαπλή, τότε στο πλήρες σύστημα (8.4) πραγματοποιούμε μια γραμμική αλλαγή συντεταγμένων, μετατρέποντας αυτήν την πολλαπλή σε υποπεριοχή συντεταγμένων και μελετάμε το ληφθέν σύστημα κοντά στον εν λόγω χώρο. Αυτό είναι και πάλι ένα θεμελιώδες πρόβλημα, αλλά με ένα πιο περιορισμένο σύνολο λύσεων. Εάν το G ^ c j δεν είναι γραμμική πολλαπλή, τότε αυτό υπόθεση ονομάζεται επίσης a εκφυλισμένος ένας.

Προς το παρόν η ενοποιημένη στρατηγική για τη μελέτη εκφυλισμένων περιπτώσεων δεν έχει ακόμη αναπτυχθεί. Στο [Bruno and Soleev 1991a, § 4] παρουσιάζονται δύο τέτοιες στρατηγικές. Το πρώτο συνίσταται στη λήψη μέσω χειρισμών των πολυωνύμων σολ1,…, σολΜ ένα νέο πολυώνυμο σολΜ+1, η οποία είναι συνάρτηση του σολ1,…, σολΜ, και η οποία έχει μια περικοπή g ^ m + 1, και αυτή η περικοπή δεν είναι συνάρτηση των περικοπών g ^ 1,…, g ^ m. Εάν δεν μπορεί να ληφθεί ένα τέτοιο πολυώνυμο, τότε τα πολυώνυμα σολ1,…, σολΜ εξαρτώνται λειτουργικά και μπορεί κανείς να βρει αυτήν την εξάρτηση. Η δεύτερη στρατηγική συνίσταται στην εισαγωγή νέων συντεταγμένων γν+Εγώ = αΕγώ, Εγώ = 1,…, μικρό, όπου α1,…, αμικρό σχηματίστε μια πολυωνυμική βάση του ιδανικού της πολλαπλής G ^ c j, και στη σύνταξη των συναρτήσεων σολ1,…, σολΜ ως πολυώνυμα στο γν + θ,…, γn + δ.

Έτσι, έχουμε περιγράψει εδώ ένα βήμα της διαδικασίας για την επίλυση του προβλήματος που τίθεται στην παρούσα ενότητα. Ως αποτέλεσμα αυτού του βήματος, το πρωταρχικό θεμελιώδες πρόβλημα χωρίζεται σε έναν πεπερασμένο αριθμό δευτερευόντων θεμελιωδών προβλημάτων, καθένα από τα οποία κατά μία έννοια είναι απλούστερο από το αρχικό πρόβλημα. Μερικά από αυτά έχουν έναν μοναδικό κλάδο λύσεων, ή δεν έχουν καμία τέτοια λύση. Για τέτοια προβλήματα η διαδικασία εξαγωγής των κλαδιών μπορεί να θεωρηθεί ολοκληρωμένη.

Για τα υπόλοιπα δευτερεύοντα θεμελιώδη προβλήματα, η διαδικασία πρέπει να συνεχιστεί. Μετά από έναν πεπερασμένο αριθμό τέτοιων βημάτων μπορεί κανείς να διαχωρίσει όλους τους κλάδους με πολλαπλότητα, ωστόσο ο αριθμός των βημάτων δεν είναι γνωστός εκ των προτέρων (βλ. [Kukles and Grus 1958]).

Η πιο μελετημένη περίπτωση είναι Μ = ν - 1, όταν όλα τα πολυώνυμα φά1,…, φάn−1 είναι λειτουργικά ανεξάρτητοι. Το σύστημα (8.1) καθορίζει μια αλγεβρική καμπύλη και πρέπει να βρούμε τους κλάδους του [Bruno and Soleev 1991a]. Αν ρε = m = ν - 1, τότε το κλασικό θεώρημα του Bezout ισχυρίζεται ότι ο αριθμός των σύνθετων λύσεων στο σύστημα των περικομμένων εξισώσεων (8.5) μπορεί να εκτιμηθεί μέσω των βαθμών τους (ισούται με το προϊόν αυτών των βαθμών). Ένας ακριβέστερος αριθμός λύσεων στο σύστημα εξισώσεων λήφθηκε από τον Bernshtein [1975] (σύγκριση [Kushnirenko 1975a, 1976 Khovanskii 1978b]). Είναι ίσο με τον μικτό όγκο Minkovski Β(Γ1,…, ΓΜ) της πολυέδρας Newton Γ1,…, ΓΜ των αντίστοιχων πολυωνύμων (βλέπε [Khovanskii 1988]).

