Άρθρα

5.6.E: Προβλήματα στο Θεώρημα του Tayior


Άσκηση ( PageIndex {1} )

Συμπληρώστε τις αποδείξεις των Θεωρημάτων (1,1 ^ { prime}, ) και 2.

Άσκηση ( PageIndex {2} )

Επαληθεύστε τη Σημείωση 1 και τα Παραδείγματα (b) και ( αριστερά ( mathrm {b} ^ { prime prime} δεξιά) ).

Άσκηση ( PageIndex {3} )

Λήψη (g (t) = (a-t) ^ {s}, s> 0, ) στο ((6), ) εύρεση
[
R_ {n} = frac {f ^ {(n + 1)} (q)} {n! s} (x-p) ^ {s} (x-q) ^ {n + 1-s} quad ( κείμενο {Schloemilch-Roche υπόλοιπο}).
]
Λάβετε ( αριστερά (5 ^ { prime} δεξιά) ) και ( αριστερά (5 ^ { prime prime} δεξιά) ) από αυτό.

Άσκηση ( PageIndex {4} )

Αποδείξτε ότι (P_ {n} ) (όπως ορίζεται) είναι το μόνο πολυώνυμο βαθμού (n ) έτσι ώστε
[
f ^ {(k)} (p) = P_ {n} ^ {(k)} (p), quad k = 0,1, ldots, n.
]
[Υπόδειξη: Διαφοροποιήστε (P_ {n} n ) φορές για να επαληθεύσετε ότι ικανοποιεί αυτήν την ιδιότητα.
Για μοναδικότητα, ας υποθέσουμε ότι ισχύει και για αυτό
[
P (x) = sum_ {k = 0} ^ {n} a_ {k} (x-p) ^ {k}.
]
Διαφοροποιήστε τις (P n ) φορές για να το δείξετε
[
P ^ {(k)} (p) = f ^ {(k)} (p) = a_ {k} k! ,
]
( αριστερά. κείμενο {so} P = P_ {n}. text {(Γιατί;)} δεξιά] )

Άσκηση ( PageIndex {5} )

Με (P_ {n} ) όπως ορίζεται, αποδείξτε ότι εάν (f ) είναι (n ) φορές διαφοροποιημένη στο (p, ) τότε
[
f (x) -P_ {n} (x) = o αριστερά ((x-p) ^ {n} δεξιά) κείμενο {as} x δεξί βέλος p
]
(Θεώρημα του Taylor με τον υπόλοιπο όρο του Peano).
[Υπόδειξη: Αφήστε (R (x) = f (x) -P_ {n} (x) ) και
[
delta (x) = frac {R (x)} {(x-p) ^ {n}} text {with} delta (p) = 0.
]
Χρησιμοποιώντας τον "απλοποιημένο" κανόνα L'Hôpital (Πρόβλημα 3 σε (§3 )) επανειλημμένα (n ) φορές, αποδείξτε ( αριστερά. Κείμενο {that} lim _ {x rightarrow p} delta (x) = 0. δεξιά] )

Άσκηση ( PageIndex {6} )

Χρησιμοποιήστε το Θεώρημα (1 ^ { prime} ) με (p = 0 ) για να επαληθεύσετε τις παρακάτω επεκτάσεις και να αποδείξετε ότι ( lim _ {n rightarrow infty} R_ {n} = 0 )
(α) ( sin x = x- frac {x ^ {3}} {3!} + frac {x ^ {5}} {5!} - cdots- frac {(- 1) ^ {m} x ^ {2 m-1}} {(2 m-1)!} + frac {(- 1) ^ {m} x ^ {2 m + 1}} {(2 m + 1)! } cos theta_ {m} x )
για όλους (x in E ^ {1} );
(β) ( cos x = 1- frac {x ^ {2}} {2!} + frac {x ^ {4}} {4!} - cdots + frac {(- 1) ^ { m} x ^ {2 m}} {(2 m)!} - frac {(- 1) ^ {m} x ^ {2 m + 2}} {(2 m + 2)!} sin theta_ {m} x ) για
όλα (x σε E ^ {1}. )
[Συμβουλές: Let (f (x) = sin x ) και (g (x) = cos x. ) Η επαγωγή δείχνει ότι
[
f ^ {(n)} (x) = sin αριστερά (x + frac {n pi} {2} δεξιά) κείμενο {και} g ^ {(n)} (x) = cos αριστερά (x + frac {n pi} {2} δεξιά).
]
Χρησιμοποιώντας τον τύπο ( αριστερά (5 ^ { prime} δεξιά), ) αποδείξτε αυτό
[
αριστερά | R_ {n} (x) δεξιά | leq αριστερά | frac {x ^ {n + 1}} {(n + 1)!} δεξιά | δεξί βέλος 0.
]
Πράγματι, (x ^ {n} / n! ) Είναι ο γενικός όρος μιας συγκλίνουσας σειράς
[
αριστερά. sum frac {x ^ {n}} {n!} quad text {(βλέπε Κεφάλαιο} 4, §13, κείμενο {Παράδειγμα} ( mathrm {d}) δεξιά).
]
( αριστερά. κείμενο {Έτσι} x ^ {n} / n! δεξί βέλος 0 κείμενο {από το Θεώρημα} 4 κείμενο {της ίδιας ενότητας.} δεξιά] )

Άσκηση ( PageIndex {7} )

Για οποιονδήποτε ορισμό (s in E ^ {1} ) και (n in N, )
[
left ( begin {array} {l} {s} {n} end {array} δεξιά) = frac {s (s-1) cdots (s-n + 1)} {n! } text {with} left ( begin {array} {l} {s} {0} end {array} δεξιά) = 1.
]
Στη συνέχεια αποδείξτε τα ακόλουθα.
(i) ( lim _ {n rightarrow infty} n αριστερά ( begin {array} {l} {s} {n} end {array} δεξιά) = 0 ) εάν ( s> 0 ),
(ii) ( lim _ {n rightarrow infty} αριστερά ( begin {array} {l} {s} {n} end {array} δεξιά) = 0 ) εάν (s > -1 ),
(iii) Για οποιαδήποτε σταθερά (s in E ^ {1} ) και (x in (-1,1) ).
[
lim _ {n rightarrow infty} left ( begin {array} {l} {s} {n} end {array} δεξιά) n x ^ {n} = 0;
]
ως εκ τούτου
[
lim _ {n rightarrow infty} left ( begin {array} {c} {s} {n} end {array} δεξιά) x ^ {n} = 0.
]
( αριστερά [ κείμενο {Συμβουλές:} ( mathrm {i}) κείμενο {Let} a_ {n} = αριστερά | n αριστερά ( begin {array} {l} {s} {n } end {array} δεξιά) δεξιά |. κείμενο {Επαλήθευση αυτού} δεξιά. )
[
a_ {n} = | s | αριστερά | 1- frac {s} {1} δεξιά | αριστερά | 1- frac {s} {2} δεξιά | cdots αριστερά | 1- frac {s} {n-1} δεξιά | .
]
Εάν (s> 0, αριστερά {a_ {n} δεξιά } κάτω βέλος ) για (n> s + 1, ) έτσι μπορούμε να βάλουμε (L = lim a_ {n} = lim a_ {2 n} geq 0. ) (Εξηγήστε!)
Αποδείξτε αυτό
[
frac {a_ {2 n}} {a_ {n}} < αριστερά | 1- frac {s} {2 n} δεξιά | ^ {n} rightarrow e ^ {- frac {1} {2 } s} κείμενο {as} n δεξί βέλος infty,
]
έτσι για μεγάλα (n ),
[
frac {a_ {2 n}} {a_ {n}} ]
Με το ( varepsilon ) σταθερό, αφήστε (n δεξί βέλος infty ) να πάρει (L leq αριστερά (e ^ {- frac {1} {2} s} + varepsilon δεξιά) L . ) Στη συνέχεια με ( varepsilon rightarrow 0, ) αποκτήστε (L e ^ { frac {1} {2} s} leq L ).
( αριστερά. κείμενο {As} e ^ { frac {1} {2} s}> 1 κείμενο {(για} s> 0 δεξιά), ) αυτό υπονοεί (L = 0, ) όπως αξιώνεται.
(ii) Για (s> -1, s + 1> 0, ) έτσι από ((i) ),
[
(n + 1) αριστερά ( begin {array} {c} {s + 1} {n + 1} end {array} δεξιά) δεξί βέλος 0; text {δηλαδή,} (s + 1) αριστερά ( begin {array} {c} {s} {n} end {array} δεξιά) δεξί βέλος 0. quad ( text {Γιατί;})
]
(iii) Χρησιμοποιήστε τη δοκιμή αναλογίας για να δείξετε ότι η σειρά ( sum left ( begin {array} {l} {s} {n} end {array} δεξιά) nx ^ {n} ) συγκλίνει όταν (| x | <1 ).
( text {Στη συνέχεια, εφαρμόστε το Θεώρημα} 4 κείμενο {του Κεφαλαίου} 4, §13.] )

