Άρθρα

4.5: Οι καθηγητές σχηματίζουν μια συμπαγή κλειστή κατηγορία - Μαθηματικά


Σε αυτήν την ενότητα θα ορίσουμε συμπαγείς κλειστές κατηγορίες και θα το δείξουμε Feas, και γενικότερα οι V-profunctors, σχηματίζουν κάτι τέτοιο. Οι συμπαγείς κλειστές κατηγορίες είναι μονοειδείς κατηγορίες των οποίων τα διαγράμματα καλωδίωσης επιτρέπουν ανατροφοδότηση. Τα διαγράμματα καλωδίωσης μοιάζουν με αυτό:

Έχει περάσει πολύς καιρός από τη στιγμή που σκεφτήκαμε τη συν-σχεδίαση, αλλά αυτά ήταν τα είδη διαγραμμάτων καλωδίωσης που σχεδιάσαμε, π.χ. σύνδεση του πλαισίου, του κινητήρα και της μπαταρίας σε Εξ. (4.1). Οι συμπαγείς κλειστές κατηγορίες είναι συμμετρικές μονοειδείς κατηγορίες, με λίγο περισσότερη δομή που μας επιτρέπει να ερμηνεύσουμε επίσημα τα είδη των σχολίων που εμφανίζονται σε προβλήματα συν-σχεδιασμού. Αυτή η ίδια δομή εμφανίζεται σε πολλούς άλλους τομείς, συμπεριλαμβανομένης της κβαντικής μηχανικής και των δυναμικών συστημάτων.

Σε Εξ. (2.13) και στην Ενότητα 2.2.3 συζητήσαμε διάφορες γεύσεις διαγραμμάτων καλωδίωσης, συμπεριλαμβανομένων εκείνων με εικονίδια για διαχωρισμό και τερματισμό καλωδίων. Για κατηγορίες κλειστού τύπου, τα πρόσθετα εικονίδια μας μας επιτρέπουν να κάμπτουμε τις εξόδους σε εισόδους και το αντίστροφο. Για να το παρακολουθήσουμε, ωστόσο, τραβάμε βέλη στο σύρμα μας, τα οποία μπορούν είτε να δείχνουν προς τα εμπρός είτε προς τα πίσω. Για παράδειγμα, μπορούμε να το σχεδιάσουμε αυτό

Στη συνέχεια προσθέτουμε εικονίδια - που ονομάζονται καπάκι και κύπελλο - επιτρέποντας σε οποιοδήποτε σύρμα να αντιστρέφει την κατεύθυνση από μπροστά προς τα πίσω και από πίσω προς τα εμπρός.

Έτσι μπορούμε να σχεδιάσουμε τα ακόλουθα (4.57)

και το νόημά του είναι ισοδύναμο με αυτό του Εξ. (4.56).
Θα ξεκινήσουμε δίνοντας τα αξιώματα για μια συμπαγή κλειστή κατηγορία. Στη συνέχεια, θα εξετάσουμε και πάλι τις σχέσεις σκοπιμότητας σε συν-σχεδιασμό - και γενικότερα σε εμπλουτισμένους επαγγελματίες - και θα δείξουμε ότι αποτελούν πράγματι μια συμπαγή κλειστή κατηγορία.

Συμπαγείς κλειστές κατηγορίες

Όπως είπαμε, οι συμπαγείς κλειστές κατηγορίες είναι συμμετρικές μονοειδείς κατηγορίες (βλέπε ορισμό 4.45) με επιπλέον δομή.

Ορισμός: 4.58.

Αφήστε (C, Εγώ, ⊗) να είναι συμμετρική μονοειδική κατηγορία και ντο ( in ) Ob (C) ένα αντικείμενο. ΕΝΑ διπλό για ντο αποτελείται από τρία συστατικά

(i) ένα αντικείμενο ντο∗ ( in ) Ob (C), που ονομάζεται διπλά από ντο,

(ii) ένας μορφισμός η (_ {c} ):Εγώ ντο∗ ⊗ ντο, ονομάζεται μονάδα για ντο,

(iii) ένας μορφισμός ε (_ {c} ): ντο ντο∗ → Εγώ, ονομάζεται χώρα για ντο

Αυτά απαιτούνται για την ικανοποίηση δύο εξισώσεων για κάθε ντο ( in ) Ob (C), το οποίο σχεδιάζουμε ως εναλλακτικά διαγράμματα:

Αυτές οι εξισώσεις μερικές φορές ονομάζονται εξισώσεις φιδιών.
Εάν για κάθε αντικείμενο ντο ( in ) Ob (C) υπάρχει ένα διπλό ντο∗ για ντο, τότε λέμε ότι (Γ, Εγώ, ⊗) είναι κλειστό συμπαγές.