Καλούμε το πολυπλοκότητα του περικομμένου συστήματος (8.3) το (ν - 1) - διαστατικός μικτός όγκος Minkovski των αντίστοιχων μεταφρασμένων όψεων Γ i k (d i) + T i, Εγώ = l,…,Μ, όπου - T i ∈ Γ i k (d i), και το ονομάζουμε πολυπλοκότητα του μειωμένου προβλήματος το άθροισμα των περιπλοκών όλων των περικομμένων συστημάτων των οποίων οι κανονικοί κώνοι τέμνουν τον κώνο του προβλήματος. Στη συνέχεια, στη γενική περίπτωση, ο αριθμός των σύνθετων κλάδων του μειωμένου προβλήματος είναι ίσος με την πολυπλοκότητά του.

Υπάρχουν τύποι για τον αριθμό των κλάδων λύσεων στο σύστημα (8.1) σε μια μικρή γειτονιά του απομονωμένου κρίσιμου σημείου Χ = 0 (βλέπε [Grin ′ 1971 Sather 1973 Fucuda et al. 1986 Szafraniec 1992]). Θα δείξουμε ένα από αυτά. Προσδιορίζουμε ως 6 τον αριθμό των κλάδων των λύσεων στο σύστημα (8.1) σε μια μικρή γειτονιά του απομονωμένου κρίσιμου σημείου Χ = 0, και βάζουμε

όπου F = def (f 1,…, f n - 1) Προφανώς, φ(0) = 0. Έστω H = def (F, δ).

[Szafraniec 1992] Εάν η προέλευση των συντεταγμένων είναι ένα απομονωμένο κρίσιμο σημείο του συστήματος (8.1) με μ = ν − 1, τότε για το σύστημα Η(Χ) = 0 είναι επίσης ένα μεμονωμένο μοναδικό σημείο και b = 2 βαθμοί Η.

Ο Szafraniec [1992] υποστηρίζει ότι αυτός ο τύπος προγραμματίστηκε σε έναν υπολογιστή και ότι το πρόγραμμα χρησιμοποιεί ένα διάγραμμα των αρχικών εκθετών του συστήματος (8.1).

(συνέχεια των Παραδειγμάτων 6.1 και 7.1). Με τις τιμές ένα1 = 40, ένα2 = −ένα3 = 25, ένα4 = −1, ένα5 = 16, ένα2Εγώ = −1, Εγώ = 1, 2, 3, 4, θεωρούμε το σύστημα (6.6). Στη συνέχεια, κάθε ένα από τα περικομμένα συστήματα (7.4) και (7.6) έχει δύο πραγματικές και δύο πολύπλοκες απλές λύσεις. Έτσι, το σύστημα (7.4) έχει δύο πραγματικές λύσεις:

Δεδομένου ότι όλες οι ρίζες είναι απλές και δ μέσα - 1, τότε οι κλάδοι είναι απομονωμένοι, δηλαδή η σιωπηρή συνάρτηση Theorem 5.2 εφαρμόζεται. Αντικατάσταση στο σύστημα (7.5) Υ ′ = Υ ′ 0 + Ζ′ Και υπολογισμός των πρώτων όρων των επεκτάσεων Ζ ′(γ3), εμεις αποκτουμε

Επιστρέφοντας στις αρχικές συντεταγμένες σύμφωνα με το (7.3), βρίσκουμε δύο πραγματικούς κλάδους F j:

Οι σύνθετες ρίζες (8.12) του συστήματος (7.4) δίνουν δύο σύνθετους κλάδους F 5, 6:

Το περικομμένο σύστημα (7.6) έχει δύο πραγματικές απλές λύσεις: y 1 1, 2 0 = ± 1, y 2 0 = - 1 και δύο πολύπλοκες απλές λύσεις: y 1 3, 4 0 = ± i, y 2 0 = - 1 Αυτές οι λύσεις λαμβάνουμε αντίστοιχα δύο πραγματικούς κλάδους F 3, 4:

και δύο σύνθετους κλάδους F 7, 8:

Ο ρόλος της παραμέτρου τ για τους ανακαλυφθέντες κλάδους F 1, 2, 5, 6 και F 3, 4, 7, 8 παίζεται από y 3 - 1 και x 1 - 1 αντίστοιχα.