Άσκηση ( PageIndex {8} )

Τα συνεχιζόμενα προβλήματα 6 και (7, ) το αποδεικνύουν
[
(1 + x) ^ {s} = sum_ {k = 0} ^ {n} αριστερά ( begin {array} {l} {s} {k} end {array} δεξιά) x ^ {k} + R_ {n} (x),
]
όπου (R_ {n} (x) δεξί βέλος 0 ) εάν είτε (| x | <1, ) ή (x = 1 ) και (s> -1, ) ή (x = -1 ) και (s> 0. )
[Συμβουλές: (α) Εάν (0 leq x leq 1, ) χρησιμοποιήστε ( αριστερά (5 ^ { prime} δεξιά) ) για
[
R_ {n-1} (x) = αριστερά ( begin {array} {c} {s} {n} end {array} δεξιά) x ^ {n} αριστερά (1+ theta_ { n} x δεξιά) ^ {sn}, quad 0 < theta_ {n} <1. text {(Επαλήθευση!)}
]
Περιορίστε ότι ( αριστερά | R_ {n-1} (x) δεξιά | leq αριστερά | αριστερά ( begin {array} {c} {s} {n} end {array} δεξιά x ^ {n} right | rightarrow 0. ) Χρησιμοποιήστε το πρόβλημα 7 (( text {iii) if} | x | <1 text {ή πρόβλημα} 7 ( text {ii}) ) εάν (x = 1 ).
(b) Εάν (- 1 leq x <0, ) γράψτε ( αριστερά (5 ^ { prime prime} δεξιά) ) ως
[
R_ {n-1} (x) = αριστερά ( begin {array} {c} {s} {n} end {array} δεξιά) nx ^ {n} αριστερά (1+ theta_ { n} ^ { prime} x δεξιά) s ^ {- 1} αριστερά ( frac {1- theta_ {n} ^ { prime}} {1+ theta_ {n} ^ { prime} x } δεξιά) ^ {n-1}. κείμενο {(Έλεγχος!)}
]
Ως (- 1 leq x <0, ) το τελευταίο κλάσμα είναι ( leq 1. ) (Γιατί;) Επίσης,
[
αριστερά (1+ theta_ {n} ^ { prime} x δεξιά) ^ {s-1} leq 1 text {if} s> 1, text {και} leq (1 + x) ^ {s-1} text {if} s leq 1.
]
Έτσι, με (x ) σταθερό, αυτές οι εκφράσεις είναι οριοθετημένες, ενώ ( αριστερά ( begin {array} {c} {s} {n} end {array} δεξιά) nx ^ {n} rightarrow 0 ) by Problem 7 (( mathrm {i}) ) ( left. text {or} ( text {iii}). text {Μειώστε αυτό} R_ {n-1} δεξί βέλος 0, κείμενο {ως εκ τούτου} R_ {n} δεξί βέλος 0. δεξιά] )

Άσκηση ( PageIndex {9} )

Αποδείξτε αυτό
[
ln (1 + x) = sum_ {k = 1} ^ {n} (- 1) ^ {k + 1} frac {x ^ {k}} {k} + R_ {n} (x),
]
όπου ( lim _ {n rightarrow infty} R_ {n} (x) = 0 ) εάν (- 1 [Συμβουλές: Εάν (0 leq x leq 1, ) χρησιμοποιήστε τον τύπο ( αριστερά (5 ^ { prime} δεξιά) ).
Εάν (- 1 [
R_ {n} (x) = frac { ln (1 + x)} {(- 1) ^ {n}} αριστερά ( frac {1- theta_ {n}} {1+ theta_ {n } x} cdot x δεξιά) ^ {n}.
]
( κείμενο {Συνεχίστε όπως στο Πρόβλημα} 8.] )

Άσκηση ( PageIndex {10} )

Αποδείξτε ότι εάν (f: E ^ {1} rightarrow E ^ {*} ) είναι κλάσης ( mathrm {CD} ^ {1} ) στο ([a, b] ) και εάν (- infty [
f αριστερά (x_ {0} δεξιά)> frac {f (b) -f (a)} {b-a} αριστερά (x_ {0} -α δεξιά) + f (a);
]
δηλ., η καμπύλη (y = f (x) ) βρίσκεται πάνω από την αποκοπή μέσω ((a, f (a)) ) και ((b, f (b)). )
[Υπόδειξη: Αυτός ο τύπος είναι ισοδύναμος με
[
frac {f αριστερά (x_ {0} δεξιά) -f (a)} {x_ {0} -a}> frac {f (b) -f (a)} {b-a},
]
δηλαδή, ο μέσος όρος του (f ^ { prime} ) στο ( αριστερά [a, x_ {0} δεξιά] ) είναι αυστηρά μεγαλύτερος από τον μέσο όρο του (f ^ { prime} ) στο ([a, b], ) ( αριστερά. κείμενο {που ακολουθεί επειδή} f ^ { prime} κείμενο {μειώνεται on} (a, b). ( text {Εξηγήστε!}) δεξιά ] )

Άσκηση ( PageIndex {11} )

Αποδείξτε ότι εάν τα (a, b, r, ) και (s ) είναι θετικά reals και (r + s = 1, ) τότε
[
a ^ {r} b ^ {s} leq r a + s b.
]
(Αυτή η ανισότητα είναι σημαντική για τη θεωρία των λεγόμενων χώρων (L ^ {p} ).)
[Συμβουλές: Εάν (a = b ), όλα είναι ασήμαντα.
Επομένως, υποθέστε (a [
a = (r + s) a ]
Χρησιμοποιήστε το πρόβλημα 10 με (x_ {0} = r a + s b in (a, b) ) και
[
f (x) = ln x, f ^ { prime prime} (x) = - frac {1} {x ^ {2}} <0.
]
Επιβεβαιώστε το
[
x_ {0} -a = x_ {0} - (r + s) a = s (b-a)
]
και (r cdot ln a = (1-s) ln a; ) συνεπώς συμπεραίνουμε ότι
[
r cdot ln a + s cdot ln b- ln a = s ( ln b- ln a) = s (f (b) -f (a)).
]
Μετά τις αντικαταστάσεις, λάβετε
[
left.f left (x_ {0} right) = ln (r a + sb)> r cdot ln a + s cdot ln b = ln αριστερά (a ^ {r} b ^ {s} δεξιά). δεξιά]
]

Άσκηση ( PageIndex {12} )

Χρησιμοποιήστε το θεώρημα του Taylor (Θεώρημα 1 ') για να αποδείξετε τις ακόλουθες ανισότητες:
(α) ( sqrt [3] {1 + x} <1+ frac {x} {3} ) εάν (x> -1, x neq 0 ).
(b) ( cos x> 1- frac {1} {2} x ^ {2} ) εάν (x neq 0 ).
(c) ( frac {x} {1 + x ^ {2}} < arctan x 0 ).
(d) (x> sin x> x- frac {1} {6} x ^ {3} ) εάν (x> 0 ).


Εφαρμόστε το Θεώρημα Taylor & # 8217s στη συνάρτηση οριζεται ως για την εκτίμηση της τιμής του . Χρήση . Εκτιμήστε ένα ανώτερο όριο για το σφάλμα.