Σε μια συμπαγή κλειστή κατηγορία, κάθε καλώδιο είναι εξοπλισμένο με κατεύθυνση. Για οποιοδήποτε αντικείμενο ντο, ένα καλώδιο προς τα εμπρός με την ένδειξη ντο θεωρείται ισοδύναμο με ένα προς τα πίσω

γράψτε με ετικέτα c *, δηλαδή ( stackrel {c} { rightarrow} text {είναι το ίδιο με} stackrel {c ^ {*}} { leftarrow} text {.} ) Το κύπελλο και το καπάκι Τα παραπάνω είναι στην πραγματικότητα οι μονάδες και οι μορφισμοί των χωρών. σχεδιάζονται ως εξής.

Στα διαγράμματα καλωδίωσης, οι εξισώσεις φιδιού (4.59) στη συνέχεια σχεδιάζονται ως εξής:

Σημειώστε ότι οι εικόνες στην Εξ. (4.57) αντιστοιχούν στα ε (_ {sound} ) και η (_ {ήχος ∗} ).

Θυμηθείτε την έννοια της μονοειδούς κλειστής προπαραγγελίας. μια μονοειδική κατηγορία μπορεί επίσης να είναι μονοειδική κλειστή. Αυτό σημαίνει ότι για κάθε ζεύγος αντικειμένων ντο, ρε ( in ) Ob (C) υπάρχει ένα αντικείμενο ντο -ο ρε και έναν ισομορφισμό C (σι ντο, ρε) ( cong ) C (σι, ντο -ο ρε), φυσικό σε σι. Ενώ δεν θα παρέχουμε πλήρη απόδειξη εδώ, οι κλειστές κλειστές κατηγορίες ονομάζονται έτσι επειδή είναι ένας ειδικός τύπος μονοειδούς κλειστής κατηγορίας.

Πρόταση 4.60.

Εάν το C είναι μια συμπαγής κλειστή κατηγορία, τότε

1. Το C είναι μονοειδές κλειστό. και για οποιοδήποτε αντικείμενο ντο ( in ) Ob (C),

2. εάν ντο∗ και ντο′ Είναι και τα δύο σε ντο τότε υπάρχει ένας ισομορφισμός ντο (^ {∗} ) ( cong ) ντο′; και

3. υπάρχει ένας ισομορφισμός μεταξύ ντο και το διπλό διπλό του, ντο ( cong )ντο(^{∗∗}).

Για να αποδείξετε 1., η βασική ιδέα είναι αυτή για οποιαδήποτε ντο και ρε, το αντικείμενο ντο -ο ρε δίνεται από ντο∗ ⊗ ρε, και ο φυσικός ισομορφισμός C (σι ντο, ρε) ( cong ) C (σι, γ -ο ρε) δίνεται με την προσυμπύκνωση με id (_ {b} ) ⊗η (_ {c} ).

Πριν επιστρέψουμε στο co-design, δίνουμε ένα άλλο παράδειγμα μιας συμπαγούς κλειστής κατηγορίας, που ονομάζεται Corel, τα οποία θα δούμε ξανά στα επόμενα κεφάλαια.

Παράδειγμα 4.61.

Θυμηθείτε, από τον ορισμό 1.18, ότι μια σχέση ισοδυναμίας σε ένα σύνολο ΕΝΑ είναι μια αντανακλαστική, συμμετρική και μεταβατική δυαδική σχέση ΕΝΑ. Δεδομένων δύο πεπερασμένων σετ, ΕΝΑ και σι, ένα συσχέτιση ΕΝΑ σι είναι μια σχέση ισοδυναμίας ΕΝΑ σι.

Έτσι, για παράδειγμα, εδώ είναι ένας συσχετισμός από ένα σετ ΕΝΑ έχοντας πέντε στοιχεία σε ένα σύνολο σι έχοντας έξι στοιχεία? δύο στοιχεία είναι ισοδύναμα εάν περικυκλώνονται από την ίδια διακεκομμένη γραμμή.

Υπάρχει μια κατηγορία, που υποδηλώνεται Corel, όπου τα αντικείμενα είναι πεπερασμένα σύνολα, και από πού προέρχεται ένας μορφισμός ΕΝΑ σι είναι ένας συσχετισμός ΕΝΑ σι. Ο κανόνας σύνθεσης είναι πιο απλός να κοιτάξει παρά να γράψει επίσημα. (^ {2} ) Εάν εκτός από τη συσχέτιση α: ΕΝΑ σι παραπάνω έχουμε έναν άλλο συσχετισμό β: σι ντο

Στη συνέχεια, το σύνθετο β-α των δύο συσχετίσεών μας δίνεται από

Δηλαδή, δύο στοιχεία είναι ισοδύναμα στο σύνθετο συσχετισμό εάν μπορούμε να ταξιδέψουμε από το ένα στο άλλο παραμένοντας σε τάξεις ισοδυναμίας είτε α είτε β.