Στο Σχ. 2.1 φαίνεται η κατά προσέγγιση διάθεση των πραγματικών μισών διακλαδώσεων F 1 και F 2 για γ3 & gt 0, F 3 και F 4 για Χ1 & gt 0 σε μια μικρή γειτονιά του σημείου Χ = 0 οι διακεκομμένες γραμμές αντιπροσωπεύουν καμπύλες με Χ2 & lt 0.

Σχήμα 2.1. Η διάθεση των μισών διακλαδώσεων F 1 - F 4 της καμπύλης του Παραδείγματος 8.1 κοντά στο σημείο Χ = 0.

Εξετάζουμε τώρα την κατάσταση με μια άπειρη υποστήριξη, που αναλύεται στο Κεφάλαιο 1, Ενότητα 8. Αν μικρό είναι η υποστήριξη μιας σειράς Laurent φά και κ είναι ο κώνος του προβλήματος, τότε καλούμε το κυρτό κύτος του σετ κΓ ο κυρίαρχο Newton polyhedron Για φά.

Θεωρούμε τώρα το θεμελιώδες πρόβλημα, όπου τα υποστηρίγματα μικρόΕγώ= ας πούμεφάΕγώ είναι άπειρες, ακέραιες τιμές και βρίσκονται σε σύνολα της φόρμας C * + <(Q 1 i,…, Q l i i)> (διαφορετικά για διαφορετικά Εγώ), και ο κώνος του προβλήματος κ βρίσκεται μέσα στον ακέραιο κώνο ντο. Για την επίλυση ενός τέτοιου θεμελιώδους προβλήματος εφαρμόζεται η διαδικασία που περιγράφηκε νωρίτερα στην περίπτωση των πεπερασμένων υποστηρίξεωνφάΕγώ. Η διαφορά είναι μόνο ότι τώρα για αντικαταστάσεις της φόρμας y i = y j 0 + z j, κάποιος αποκτά σειρά σε μη αρνητικές δυνάμεις του zι (αντί για πολυώνυμα). Ειδικότερα, εάν οι λειτουργίες φάΕγώ Εγώ = 1,…, Μ, είναι αναλυτικά κοντά στο σημείο Χ = 0, τότε επεκτείνονται σε σειρά Maclaurin

Το σύστημα (8.1) καθορίζει ένα αναλυτικό σύνολο (βλέπε [Hartshorne 1977]). Εδώ ντο = <Ρ: Π ≤ 0>, κ = <Ρ: Π & lt 0> και Ερ ≥ 0 για όλα τα SΕγώ

Μετά την εξαγωγή του περικομμένου συστήματος και τον μετασχηματισμό ισχύος, οι αρχικοί κώνοι ντο και κ μετατρέπονται σε μερικούς κώνους C ˜ και K ˜ γενικότερου χαρακτήρα. Γι 'αυτό το θεμελιώδες πρόβλημα στην αρχή διατυπώθηκε σε μια αναλλοίωτη μορφή σε σχέση με τους μετασχηματισμούς ισχύος. Σχετικά με την αντικατάσταση αναλυτικών εξισώσεων από αλγεβρικές, δείτε επίσης [MacMillan 1912a].


Θέματα προσέγγισης και παρεμβολής πολλαπλών παραλλαγών

Έλενα Μπερντίσεβα,. Joachim Stöckier, στις Σπουδές στα Υπολογιστικά Μαθηματικά, 2006

8 Πρόσθετες σημειώσεις

Οι χειριστές του Durrmeyer (2) εισήχθησαν από τον Durrmeyer στη διατριβή του [15]. Η μελέτη των ιδιοτήτων προσέγγισής τους ξεκίνησε από τον Derriennic σε διάφορα άρθρα και αργότερα μελετήθηκε από πολλούς συγγραφείς. Οι φασματικές ιδιότητες του Θεώρηματος 1 εμφανίζονται στα [10], [11] και [12] για τη μη σταθμισμένη θήκη, στα [6] και [7] για τη σταθμισμένη περίπτωση μη μεταβλητών, και στο [14] για τη σταθμισμένη περίπτωση πολλαπλών παραλλαγών. Δείτε επίσης το Κεφάλαιο 5.2 στο πρόσφατο βιβλίο της Paltanea [23], και τις αναφορές που δίνονται εκεί.