Λύση

Η προσέγγιση Taylor της συνάρτησης γύρω από το σημείο δίνεται ως εξής:

Αν χρησιμοποιούνται όροι (συμπεριλαμβανομένων ), τότε το άνω όριο για το σφάλμα είναι:

Με , ένα ανώτερο όριο για το σφάλμα μπορεί να υπολογιστεί υποθέτοντας . Αυτό συμβαίνει επειδή οι απόλυτες τιμές των παραγώγων του επιτύχουν τη μέγιστη τιμή τους στο διάστημα στο 4. Τα παράγωγα του έχουν την ακόλουθη φόρμα:

Τα παράγωγα της συνάρτησης αξιολογούνται στο σημείο μπορεί να υπολογιστεί ως:

Εάν χρησιμοποιούνται δύο όροι, τότε:

Σε αυτήν την περίπτωση, το ανώτερο όριο για το σφάλμα είναι:

Χρησιμοποιώντας το Mathematica, η τετραγωνική ρίζα του είναι περίπου 4 δεκαδικά ψηφία . Επομένως, το σφάλμα όταν χρησιμοποιούνται δύο όροι είναι:

που ικανοποιεί ότι το πραγματικό σφάλμα είναι λιγότερο το ανώτερο όριο:

Εάν χρησιμοποιούνται τρεις όροι, τότε:

Σε αυτήν την περίπτωση, το ανώτερο όριο για το σφάλμα είναι:

Το πραγματικό σφάλμα σε αυτήν την περίπτωση είναι πράγματι μικρότερο από το ανώτερο όριο:

Ο ακόλουθος κώδικας παρέχει μια καθορισμένη από το χρήστη συνάρτηση για τη σειρά Taylor με τις ακόλουθες εισόδους: μια συνάρτηση , η αξία του , η αξία του , και τον αριθμό των όρων συμπεριλαμβανομένου του σταθερού όρου.

Μπορείτε να κατεβάσετε το αρχείο MATLAB παρακάτω που παρέχει τη λύση σε αυτήν την ερώτηση.

Παράδειγμα 2

Εφαρμόστε το Θεώρημα Taylor & # 8217s στη συνάρτηση οριζεται ως για την εκτίμηση της τιμής του και . Χρήση . Εκτιμήστε ένα ανώτερο όριο για το σφάλμα.

Λύση

Πρώτον, θα υπολογίσουμε την αριθμητική λύση για το και :

Η προσέγγιση του Taylor γύρω δίνεται ως:

Αν χρησιμοποιούνται όροι (συμπεριλαμβανομένων ) κι αν , τότε το άνω όριο του σφάλματος είναι:

Αν , τότε, το άνω όριο του σφάλματος είναι:

Τα παράγωγα της συνάρτησης δίδονται από:

όταν αξιολογείται στις αυτές έχουν τις τιμές:

Για και χρησιμοποιώντας δύο όρους:

Οι όροι πλησιάζουν ο ένας στον άλλο και τέσσερις όροι παρέχουν μια καλή προσέγγιση. Ο όρος σφάλματος στο θεώρημα δίνει ένα ανώτερο όριο για ως εξής:

Η μέγιστη τιμή θα επιτευχθεί για . Ως εκ τούτου:

Πράγματι, η πραγματική τιμή του σφάλματος είναι μικρότερη από το ανώτερο όριο:

Για , η σειρά Taylor για αυτήν τη λειτουργία Δεν δίνει μια πολύ καλή προσέγγιση, όπως θα φανεί εδώ, αλλά συνεχίζει να ταλαντεύεται. Πρώτον, χρησιμοποιώντας δύο όρους:

Στην πραγματικότητα, ο παρακάτω πίνακας δίνει τις τιμές έως και 21 όρους. Είναι σαφές ότι η σειρά Taylor αποκλίνει.

Ο όρος σφάλματος στο θεώρημα δίνει ένα ανώτερο όριο για όταν χρησιμοποιούνται έξι όροι ως εξής:

Η μέγιστη τιμή θα ληφθεί όταν :

Αυτό είναι ένα μεγάλο ανώτατο όριο και δείχνει ότι η χρήση έξι όρων δεν δίνει καλή προσέγγιση. Σε γενικές γραμμές, η σειρά Taylor λειτουργεί καλύτερα αν η απόσταση μεταξύ και είναι όσο το δυνατόν μικρότερο. Για ορισμένες λειτουργίες, όπως , , και , η σειρά Taylor συγκλίνει πάντα. Ωστόσο, για συναρτήσεις με τετραγωνικές ρίζες, η σειρά Taylor συγκλίνει όταν είναι σχετικά κοντά στο . Υπάρχουν ορισμένες αναλυτικές συνθήκες που θα έδειχναν την ακτίνα σύγκλισης μιας σειράς Taylor ωστόσο, αυτό είναι πέρα ​​από το πεδίο αυτού του μαθήματος!

Ο ακόλουθος κώδικας παρέχει μια καθορισμένη από το χρήστη συνάρτηση για τη σειρά Taylor με τις ακόλουθες εισόδους: μια συνάρτηση , η αξία του , η αξία του , και τον αριθμό των όρων συμπεριλαμβανομένου του σταθερού όρου.

Παράδειγμα 3

Χρησιμοποιήστε το μηδέν έως την τέταρτη σειρά επέκτασης της σειράς Taylor & # 8217 για να προσεγγίσετε την τιμή της συνάρτησης οριζεται ως στο . Χρήση . Υπολογίστε το σφάλμα που σχετίζεται με κάθε επέκταση.

Λύση

Η πραγματική τιμή της συνάρτησης στο δίνεται από:

Η επέκταση της σειράς Taylor μηδενικής τάξης περίπου έχει την ακόλουθη μορφή:

Το σφάλμα σε αυτήν την περίπτωση δίνεται από:

Η πρώτη σειρά επέκτασης σειράς Taylor γύρω έχει την ακόλουθη μορφή:

Το σφάλμα σε αυτήν την περίπτωση δίνεται από:

Η δεύτερη σειρά επέκτασης σειρά Taylor γύρω έχει την ακόλουθη μορφή:

Το σφάλμα σε αυτήν την περίπτωση δίνεται από:

Η τρίτη σειρά επέκτασης σειράς Taylor γύρω έχει την ακόλουθη μορφή:

Το σφάλμα σε αυτήν την περίπτωση δίνεται από:

Η τέταρτη σειρά επέκτασης σειράς Taylor γύρω έχει την ακόλουθη μορφή:

Το σφάλμα σε αυτήν την περίπτωση δίνεται από:

Είναι σημαντικό να σημειωθεί ότι το σφάλμα μειώνεται στο μηδέν όταν χρησιμοποιείτε την προσέγγιση τέταρτης σειράς Taylor. Αυτό συμβαίνει επειδή η προσέγγιση Taylor τέταρτης τάξης μιας πολυωνυμικής συνάρτησης τέταρτης τάξης είναι ίδια με τη συνάρτηση ίδια. Μπορείτε να το σκεφτείτε ως εξής, η προσέγγιση Taylor με μηδενική σειρά παρέχει μια & # 8220στατική & # 8221 προσέγγιση λειτουργίας. Η δεύτερη σειρά Taylor προσέγγιση παρέχει μια παραβολική συνάρτηση προσέγγιση, ενώ η τρίτη σειρά παρέχει μια κυβική συνάρτηση προσέγγιση. Η προσέγγιση της ένατης σειράς Taylor ενός πολυωνύμου βαθμού & # 8220n & # 8221 είναι ίδια με τη συνάρτηση που προσεγγίζεται!

Μπορείτε να κατεβάσετε το αρχείο MATLAB παρακάτω που παρέχει τη λύση σε αυτήν την ερώτηση.