Η κατηγορία Corel μπορεί να είναι εξοπλισμένο με τη συμμετρική μονοειδή δομή (Ø, ⊔). Αυτή η μονοειδική κατηγορία είναι συμπαγής κλειστή, με κάθε πεπερασμένο σύνολο το δικό του διπλό. Πράγματι, σημειώστε ότι για οποιοδήποτε πεπερασμένο σετ ΕΝΑ υπάρχει σχέση ισοδυναμίας ΕΝΑ ΕΝΑ := {(ένα, 1), (ένα, 2) | ένα (σε) ΕΝΑ} όπου κάθε μέρος αποτελείται απλώς από τα δύο στοιχεία (ένα, 1) και (ένα, 2) για καθένα ένα (σε) ΕΝΑ. Η μονάδα σε ένα πεπερασμένο σετ ΕΝΑ είναι η συσχέτιση η (_ {A} ): Ø → ΕΝΑ ΕΝΑ καθορίζεται από αυτήν τη σχέση ισοδυναμίας · παρομοίως η χώρα ΕΝΑ είναι η συσχέτιση ε (_ {A} ): ΕΝΑ ΕΝΑ → Ø καθορίζεται από την ίδια σχέση ισοδυναμίας.

Άσκηση 4.62.

Εξετάστε το σετ ( υπογράμμιση {3} ) = {1, 2, 3}.

1. Σχεδιάστε μια εικόνα της συσχέτισης της μονάδας Ø → 3 ⊔ 3.

2. Σχεδιάστε μια εικόνα της συσχέτισης των χωρών 3 ⊔ 3 → Ø.

3. Βεβαιωθείτε ότι διατηρούνται οι εξισώσεις φιδιού (4.59). (Δεδομένου ότι κάθε αντικείμενο είναι το δικό του διπλό, πρέπει να ελέγξετε μόνο ένα από αυτά.) ♦

Feas ως συμπαγής κλειστή κατηγορία

Κλείνουμε το κεφάλαιο επιστρέφοντας στη συν-σχεδίαση και δείχνοντας αυτό Feas έχει συμπαγή κλειστή δομή. Αυτό μας επιτρέπει να σχεδιάζουμε τα είδη διαγραμμάτων καλωδίωσης που είδαμε στο Eqs. (4.1), (4.55) και (4.56): είναι αυτό που θέτει τα πραγματικά μαθηματικά πίσω από αυτές τις εικόνες.

Αντί να αναφέρουμε απλώς αυτήν τη συμπαγή κλειστή δομή για Feas = Καθηγητής (_ {Bool} ), δεν είναι επιπλέον δουλειά να το αποδείξουμε για οποιοδήποτε σκελετικό (unital, commutative) quantale (V, Εγώ, ⊗) την κατηγορία καθηγητή Καθηγητής (_ {V} ) του Theorem 4.23 είναι κλειστό, οπότε θα συζητήσουμε αυτό το γενικό γεγονός.

Θεώρημα 4.63.

Αφήστε το V να είναι ένα σκελετικό quantale. Η κατηγορία Καθηγητής (_ {V} ) μπορεί να δοθεί η δομή μιας συμπαγούς κλειστής κατηγορίας, με μονοειδές προϊόν που δίνεται από το προϊόν των κατηγοριών V.

Πράγματι, το μόνο που χρειάζεται να κάνουμε είναι να κατασκευάσουμε τη μονοειδή δομή και τα διπλά για αντικείμενα. Ας σχεδιάσουμε πώς συμβαίνει αυτό.

Μονοειδή προϊόντα σε Καθηγητής (_ {V} ) είναι απλώς κατηγορίες προϊόντων. Όσον αφορά τα διαγράμματα καλωδίωσης, η μονοειδική δομή μοιάζει με στοίβαγμα καλωδίων ή κουτιών το ένα πάνω στο άλλο, χωρίς νέα αλληλεπίδραση.