Η δήλωση του Theorem 2 είναι πρωτότυπη, όπως και η εφαρμογή της στην Ενότητα 6. Για τις ιδιότητες και τους τύπους για υπεργγεωμετρικές συναρτήσεις, αναφερόμαστε σε τυπικά πίνακες, όπως [1] και [22], Για τα ολοκληρωμένα τύπου Laplace, μια άμεση προσέγγιση μπορεί να ληφθεί από το Koornwinder [21] και, συγκεκριμένα, από το Askey's [ 2] κομψή εργασία που σχετίζεται με αυτό. Αξίζει επίσης να συμβουλευτείτε το κεφάλαιο [27] του Szegö σχετικά με τα πολυώνυμα Jacobi.

Ο διαφορικός τελεστής Εμ = Ε1,μ στο (10) και οι δυνάμεις του διαδραματίζουν εξέχοντα ρόλο στη μελέτη των άμεσων και αντίστροφων θεωρημάτων για τον χειριστή του Durrmeyer δείτε ξανά τα έγγραφα των Derriennic, Berens και Xu και Ditzian, όπου μπορούν επίσης να βρεθούν και οι φασματικές ιδιότητες του Lemma 6. Η περίπτωση υψηλότερης παραγγελίας Εℓ, μ διερευνήθηκε για πρώτη φορά το [4], με διαφορετική σημειογραφία. Στην περίπτωση univariate (unweighted), αυτοί οι χειριστές ονομάζονται διαφορικοί τελεστές Legendre στο Heilmann's Habilitationsschrift [16]. Στην παρούσα εργασία, επιλέξαμε τον αναδρομικό ορισμό (11) που οδηγεί σε αναπαράσταση προϊόντος για Εℓ, μ που μας κοινοποιήθηκε από τον Michael Felten.

Οι οιονεί παρεμβολές (13) εισήχθησαν στο [17], για τη μη σταθμισμένη περίπτωση. Η σταθμισμένη υπόθεση εξετάστηκε στα [18] και [4], όπου μπορούν επίσης να βρεθούν οι δηλώσεις του Θεώρηματος 7 και του Λήμα 8. Ωστόσο, η έκφραση των οιονεί παρεμβολών όσον αφορά τους χειριστές Durrmeyer στο Theorem 9 είναι νέα. Αυτό το τελευταίο αποτέλεσμα ενσωματώνει τους χειριστές μας στην κατηγορία των οιονεί παρεμβολών που κατασκευάζονται ως γραμμικοί συνδυασμοί χειριστών Durrmeyer. Ωστόσο, αυτή η προσέγγιση είναι συνήθως λιγότερο άμεση και λιγότερο σαφής από τη δική μας. Αναφερόμαστε ξανά στο έργο του Derriennic [13] και στο Sablonnière [24], [25] και τον Heilmann [16]. Το πρόσφατο έγγραφο της Sablonnière [26] παρουσιάζει έναν καλό λογαριασμό σε αυτές τις κατασκευές.

Η ανισότητα Bernstein, το Θεώρημα 11, είναι και πάλι πρωτότυπο. Επιβεβαιώνει την εικασία που θέσαμε στο [3] όπου δόθηκε διαφορετική απόδειξη για την ειδική περίπτωση ρε = 1 και μ = (0, 0). Αναμένουμε ότι η αναπαράσταση των οιονεί παρεμβολών ως γραμμικός συνδυασμός των θετικών τελεστών T n - ℓ, μ ℓ όπως δίνεται στο Θεώρημα 14 θα έχει εκτεταμένες εφαρμογές. Τέλος, η περίπτωση M n, μ n αναμένεται να οδηγήσει σε μια νέα αναπαράσταση πολυωνυμικών πυρήνων αναπαραγωγής πλήρους τάξης στο simplex μικρό ρε , με συνδέσεις με θεώρημα προσθήκης για ορθογώνια πολυώνυμα.

Τα άμεσα αποτελέσματα στην Ενότητα 7 είναι λίγο πολύ άμεσες συνέπειες της ανισότητας του Bernstein. Αναφερόμαστε στην εφημερίδα μας [4], και πάλι στην προηγούμενη εργασία των Derriennic [13], Berens et al. [5] - [7] και Ditzian [14]. Ωστόσο, εξακολουθούμε να μην επιλύουμε το φυσικό ζήτημα των «αντίστροφων» ή ακόμη και των «ισχυρών αντίστροφων» θεωρημάτων για τα οιονεί παρεμβολές μας. Concerning this, the paper of Chen, Ditzian and Ivanov [8] , the refined techniques of Knoop and Zhou in [19], [20] and Zhou’s Habilitationsschrift [29] might be helpful.