Προβλήματα

  1. Χρησιμοποιήστε τη σειρά Taylor για τη λειτουργία οριζεται ως για την εκτίμηση της τιμής του . Χρήση μια φορά και για άλλη μια φορά. Εκτιμήστε ένα ανώτερο όριο για το σφάλμα για κάθε προσέγγιση. Σχολιάστε τη συμπεριφορά της σειράς Taylor αυτής της λειτουργίας. (υπόδειξη: Για αυτήν τη συγκεκριμένη λειτουργία χρησιμοποιώντας μια επέκταση Taylor γύρω δεν πρέπει να δώσει μια σωστή προσέγγιση για γιατί τα 10 και 4 απέχουν μεταξύ τους)
  2. Χρησιμοποιώντας τη σειρά Taylor και τη ρύθμιση , αντλήστε τις πολυωνυμικές μορφές των συναρτήσεων που αναφέρονται στην ενότητα της σειράς MacLaurin.
  3. Χρησιμοποιήστε το Θεώρημα Taylor & # 8217 για να βρείτε μια εκτίμηση για στο με . Χρησιμοποιήστε το μηδέν-, πρώτο-,
    εκδόσεις δεύτερης και τρίτης τάξης και υπολογίστε το σφάλμα περικοπής για κάθε περίπτωση.
  4. Χρησιμοποιώντας την επέκταση της σειράς MacLaurin για , βρείτε μια προσέγγιση για ως συνάρτηση του αριθμού των όρων έως 5 όρων. Για κάθε περίπτωση, βρείτε το σχετικό σφάλμα και το σχετικό κατά προσέγγιση σφάλμα .
  5. Χρησιμοποιήστε επεκτάσεις σειράς μηδέν έως τρίτης σειράς Taylor για να προβλέψετε Για

5.6.E: Προβλήματα στο Θεώρημα του Tayior

Το ρ11 δεν είναι στην πραγματικότητα ένα πολυώνυμο λόγω του όρου στο τέλος που χρησιμοποιείται για να σηματοδοτήσει ποια πολυώνυμη αντιπροσωπεύεται (σε ​​περίπτωση που ορισμένοι από τους συντελεστές είναι 0). Μπορούμε να μετατρέψουμε σε πολυώνυμο.

& gt p11: = μετατροπή (p11, polynom)

Τα πολυώνυμα Taylor είναι συνήθως καλές προσεγγίσεις στη λειτουργία κοντά στο a. Ας σχεδιάσουμε τα πρώτα πολυώνυμα για τη συνάρτηση sin στο x = 0.

& gt sinplot: = plot (sin, -Pi..2 * Pi, πάχος = 2):

& gt δοκιμάζει: = οικόπεδα [οθόνη] (sinplot):
για i από 1 έως 2 έως 11 do
tpl: = μετατροπή (taylor (sin (x), x = 0, i), polynom):
tays: = tays, plot [display] ([sinplot, plot (tpl, x = -Pi..2 * Pi, y = -2..2,
χρώμα = μαύρο, τίτλος = μετατροπή (tpl, string))]) od:

& gt οικόπεδα [οθόνη] ([tays], view = [- Pi..2 * Pi, -2..2])

Το πόσο κοντά είναι τα πολυώνυμα στη συνάρτηση καθορίζεται χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Taylor παρακάτω.

Θεώρημα: (Το υπόλοιπο θεώρημα του Taylor) Εάν το (n + 1) πρώτο παράγωγο του f ορίζεται και οριοθετείται στην απόλυτη τιμή από έναν αριθμό M στο διάστημα από a έως x, τότε

Αυτό το θεώρημα είναι απαραίτητο όταν χρησιμοποιείτε τα πολυώνυμα Taylor για να προσεγγίσετε τις λειτουργίες, επειδή δίνει έναν τρόπο να αποφασίσετε ποιο πολυώνυμο θα χρησιμοποιήσετε. Εδώ είναι ένα παράδειγμα.

Πρόβλημα Βρείτε το 2ο πολυώνυμο Taylor p [2] του στο. Σχεδιάστε τόσο το πολυώνυμο όσο και το f στο διάστημα [.5,1.5]. Προσδιορίστε το μέγιστο σφάλμα στη χρήση p [2] για να προσεγγίσετε το ln (x) σε αυτό το διάστημα.

& gt fplot: = plot (f, .5..1.5, πάχος = 2):

& gt p [2]: = x - & gt άθροισμα ((D @@ i) (f) (1.) / i! * (x-1.) ^ i, i = 0..2)

& gt t2: = μη εφαρμογή (μετατροπή (taylor (f (x), x = 1,3), polynom), x)

& gt tplot: = οικόπεδο (t2,1..1,5, χρώμα = μαύρο):

& gt οικόπεδα [οθόνη] ([fplot, tplot])

Έτσι το υπόλοιπο οριοθετείται από

Μπορούμε να δούμε από την πλοκή του f και του πολυωνύμου ότι το πραγματικό σφάλμα δεν είναι ποτέ περισσότερο από περίπου .1 στο διάστημα [.5,1.5].

Ποιο πολυώνυμο Taylor θα χρησιμοποιούσατε για να προσεγγίσετε τη συνάρτηση αμαρτίας στο διάστημα από -Pi έως Pi έως 1/10 ^ 6;

Λοιπόν, το 1 είναι δεσμευμένο σε οποιοδήποτε παράγωγο της αμαρτίας σε οποιοδήποτε διάστημα. Πρέπει λοιπόν να λύσουμε την ανισότητα

για n. Η επίλυση δεν θα είναι μεγάλη βοήθεια εδώ λόγω των παραγόντων, αλλά μπορούμε να βρούμε το μικρότερο n τρέχοντας ένα βρόχο.

& gt n: = 1: ενώ evalf (1 / n! * Pi ^ n) & gt 1/10 ^ 6 do n: = n + 1 od: print ("take n to be", n)

& gt t17: = μετατροπή (taylor (sin (x), x = 0,18), polynom)

Μοιάζει σχεδόν με τη λειτουργία αμαρτίας.

Άσκηση: Δείξτε ότι προσεγγίζεται στα 7 δεκαδικά ψηφία για όλα τα x in.

στο x = 0 στο διάστημα [-2,2]

στο x = 0 στο διάστημα [-2..2]

Άσκηση: Γράψτε μια διαδικασία για τον υπολογισμό της αμαρτίας (x) για οποιοδήποτε x χρησιμοποιώντας p [5]. περιορίζεται στο διάστημα [0, Pi / 4].

Περίγραμμα της λύσης : Εάν το x είναι αρνητικό, αντικαταστήστε το x με και χρησιμοποιήστε την ιδιότητα περίεργος. Εάν το x είναι μεγαλύτερο από ή ίσο με 2 * Pi, αντικαταστήστε το x με x-2 * Pi και χρησιμοποιήστε την περιοδικότητα. Επαναλάβετε αυτό το βήμα μέχρι το [0, 2 * Pi). Εάν Pi / 4 & lt x & lt Pi / 2, χρησιμοποιήστε το trig indentity


Γνωρίζουμε ότι όσο υψηλότερος είναι ο βαθμός μιας εξίσωσης, τόσο περισσότερα "σημεία καμπής" την ενδέχεται έχω. Για παράδειγμα, μια παραβολή έχει ένα «σημείο καμπής».

(Μια παραβολή έχει μια εξίσωση της μορφής $ y = ax ^ 2 + bx + c $.)

Ένα κυβικό σχήμα $ y = ax ^ 3 + bx ^ 2 + cx + d $ μπορεί να έχει έως και δύο "σημεία στροφής", αν και μπορεί να έχει λιγότερα. Γενικά, μια εξίσωση βαθμού $ n $ μπορεί να έχει έως και $ n-1 $ σημεία καμπής.

(Εδώ είναι το πολυώνυμο $ f (x) = 2x ^ 4 - x ^ 3 -3x ^ 2 + 7x - 13 $. Είναι βαθμός 4 και έχει τον μέγιστο αριθμό σημείων στροφής, 4-1 = 3. Αλλά, να θυμάστε, μερικά πολυώνυμα βαθμού 4 έχουν μόνο ένα ή δύο σημεία καμπής. Ο βαθμός μας δίνει τον ΜΕΓΙΣΤΟ αριθμό: $ n-1 $.)