Ενεργοποιούμε το μονοειδές προϊόν μας ΚαθηγητήςV να είναι αυτό που δίνεται από το προϊόν των κατηγοριών V · ο ορισμός δόθηκε στον ορισμό 2.74, και επεξεργαστήκαμε αρκετά παραδείγματα εκεί. Για να θυμηθούμε, ο τύπος για τα hom-set σε X × Y δίνεται από

((x φορές y) αριστερά ((x, y), αριστερά (x ^ { prime}, y ^ { prime} δεξιά) δεξιά): = X αριστερά (x, x ^ { prime} δεξιά) otimes y αριστερά (y, y ^ { prime} δεξιά) )

Όμως, τα μονοειδή προϊόντα πρέπει να δίδονται και στους μορφισμούς, και στους μορφισμούς στο Καθηγητής (_ {V} ) είναι επαγγελματίες V. Με δεδομένους τους V-profunctors Φ: X1 → X2 και Ψ: Y1 → Y2, κάποιος ορίζει έναν V-profunctor (Φ × Ψ): X1 × Y1 → X2 × Y2 από

(( Phi times Psi) αριστερά ( αριστερά (x_ {1}, y_ {1} δεξιά), αριστερά (x_ {2}, y_ {2} δεξιά) δεξιά): = Phi αριστερά (x_ {1}, x_ {2} δεξιά) otimes Psi αριστερά (y_ {1}, y_ {2} δεξιά) ).

Άσκηση 4.64.

Ερμηνεύστε τα μονοειδή προϊόντα στα Καθηγητής (_ {Bool} ) όσον αφορά τη σκοπιμότητα. Δηλαδή, οι προπαραγγελίες αντιπροσωπεύουν πόρους που ταξινομούνται βάσει διαθεσιμότητας (Χ Χ' σημαίνει ότι Χ είναι διαθέσιμο δεδομένο Χ′) Και ένας καθηγητής είναι μια σχέση σκοπιμότητας. Εξηγήστε γιατί το Χ × Υ έχει νόημα ως το μονοειδές προϊόν των παραγγελιών πόρων Χ και Υ και γιατί το Φ × Ψ έχει νόημα ως το μονοειδές προϊόν των σχέσεων σκοπιμότητας Φ και Ψ ♦

Η μονοειδική μονάδα στον καθηγητή (_ {V} ) είναι 1. Για να ορίσετε μια μονοειδή δομή Καθηγητής (_ {V} ), δεν χρειαζόμαστε μόνο ένα μονοειδές προϊόν - όπως ορίζεται παραπάνω - αλλά και μια μονοειδή μονάδα. Θυμηθείτε την κατηγορία V 1; έχει ένα αντικείμενο, ας πούμε 1, και (1, 1) = Εγώ είναι η μονοειδική μονάδα του V. Παίρνουμε1 να είναι η μονοειδική μονάδα του Καθηγητής (_ {V} ).

Άσκηση 4.65.

Προκειμένου για 1 για να είναι μια μονοειδική μονάδα, υποτίθεται ότι υπάρχουν ισομορφισμοί Χ × 1 → X και 1 × X → X σε Καθηγητής (_ {V} ), για οποιαδήποτε κατηγορία V. X. Τι είναι; ♦

Διπλά Καθηγητής (_ {V} ) είναι ακριβώς αντίθετες κατηγορίες. Για να σεβαστούμε Καθηγητής (_ {V} ) ως συμπαγής κλειστή κατηγορία (Ορισμός 4.58), μένει να καθοριστούν διπλά και το αντίστοιχο κύπελλο και καπάκι.

Τα διπλά είναι εύκολα: για κάθε κατηγορία V, το διπλό είναι η αντίθετη κατηγορία X (^ {op} ) (βλ. Άσκηση 2.73). Στη συνέχεια, η μονάδα και η χώρα μοιάζουν με ταυτότητες. Για να αναλυθεί, η μονάδα είναι V-profunctor (_ {ηX} ) → 1 X (^ {op} ) × X. Εξ ορισμού, πρόκειται για V-functor

( eta_ {x}: mathbf {1} φορές x ^ { mathrm {op}} φορές x δεξί βέλος v );

το ορίζουμε με (_ {ηX} ) (1, Χ, Χ′): = X (Χ, Χ′). Ομοίως, η χώρα είναι ο καθηγητής ε (_ {X} ): (X × X (^ {op} )) → 1, ορίζεται από ε (_ {X} ) (Χ, Χ′, 1): = X (Χ, Χ′).

Άσκηση 4.66.

Ελέγξτε ότι αυτές οι προτεινόμενες μονάδες και οι χώρες συμμορφώνονται πράγματι με τις εξισώσεις φιδιών. (4.59). ♦


Δες το βίντεο: Danner Mountein Pass. Лучшие материалы и классическая конструкция. (Δεκέμβριος 2021).