The initial motivation for our studies came from the article by Chui et al. [9] , in which univariate quasi-interpolants on irregular partitions of a bounded interval I were constructed as linear combinations of B-splines. In their approach, the quasi-interpolants Μν (ρ) (for the unweighted case) are the starting point for an inductive method of knot insertion. The quasi-interpolants in [9] give rise to the definition of “approximate duals” of B-splines, which are the centerpiece for their construction of nonstationary wavelet frames.


Boundedness of solutions

It is well known that the longtime behaviour of a timedependent nonlineare differential equation

Next, we present some examples demonstrating the topic and utilizing compter software.

  1. Alekseev, V.M., Quasirandom dynamic systems, I, II, III, Math USSR Sb, 1868, Vol. 5, pp. 73--128, Vol. 6, pp. 505--560, 1969, pp. 1--43.
  2. Chen, Y.M. and Liu, J.K., A new method based on the harmonic balance method for nonlinear oscillators, Physics Letters A, 2007, Volume 368, Issue 5, pp. 371-378
  3. Dickerhoff, R. and Zehnder, E., Boundedness for solutions via twist theorem, Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa, 1987, Vol. 14, No. 1, pp. 79--95.
  4. Lakshmikantham, V., Leela, S., and Martynyuk, A., Stability Analysis of Nonlinear Systems, 1989, Marcel DEkker, New York.
  5. Littlewood, J.,
  6. Littlewood, J.,
  7. Markus, L., Differential dynamic systems, 1969, American Mathematical Society, Providence, RI.
  8. Morris, G., A case of the boundedness in Littlewood's problem on oscillatory differential equations, Bulletine Austral Mathematical Society, 1976, Vol. 14, pp. 71--93.
  9. Moser, J., Stable and random motions in dynamic systems, Ann Math Studies, 1973, Vol. 77, Princeton, NJ.
  10. Raffoul, Y., Boundedness in nonlinear differential equations.
  11. Sitnikov, K., Existence of oscillating motions for three-body problemDokladu Akademii Nayk, SSSR, 1960, Vol. 133, No 2, pp. 303--306.
  12. Yoshizawa, T., Stability Theory by Lyapunov Second Method, 1966, The Math Society of Japan, Tokyo.
  13. You, J.-G., Boundedmess for solutions of super-linear duffing equations via the Twist theorem, Science in China, Series A: Mathematics, Physics, Astronamy & Technological Science, 1992, Vol.35No. 4, pp. 399--412.
  14. Yuan, X., Boundedness of solutions for Duffing-type equation, Science in China, SEries A: Mathematics, 1998, Vol. 41, No. 6, pp. 595--605.

Return to Mathematica page
Return to the main page (APMA0330)
Return to the Part 1 (Plotting)
Return to the Part 2 (First Order ODEs)
Return to the Part 3 (Numerical Methods)
Return to the Part 4 (Second and Higher Order ODEs)
Return to the Part 5 (Series and Recurrences)
Return to the Part 6 (Laplace Transform)
Return to the Part 7 (Boundary Value


V. Method Comparison

You also may want to compare some of the different methods to see how
they perform for a specific problem.

Implicit Runge--Kutta methods have a number of desirable properties.

The Gauss--Legendre methods, for example, are self-adjoint, meaning
that they provide the same solution when integrating forward or
backward in time.


A generic framework for implicit Runge--Kutta methods has been implemented. The focus so far is on methods with interesting geometric properties and currently covers the following schemes:

"ImplicitRungeKuttaGaussCoefficients"
"ImplicitRungeKuttaLobattoIIIACoefficients"
"ImplicitRungeKuttaLobattoIIIBCoefficients"
"ImplicitRungeKuttaLobattoIIICCoefficients"
"ImplicitRungeKuttaRadauIACoefficients"
"ImplicitRungeKuttaRadauIIACoefficients"

The derivation of the method coefficients can be carried out to arbitrary order and arbitrary precision.