Αυτό είναι σημαντικό επειδή, εάν θέλετε να χρησιμοποιήσετε ένα πολυώνυμο για να προσεγγίσετε μια συνάρτηση, θα θελήσετε να χρησιμοποιήσετε ένα πολυώνυμο αρκετά υψηλού βαθμού ώστε να ταιριάζει με τα "χαρακτηριστικά" της συνάρτησης. Η σειρά Taylor θα σας επιτρέψει να το κάνετε με συναρτήσεις που είναι "απεριόριστα διαφοροποιημένες", καθώς χρησιμοποιεί τα παράγωγα της συνάρτησης για να προσεγγίσει τη συμπεριφορά των συναρτήσεων.

Εδώ είναι τα πολυώνυμα Taylor αυξανόμενου βαθμού και η ημιτονοειδής καμπύλη. Παρατηρήστε πώς "τυλίγουν" την ημιτονοειδή καμπύλη, δίνοντας μια προσέγγιση που ταιριάζει καλύτερα και καλύτερα σε περισσότερες από την καμπύλη καθώς ο βαθμός του πολυωνύμου Taylor αυξάνεται.

Δεδομένου ότι η καμπύλη ημιτόνου έχει τόσα πολλά σημεία καμπής είναι εύκολο να δούμε ότι για να ταιριάζει με όλα τα χαρακτηριστικά της καμπύλης ημιτονοειδούς, θα πρέπει να πάρουμε το όριο του $ n ^$ βαθμός Taylor πολυώνυμος ως $ n rightarrow infty $. *

Αυτή είναι η διαίσθηση πίσω από τη σειρά Taylor. Όσο υψηλότερος είναι ο βαθμός, τόσο καλύτερο είναι το "κατάλληλο". Γιατί; Επειδή η καμπύλη υψηλότερου βαθμού έχει περισσότερα "σημεία στροφής" ώστε να ταιριάζουν καλύτερα με το σχήμα πραγμάτων όπως η ημιτονοειδής λειτουργία. (Εφόσον η συνάρτηση που προσεγγίζουμε είναι διαφοροποιήσιμη.)

* Πλευρική σημείωση: Μια συνάρτηση μπορεί να έχει μόνο λίγα σημεία στροφής και χρειάζεται ακόμη πάρα πολλούς όρους του πολυωνύμου Taylor. Πάρτε για παράδειγμα το αλυσοειδές, το οποίο έχει μόνο ένα σημείο καμπής αφού μοιάζει με παραβολή. Η σειρά Taylor για την αλυσοειδή δεν θα έχει όρους όπου οι συντελεστές είναι μηδέν, καθώς τα παράγωγα της αλυσοειδούς είναι υπερβολικές ημιτονοειδείς λειτουργίες.

Αλλά, ακόμη και με την αλυσοειδή, τα πολυώνυμα υψηλότερου βαθμού δίνουν καλύτερη προσέγγιση.


5.6.E: Προβλήματα στο Θεώρημα του Tayior

Περιγραφή διάλεξης

Αυτή η διάλεξη βίντεο, μέρος της σειράς Calculus Videos: Σειρά και ακολουθίες από τον καθηγητή, δεν έχει επί του παρόντος λεπτομερή περιγραφή και τίτλο βίντεο διάλεξης. Εάν έχετε παρακολουθήσει αυτήν τη διάλεξη και γνωρίζετε τι αφορά, ειδικά για τα θέματα των Μαθηματικών που συζητούνται, βοηθήστε μας σχολιάζοντας αυτό το βίντεο με τις προτεινόμενες προτάσεις σας περιγραφή και τίτλος. Ευχαριστώ πολύ από,

- Η ομάδα της CosmoLearning

Ευρετήριο μαθημάτων

  1. Ακολουθία: Σύγκλιση και Απόκλιση (Μέρος 1)
  2. Ακολουθίες: Σύγκλιση ή απόκλιση (Μέρος 2)
  3. Σειρά: Γεωμετρική σειρά και το τεστ για απόκλιση
  4. Γεωμετρική σειρά: Αναπαράσταση κλάσματος
  5. Παραδείγματα γεωμετρικών σειρών και το τεστ για απόκλιση (μέρος 1)
  6. Παραδείγματα γεωμετρικών σειρών και το τεστ για απόκλιση (μέρος 2)
  7. Τηλεσκοπική σειρά
  8. Series Diverges: Χρήση μερικών αθροισμάτων
  9. Ολοκληρωμένη δοκιμή για σειρές
  10. Χρήση του Integral Test for Series: Παράδειγμα 1
  11. Χρήση του Integral Test για Σειρά: Παράδειγμα 2
  12. Χρήση του Integral Test για Σειρά: Παράδειγμα 3
  13. Σειρά: Δοκιμή ορίου και άμεσης σύγκρισης
  14. Σειρά: Παραδείγματα ορίου και άμεσης σύγκρισης
  15. Σειρά: Παραδείγματα ορίου και άμεσης σύγκρισης (συνέχεια)
  16. Εναλλασσόμενες σειρές (Μέρος 1)
  17. Εναλλασσόμενες σειρές (Μέρος 2)
  18. Θεώρημα εκτίμησης εναλλακτικών σειρών
  19. Δοκιμή αναλογίας για να προσδιοριστεί εάν μια σειρά συγκλίνει (π.χ. 1)
  20. Δοκιμή αναλογίας για να προσδιοριστεί εάν μια σειρά συγκλίνει (π.χ. 2)
  21. Δοκιμή ρίζας για σειρά
  22. Power Series Αναπαράσταση λειτουργιών
  23. Σειρά ισχύος: Διάστημα σύγκλισης
  24. Σειρά διαφοροποίησης και ολοκλήρωσης ισχύος
  25. Power Series: Πολλαπλασιασμός και διαίρεση
  26. Taylor και MacLaurin Series (π.χ. 1)
  27. Σειρά Taylor και MacLaurin (π.χ. 2)
  28. Θεώρημα παραμένοντος Taylor ή ανισότητα Taylor
  29. Η σειρά Binomial (π.χ. 1)
  30. Η σειρά Binomial (π.χ. 2)

Περιγραφή Μαθήματος


Σε αυτό το μάθημα, ο εκπαιδευτής Calculus Patrick δίνει 30 μαθήματα βίντεο για τις σειρές και τις ακολουθίες. Μερικά από τα θέματα που καλύπτονται είναι: Σύγκλιση και Απόκλιση, Γεωμετρική Σειρά, Δοκιμή για Απόκλιση, Τηλεσκοπικές Σειρές, Integral Test, Limit and Direct Comparison Test, Alternating Series, Alternating Series Estimation Theorem, Ratio Test, Power Series, Taylor and MacLaurin Series, Taylor's Υπόλοιπο θεώρημα (Ανισότητα Taylor), σειρά Binomial και πολλά άλλα.


5.2 Επίδειξη με κωδικοποίηση

Αυτό το θεώρημα είναι λογικά διαισθητικό. Ας υποθέσουμε ότι η τυχαία μεταβλητή (X_n ) συγκλίνει στην κατανομή σε μια τυπική κανονική κατανομή (N (0,1) ). Για το μέρος 1) του Θεωρήματος, σημειώστε ότι όταν πολλαπλασιάζουμε ένα κανονικό κανονικό με μια σταθερά "τεντώνουμε" την κατανομή (υποθέτοντας (| a | & gt1 ), αλλιώς την "συμπιέζουμε"). Θυμηθείτε από τη συζήτηση του κανονικού κανονικού στο Κεφάλαιο 5 ότι (aN (0,1) = N (0, a ^ 2) ). Καθώς (n ) πλησιάζει το άπειρο, επομένως, εξ ορισμού (A_n xrightarrow

a ), και έτσι ο βαθμός στον οποίο τεντώνεται το κανονικό κανονικό θα συγκλίνει και σε αυτήν τη σταθερά. Για να δείξετε αυτό το χαρακτηριστικό οπτικά, εξετάστε την ακόλουθη προσομοίωση:

Εδώ έχουμε ορίσει δύο τυχαίες μεταβλητές: το X_n είναι ένα τυπικό κανονικό και το A_n συγκλίνει στην τιμή σε 2. Μεταβάλλοντας την τιμή του n, παίρνω (n ) σχέδια από μια τυπική κανονική κατανομή και υπολογίζω την τιμή της συγκλίνουσας σταθεράς ( A_n ). Στη συνέχεια δημιουργώ το προϊόν αυτών των δύο μεταβλητών. Η εικόνα απεικονίζει την προκύπτουσα κατανομή aX. Μπορούμε να δούμε ότι καθώς το n αυξάνεται, η κατανομή γίνεται όλο και πιο φυσιολογική, παραμένει κεντραρισμένη γύρω στο 0 και η διακύμανση πλησιάζει το 4 (αφού το 95% της καμπύλης οριοθετείται περίπου μεταξύ (0 pm 2 φορές sqrt = 0 pm 2 φορές2 = 0 pm 4 )).