References on Runge--Kutta algorithms

  1. explicit Runge--Kutta
  2. Butcher, J.C., A history of Runge--Kutta methods, Applied Numerical Mathematics, 20 (1996) 247--260

Return to the main page (APMA0330)
Return to the Part 1 (Plotting)
Return to the Part 2 (First Order ODEs)
Return to the Part 3 (Numerical Methods)
Return to the Part 4 (Second and Higher Order ODEs)
Return to the Part 5 (Series and Recurrences)
Return to the Part 6 (Laplace Transform)
Return to the Part 7 (Boundary Value Problems)


Voronoi Diagrams*

Franz Aurenhammer , Rolf Klein , in Handbook of Computational Geometry , 2000

4.4.1 Line segment Voronoi diagram and medial axis

Αφήνω σολ be a planar straight line graph on ν points in the plane, that is, a set of non-crossing line segments spanned by these points. For instance, σολ might be a tree, or a collection of disjoint line segments or polygons, or a complete triangulation of the points. The number of segments of σολ is maximum, 3ν − 6, in the last case. We will discuss several types of diagrams for planar straight line graphs in the present and following subsections.

The classical type is the (closest point) Voronoi diagram, V(σολ), of σολ. It consists of all points in the plane which have more than one closest segment in σολ. V(σολ) is known under different names in different areas, for example, as the line Voronoi diagram ή skeleton του σολ, or as the medial axis πότε σολ is a simple polygon. Applications in such diverse areas as biology, geography, pattern recognition, computer graphics, and motion planning exist see, e.g. Kirkpatrick [ 161 ] and Lee [ 180 ] for references.

See Figure 20 . V(σολ) is formed by straight line edges and parabolically curved edges, both shown as dashed lines. Straight edges are part of either the perpendicular bisector of two segment endpoints, or of the angular bisector of two segments. Curved edges consist of points equidistant from a segment endpoint and a segment’s interior. There are two types of vertices, namely of type 2 having degree two, and of type 3 having degree three (provided σολ is in general position). Both are equidistant from a triple of objects (segment or segment endpoint), but for type-2 vertices the triple contains a segment along with one of its endpoints.

Fig. 20 . Line segment Voronoi diagram.

Together with σολ’s segments, the edges of V(σολ) partition the plane into regions. These can be refined by introducing certain normals through segment endpoints (shown dotted in Figure 20 ), in order to delineate faces each of which is closest to a particular segment or segment endpoint. Two such normals start at each segment endpoint where σολ forms a reflex angle, and also at each terminal του σολ which is an endpoint belonging to only one segment in σολ. A normal ends either at a type-2 vertex of V(σολ) or extends to infinity.

It is well known that the number of faces, edges and vertices of V(σολ) is linear in ν, the number of segment endpoints for σολ. The number of vertices is shown to be at most 4ν − 3 in Lee and Drysdale [ 182 ]. An exact bound, that also counts the ‘infinite’ vertices at unbounded edges and segment normals, is given below.

Let G be a planar straight line graph on n points in the plane, and let G realize t terminals and r reflex angles. Ο αριθμός των (finite and infinite) vertices of V(σολ) is exactly 2ν + τ + ρ − 2.

P roof . Suppose first that σολ consists of μι disjoint segments (that do not touch at their endpoints). Then there are μι regions, and each type-3 vertex belongs to three of them. By the Euler formula for planar graphs, there are exactly 2 μι − 2 such vertices, if we also count those at infinity. To count the number of type-2 vertices, observe that each segment endpoint is a terminal and gives rise to two segment normals each of which, in turn, yields one (finite or infinite) vertex of type 2. Hence there are 4μι such vertices, and 6μι − 2 vertices in total.

Now let σολ be a general planar straight line graph with μι segments. We simulate σολ by disjoint segments, by shortening each segment slightly such that the segment endpoints are in general position. Then we subtract from 6μι − 2 the number of vertices which have been generated by this simulation.

Consider an endpoint Π that is incident to ρε ≥ 2 segments of σολ. Obviously, Π gives rise to ρε copies in the simulation.

The Voronoi diagram of these copies has ρε − 2 finite vertices, which are new vertices of type 3. As the sum of the degrees ρε ≥ 2 in σολ is 2μιτ, we get 2μιτ − 2(ντ) new vertices in this way.

Each convex angle at Π gives rise to two new normals emanating at the respective copies of Π, and thus to two (finite) type-2 vertices. A possible reflex angle at Π gives rise to one (finite or infinite) type-3 vertex, on the perpendicular bisector of the corresponding copies of Π. There are ρ reflex angles in σολ, and thus 2μιτρ convex angles. Αυτό δίνει ρ + 2(2μιτρ) new vertices in addition. The lemma follows by simple arithmetic.