Παρομοίως, αν προσθέσουμε τη σταθερά (a ) σε μια τυπική κατανομή, το αποτέλεσμα είναι να μετατοπίσουμε την κατανομή στο σύνολό της (δεδομένου ότι μια σταθερά δεν έχει καμία διακύμανση, δεν "τεντώνει" την κατανομή). Καθώς (A_n ) συγκλίνει πιθανότατα, η μετατόπιση συγκλίνει στη σταθερά (a ). Και πάλι, μπορούμε να δείξουμε αυτό το αποτέλεσμα σε R:

Καθώς το n γίνεται μεγαλύτερο, η προκύπτουσα κατανομή γίνεται περίπου κανονική, με διακύμανση 1 και μέση τιμή που επικεντρώνεται γύρω από το (0 + a = 2 ).

Το Θεώρημα του Slutsky είναι τόσο χρήσιμο ακριβώς γιατί μας επιτρέπει να συνδυάσουμε πολλές τυχαίες μεταβλητές με γνωστά ασυμπτωτικά και να διατηρήσουμε αυτήν τη γνώση, δηλαδή γνωρίζουμε τι θα προκύψει η προκύπτουσα κατανομή στην υπόθεση (n to infty ).


Κύρια αποτελέσματα

Το θεώρημα της μέσης τιμής

Το ακόλουθο αποτέλεσμα έχει αποδειχθεί για παράδειγμα στο [34], χρησιμοποιώντας μετασχηματισμούς Laplace, και επίσης στο [26] χρησιμοποιώντας μόνο τον ορισμό των παραγώγων AB και ολοκληρώματα.

Θεώρημα 2.1

Τα ενσωματωμένα AB και παράγωγα τύπου Caputo ικανοποιούν την ακόλουθη σχέση αντιστροφής:

Για (0 & lt alpha & lt1 ), (a & lt t & lt b ) σε ( mathbb) , και (f: [a, b] rightarrow mathbb) διαφοροποιήσιμο έτσι (φά') και (<> ^ < mathrm> _ <> Δ_^ < alpha> , f ) είναι και οι δύο μέσα (L ^ <1> [a, b] ).

Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε αυτό το γεγονός για να αποδείξουμε το ακόλουθο ανάλογο του θεωρήματος μέσης τιμής για κλασματικά παράγωγα στο μοντέλο AB.

Θεώρημα 2.2

Αφήνω (0 & lt alpha & lt1 ), (a & lt b ) σε ( mathbb) , και (f: [a, b] rightarrow mathbb ) διαφοροποιήσιμο έτσι (f ' σε L ^ <1> [a, b] ) και (<> ^ < mathrm> _ <> Δ_^ < alpha> , f in C [a, b] ). Επειτα, για κάθε (t σε [a, b] ), Υπάρχει ( xi σε [a, t] ) έτσι

Απόδειξη

Τώρα, με το ενσωματωμένο θεώρημα μέσης τιμής, αφού (<> ^ < mathrm> _ <> Δ_^ < alpha> , f (x) ) είναι συνεχές και ((tx) ^ < alpha-1> ) είναι ενσωματώσιμο και θετικό, υπάρχει ( xi in (a, t) ) έτσι

Για λόγους ενδιαφέροντος, συμπεριλαμβάνουμε επίσης την ακόλουθη συνέπεια, μια άλλη μορφή του θεώρηματος κλασματικής μέσης τιμής ABC ως προς την ανισότητα.

Συνέπεια 2.1

Με όλες τις σημειώσεις και τις υποθέσεις όπως στο Θεώρημα 2.2, αν φά είναι μονοτονικό (αυξάνεται ή μειώνεται), έπειτα

Απόδειξη

Θα ξεκινήσουμε από την εξίσωση (2) για να αντλήσουμε αυτήν την ανισότητα. Πρώτον, χρησιμοποιώντας ξανά το ενσωματωμένο θεώρημα μέσης τιμής, μπορούμε να γράψουμε το παράγωγο ABC ως

για ορισμένα (c in (a, t) ), αφού το (E _ < alpha> ) είναι συνεχές και το (f ') είναι ενσωματώσιμο και έχει σταθερό σήμα. Το αντικαθιστούμε σε (2) για εύρεση

Δεδομένου ότι η συνάρτηση Mittag – Leffler σε ένα αρνητικό όρισμα είναι εντελώς μονότονη [35], ακολουθεί το αποτέλεσμα. □

Το θεώρημα του Taylor

Πριν αρχίσουμε να αποδεικνύουμε ανάλογα του θεωρήματος του Taylor για τα κλασματικά παράγωγα ΑΒ, καθορίζουμε πρώτα το ακόλουθο λήμμα.

Λήμμα 2.1

Αν ( alpha in (0,1) ) και (α & lt β ) σε ( mathbb) και (f: [a, b] rightarrow mathbb) είναι μια διαφοροποιήσιμη συνάρτηση έτσι (φά') και όλες τις συναρτήσεις της φόρμας ((<> ^ < mathrm> _ <> Δ_^ < alpha>) ^f (t) ), (m in mathbb) , είναι (L ^ <1> ) λειτουργίες, έπειτα

Απόδειξη

Έτσι, η αριστερή πλευρά της εξίσωσης (4) μπορεί να γραφτεί ως εξής, όπου δηλώνουμε (<> ^ < mathrm> _ <> I_^ < alpha> ) και (<> ^ < mathrm> _ <> Δ_^ < alpha> ) απλώς (I ^ < alpha> ) και (D ^ < alpha> ), αντίστοιχα, για ευκολία σημειοποίησης:

όπου για το τελευταίο βήμα χρησιμοποιήσαμε την ταυτότητα (5). Δηλώνει τη σταθερά ((D ^ < alpha>) ^f (a) ) από ΕΝΑ, έχουμε

Τώρα είμαστε επιτέλους σε θέση να αποδείξουμε το ακόλουθο κύριο αποτέλεσμα, το πρώτο μας ανάλογο θεώρημα του Taylor για κλασματικά παράγωγα στο μοντέλο ABC.

Θεώρημα 2.3

(Σειρά AB Taylor για (t = a ))

Αν ( alpha in (0,1) ) και (n in mathbb) και (α & lt β ) σε ( mathbb) και (f: [a, b] rightarrow mathbb) είναι μια διαφοροποιήσιμη συνάρτηση έτσι (φά') και όλες τις συναρτήσεις της φόρμας ((<> ^ < mathrm> _ <> Δ_^ < alpha>) ^f (t) ), (m in mathbb) , είναι (L ^ <1> ) λειτουργίες, τότε για όλους (t σε [a, b] ),

για ορισμένες ( xi in (a, t) ), όπου η συνάρτηση μικρό ορίζεται από

Απόδειξη

Το αποτέλεσμα του Lemma 2.1 μπορεί να ξαναγραφεί ως

ισχύει για οποιοδήποτε (m in mathbb). Συνοψίζοντας αυτήν την ταυτότητα Μ για να σχηματίσουμε μια τηλεσκοπική σειρά, παίρνουμε

Επομένως, αρκεί να το αποδείξουμε αυτό

Για να καθορίσουμε (8), χρησιμοποιούμε το θεώρημα μέσης τιμής για ολοκληρώματα για άλλη μια φορά, αυτή τη φορά με μια από τις «συναρτήσεις» να είναι στην πραγματικότητα μια διανομή γραμμένη σε όρους του δέλτα Dirac.

Προκειμένου να αποκτήσετε μια άπειρη επέκταση σειράς Taylor για μια δεδομένη συνάρτηση (f (t) ), αρκεί να επιβάλλετε τον ακόλουθο όρο σύγκλισης στον υπόλοιπο όρο:

όπου ο κανόνας που χρησιμοποιείται είναι ο ενιαίος κανόνας στο ([a, t] ).

Ένα μειονέκτημα του Theorem 2.3 είναι ότι για πολλές λειτουργίες φά, το κλασματικό παράγωγο ABC (<> ^ < mathrm> _ <> Δ ^ < άλφα> _, f (t) ) που αξιολογείται στο σημείο εκκίνησης (t = a ) είναι μηδέν. Μπορούμε να το δούμε εξετάζοντας τον ορισμό: δεδομένου ότι το παράγωγο ABC δίνεται από ένα ακέραιο από ένα προς την τ, θα αξιολογηθεί στο μηδέν με δεδομένες ορισμένες συνθήκες σχετικά με τη συμπεριφορά του (f (t) ) πλησίον (t = a ). Έτσι, παρουσιάζουμε την ακόλουθη γενίκευση του Θεώρηματος 2.3, εμπνευσμένη από το έργο του [36].

Θεώρημα 2.4

(Σειρά AB Taylor - γενική περίπτωση)

Αν ( alpha in (0,1) ) και (n in mathbb) και (α & lt β ) σε ( mathbb) και (f: [a, b] rightarrow mathbb) είναι μια διαφοροποιήσιμη συνάρτηση έτσι (φά') και όλες τις συναρτήσεις της φόρμας ((<> ^ < mathrm> _ <> Δ_^ < alpha>) ^f (t) ), (m in mathbb) , είναι (L ^ <1> ) λειτουργίες, τότε για όλους (c, t in [a, b] ),

όπου η ακολουθία των συναρτήσεων (Δέλτα_) ορίζεται αναδρομικά από

και (Δέλτα_= Δέλτα_) , τις λειτουργίες (S _ < alpha, m> ) ορίζεται από (7), και το υπόλοιπο (R_) είναι ένας γραμμικός συνδυασμός όρων της φόρμας ((<> ^ < mathrm> _ <> Δ_^ < alpha>) ^f ( xi) ) Για ( xi in (a, b) ).

Απόδειξη

Χρησιμοποιούμε τον τύπο (6) από το Theorem 2.3 ως αφετηρία μας και τον εφαρμόζουμε πολλές φορές με διαφορετικούς τρόπους για να αντλήσουμε (10).

Αντικατάσταση τ με ντο στην εξίσωση (6) και αντικατάσταση φά από τα παράγωγά του ABC, κατά περίπτωση, αποδίδει τους ακόλουθους τύπους για οποιοδήποτε σταθερό ν (όπου χρησιμοποιούμε το γεγονός ότι (S _ < alpha, 0> = 1 )):

Αντικαθιστώντας καθεμία από αυτές τις εξισώσεις με τη σειρά της (6) αποδίδεται η ακόλουθη ακολουθία ταυτοτήτων:

όπου το ( Delta_) ορίζονται από το (11) και τα διαδοχικά υπολείμματα δίνονται από

Μετά ν επαναλήψεις αυτής της διαδικασίας, φτάνουμε στο τελικό αποτέλεσμα:

Από το ( Delta_= Δέλτα_Εξ ορισμού και αφήνοντας (R_= R_), ανακαλύπτουμε την εξίσωση (10) όπως απαιτείται. Σημειώστε ότι ( xi in (a, t) ) και ( xi_ in (a, c) ) για όλους Μ. □

Οι επαναλαμβανόμενες διαφορές ABC σε αυθαίρετη σειρά θα ήταν πολύ δύσκολο να υπολογιστούν άμεσα. Ευτυχώς, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τον τύπο σειράς από το [26] για να αντλήσουμε μια σημαντικά απλούστερη έκφραση για ((<> ^ < mathrm> _ <> Δ_^ < alpha>) ^f ) ως εξής:

όπου αυτή η σειρά είναι τοπικά ομοιόμορφα συγκλίνουσα τ. Η χρήση του τύπου (12) για το επαναλαμβανόμενο παράγωγο ABC καθιστά ευκολότερη τον υπολογισμό των σειρών Taylor (6) και (10) για συγκεκριμένες μεμονωμένες λειτουργίες φά. Δείτε την επόμενη ενότητα για ένα παράδειγμα.

Δυστυχώς, δεδομένης της πολυπλοκότητας του τύπου για τον υπόλοιπο όρο (R_), θα είναι δύσκολο να πει εάν και πότε η σειρά (10) συγκλίνει ως ν πηγαίνει στο άπειρο. Αλλά έχουμε σίγουρα ένα έγκυρο αποτέλεσμα πεπερασμένων σειρών, το οποίο μπορεί να επαληθευτεί υπολογιστικά ακόμη και για μεγάλες τιμές ν.


Όλο και πιο δύσκολες ερωτήσεις - Πυθαγόρας / Πυθαγόρειο Θεώρημα

Οι ολοένα και πιο δύσκολες ερωτήσεις προχωρούν στο TES!

Εργασίες χαμηλού ορόφου, υψηλής οροφής με την ευκαιρία για διάφορα σημεία εκκίνησης και υψηλή οροφή. Το Υλικό Υποστήριξης (εάν υπάρχει) επιτρέπει τον εντοπισμό περιοχών για ανάπτυξη και μεγαλύτερη πρακτική σε αυτές τις ερωτήσεις.

Αφήστε μια κριτική αν σας αρέσει αυτό που έχετε κατεβάσει.

Κριτικές

Η βαθμολογία σας απαιτείται για να αντικατοπτρίζει την ευτυχία σας.

Είναι καλό να αφήνουμε κάποια σχόλια.

Κάτι πήγε στραβά. Δοκιμάστε ξανά αργότερα.

Ανατροπή

Υπέροχο για αναθεώρηση ευχαριστώ !! & ltbr / & gt

Η κενή απάντηση δεν έχει νόημα για τον τελικό χρήστη

Taratennis12355

Η κενή απάντηση δεν έχει νόημα για τον τελικό χρήστη

Αναφέρετε αυτό το πόρο για να μας ενημερώσετε εάν παραβαίνει τους όρους και τις προϋποθέσεις μας.
Η ομάδα εξυπηρέτησης πελατών μας θα εξετάσει την αναφορά σας και θα επικοινωνήσει μαζί σας.


9.9 Taylor Polynomials

Εξετάστε μια συνάρτηση y = f ⁢ (x) και ένα σημείο (c, f ⁢ (c)). Το παράγωγο, f ′ ⁢ (c), δίνει τον στιγμιαίο ρυθμό μεταβολής του f στο x = c. Από όλες τις γραμμές που διέρχονται από το σημείο (c, f ⁢ (c)), η γραμμή που πλησιάζει καλύτερα το f σε αυτό το σημείο είναι η εφαπτομένη γραμμή που είναι, η γραμμή της οποίας η κλίση (ρυθμός αλλαγής) είναι f ′ ⁢ (c) .

yf ⁢ (0) = 2 f ′ ′ ′ ⁢ (0) = - 1 f ′ ⁢ (0) = 1 f (4) ⁢ (0) = - 12 f ′ ′ ⁢ (0) = 2 f (5) ⁢ (0) = - 19 Σχήμα 9.9.1: Σχεδιασμός y = f ⁢ (x) και πίνακας παραγώγων του f αξιολογήθηκε στο 0.