Surprisingly, the number of edges of σολ does not influence the bound in Lemma 4.4 . The maximum number of vertices, 3ν − 2, is achieved, for example, if G is a set of disjoint segments (τ = ν και ρ = 0), or if σολ is a simple polygon Π (τ = 0 and ρ = ν).

In the latter case, the majority of applications concerns the part of V(Π) interior to Π. This part is commonly called the medial axis του Π. The medial axis of an ν-gon with ρ reflex interior angles has a tree-like structure and realizes exactly ν + ρ − 2 vertices and at most 2(ν + ρ) − 3 edges. Lee [ 180 ] first mentioned this bound, and also listed some applications of the medial axis. An interesting application to NC pocket machining is described in Held [ 139 ].

Several algorithms for computing V(σολ), for general or restricted planar straight line graphs σολ, have been proposed and tested for practical efficiency. V(σολ) can be computed in O(ν log ν) time and O(ν) space by divide & conquer (Kirkpatrick [ 161 ], Lee [ 180 ], and Yap [ 261 ]), plane sweep (Fortune [ 125 ]), and randomized incremental insertion (Boissonnat et al. [ 43 ] and Klein et al. [ 170 ]).

Burnikel et al. [ 51 ] give an overview of existing methods, and discuss implementation details of an algorithm in Sugihara et al. [ 243 ] that first inserts all segment endpoints, and then all the segments, of σολ in random order. An algorithm of comparable simplicity and practical efficiency (though with a worst-case running time of O(ν 2 )) is given in Gold et al. [ 130 ]. They first construct a Voronoi diagram for point sites by selecting one endpoint for each segment, and then maintain the diagram while expanding the endpoints, one by one, to their corresponding segments. During an expansion, the resulting topological updates in the diagram can be carried out efficiently. In fact, Voronoi diagrams for moving point sites are well-studied concepts see, e.g. Guibas et al. [ 134 ] and Roos [ 221 ].

An efficient O(ν log 2 ν) work παράλληλο algorithm for computing V(σολ) is given in Goodrich et al. [ 132 ]. This is improved to O(log ν) parallel (randomized) time using O(ν) processors in Rajesekaran and Ramaswami [ 218 ]. (The latter result also implies an optimal parallel construction method for the classical Voronoi diagram.)

Αν σολ is a connected graph then V(σολ) can be computed in randomized time O(ν log* ν) see Devillers [ 88 ]. Recently, O(ν) time randomized, and deterministic, algorithms for the medial axis of a simple polygon have been designed by Klein and Lingas [ 169 ] and Chin et al. [ 68 ], settling open questions of long standing. The case of a convex polygon is considerably easier see Subsection 4.4.3 .

Some of the algorithms above also work for curved objects. The plane-sweep algorithm in Fortune [ 125 ] elegantly handles arbitrary sets of circles (i.e., the additively weighted Voronoi diagram, or Johnson–Mehl model) without modification from the point site case. Yap [ 261 ] allows sets of disjoint segments of arbitrary degree-two curves. A randomized incremental algorithm for general curved objects is given in Alt and Schwarzkopf [ 12 ]. They show that complicated curved objects can be partitioned into ‘harmless’ ones by introducing new points. All these algorithms achieve an optimal running time, O(ν log ν).

In dimensions more than two, the known results are sparse. The complexity of the Voronoi diagram for ν line segments in ρε-space may be as large as Ω(ν ρε − 1 ), as was observed by Aronov [ 17 ]. By the relationship of Voronoi diagrams to lower envelopes of hypersurfaces (see Subsection 4.6 ), the results in Sharir [ 234 ] imply an upper bound of roughly O(n d ). No better upper bounds are known even for line segments in 3-space.

The Voronoi diagram for ν spheres in ρε-space has a size of only O(νρε/2⌡ + 1 ) by its relationship to power diagrams proved in Aurenhammer and Imai [ 30 ].

A case of particular interest in several applications is the medial axis Μ(Π) of a (generally non-convex) polyhedron Π in 3-space. Μ(Π) contains pieces of parabolic and hyperbolic surfaces and thus has a fairly complicated structure. A practical and numerically stable algorithm for computing Μ(Π) is proposed in Milenkovic [ 198 ].


Δες το βίντεο: Der Satz vom Nullprodukt Gleichungen umstellen. lösen Gehe auf (Δεκέμβριος 2021).