Στο Σχήμα 9.9.1, βλέπουμε μια συνάρτηση y = f ⁢ (x) με γραφική παράσταση. Ο πίνακας κάτω από το γράφημα δείχνει ότι f ⁢ (0) = 2 και f ′ ⁢ (0) = 1 επομένως, η εφαπτομένη γραμμή στο f στο x = 0 είναι p 1 ⁢ (x) = 1 ⁢ (x - 0) + 2 = x + 2. Η εφαπτομένη γραμμή δίνεται επίσης στο σχήμα. Σημειώστε ότι "κοντά" x = 0, p 1 ⁢ (x) ≈ f ⁢ (x), δηλαδή, η εφαπτομενική γραμμή προσεγγίζει το f καλά.

Ένα μειονέκτημα αυτής της προσέγγισης είναι ότι η εφαπτόμενη γραμμή ταιριάζει μόνο με την κλίση του f, δεν ταιριάζει, για παράδειγμα, με την κοιλότητα του f. Ωστόσο, μπορούμε να βρούμε ένα πολυώνυμο, p 2 ⁢ (x), που ταιριάζει με την κοιλότητα χωρίς μεγάλη δυσκολία. Ο πίνακας στο σχήμα 9.9.1 παρέχει τις ακόλουθες πληροφορίες:

f ⁢ (0) = 2 f ′ ⁢ (0) = 1 f ′ ′ ⁢ (0) = 2.

Επομένως, θέλουμε το πολυώνυμο p 2 ⁢ (x) να έχει τις ίδιες ιδιότητες. Δηλαδή, χρειαζόμαστε

p 2 ⁢ (0) = 2 p 2 ′ ⁢ (0) = 1 p 2 ′ ′ ⁢ (0) = 2.

Αυτό είναι απλώς ένα πρόβλημα αρχικής αξίας. Μπορούμε να το λύσουμε χρησιμοποιώντας τις τεχνικές που περιγράφονται για πρώτη φορά στην Ενότητα 5.1. Για να διατηρήσουμε το p 2 ⁢ (x) όσο το δυνατόν πιο απλό, θα υποθέσουμε ότι όχι μόνο p 2 ′ ′ ⁢ (0) = 2, αλλά ότι p 2 ′ ′ ⁢ (x) = 2. Δηλαδή, το δεύτερο παράγωγο του ρ2 είναι σταθερό.

y Σχήμα 9.9.2: Σχεδιασμός f, p 2 και p 4. † † margin:

y Figure 9.9.3: Plotting f and p 13 .

If p 2 ′′ ⁢ ( x ) = 2 , then p 2 ′ ⁢ ( x ) = 2 ⁢ x + C for some constant C . Since we have determined that p 2 ′ ⁢ ( 0 ) = 1 , we find that C = 1 and so p 2 ′ ⁢ ( x ) = 2 ⁢ x + 1 . Finally, we can compute p 2 ⁢ ( x ) = x 2 + x + C . Using our initial values, we know p 2 ⁢ ( 0 ) = 2 so C = 2 . We conclude that p 2 ⁢ ( x ) = x 2 + x + 2 . This function is plotted with f in Figure 9.9.2 .

We can repeat this approximation process by creating polynomials of higher degree that match more of the derivatives of f at x = 0 . In general, a polynomial of degree n can be created to match the first n derivatives of f . Figure 9.9.2 also shows p 4 ⁢ ( x ) = - x 4 / 2 - x 3 / 6 + x 2 + x + 2 , whose first four derivatives at 0 match those of f . (Using the table in Figure 9.9.1 , start with p 4 ( 4 ) ⁢ ( x ) = - 12 and solve the related initial-value problem.)

As we use more and more derivatives, our polynomial approximation to f gets better and better. In this example, the interval on which the approximation is “good” gets bigger and bigger. Figure 9.9.3 shows p 13 ⁢ ( x ) we can visually affirm that this polynomial approximates f very well on [ - 2 , 3 ] . The polynomial p 13 ⁢ ( x ) is fairly complicated:

16901 ⁢ x 13 6227020800 + 13 ⁢ x 12 1209600 - 1321 ⁢ x 11 39916800 - 779 ⁢ x 10 1814400 - 359 ⁢ x 9 362880 + x 8 240 + 139 ⁢ x 7 5040 + 11 ⁢ x 6 360 - 19 ⁢ x 5 120 - x 4 2 - x 3 6 + x 2 + x + 2 .

The polynomials we have created are examples of Taylor polynomials, named after the British mathematician Brook Taylor who made important discoveries about such functions. While we created the above Taylor polynomials by solving initial-value problems, it can be shown that Taylor polynomials follow a general pattern that make their formation much more direct. This is described in the following definition.

Definition 9.9.1 Taylor Polynomial, Maclaurin Polynomial

Let f be a function whose first n derivatives exist at x = c .

The Taylor polynomial of degree n of f at x = c is

p n ⁢ ( x ) = f ⁢ ( c ) + f ′ ⁢ ( c ) ⁢ ( x - c ) + f ′′ ⁢ ( c ) 2 ! ⁢ ( x - c ) 2 + f ′′′ ⁢ ( c ) 3 ! ⁢ ( x - c ) 3 + ⋯ + f ( n ) ⁢ ( c ) n ! ⁢ ( x - c ) n
= ∑ k = 0 n f ( k ) ⁢ ( c ) k ! ⁢ ( x - c ) k .

A special case of the Taylor polynomial is the Maclaurin polynomial, where c = 0 . That is, the Maclaurin polynomial of degree n of f is

p n ⁢ ( x ) = f ⁢ ( 0 ) + f ′ ⁢ ( 0 ) ⁢ x + f ′′ ⁢ ( 0 ) 2 ! ⁢ x 2 + f ′′′ ⁢ ( 0 ) 3 ! ⁢ x 3 + ⋯ + f ( n ) ⁢ ( 0 ) n ! ⁢ x n
= ∑ k = 0 n f ( k ) ⁢ ( 0 ) k ! ⁢ x k .

Generally, we order the terms of a polynomial to have decreasing degrees, and that is how we began this section. This definition, and the rest of this chapter, reverses this order to reflect the greater importance of the lower degree terms in the polynomials that we will be finding.

Watch the video:
Taylor Polynomial to Approximate a Function, Ex 3 from https://youtu.be/UINFWG0ErSA

We will practice creating Taylor and Maclaurin polynomials in the following examples.

Example 9.9.1 Finding and using Maclaurin polynomials

Find the n th Maclaurin polynomial for f ⁢ ( x ) = e x .

Use p 5 ⁢ ( x ) to approximate the value of e .

We start with creating a table of the derivatives of e x evaluated at x = 0 . In this particular case, this is relatively simple, as shown in Figure 9.9.4 . † † margin: f ⁢ ( x ) = e x ⇒ f ⁢ ( 0 ) = 1 f ′ ⁢ ( x ) = e x ⇒ f ′ ⁢ ( 0 ) = 1 f ′′ ⁢ ( x ) = e x ⇒ f ′′ ⁢ ( 0 ) = 1 ⋮ ⋮ f ( n ) ⁢ ( x ) = e x ⇒ f ( n ) ⁢ ( 0 ) = 1 Figure 9.9.4: The derivatives of f ⁢ ( x ) = e x evaluated at x = 0 . By the definition of the Maclaurin polynomial, we have

p n ⁢ ( x ) = ∑ k = 0 n f ( k ) ⁢ ( 0 ) k ! ⁢ x k = ∑ k = 0 n 1 k ! ⁢ x k .

Using our answer from part 1, we have

p 5 ⁢ ( x ) = 1 + x + 1 2 ⁢ x 2 + 1 6 ⁢ x 3 + 1 24 ⁢ x 4 + 1 120 ⁢ x 5 .

To approximate the value of e , note that e = e 1 = f ⁢ ( 1 ) ≈ p 5 ⁢ ( 1 ) . It is very straightforward to evaluate p 5 ⁢ ( 1 ) : † † margin:

y Figure 9.9.5: A plot of f ⁢ ( x ) = e x and its 5 th degree Maclaurin polynomial p 5 ⁢ ( x ) .

p 5 ⁢ ( 1 ) = 1 + 1 + 1 2 + 1 6 + 1 24 + 1 120 = 163 60 ≈ 2.71667 .

This is an error of about 0.0016 , or 0.06 % of the true value.

A plot of f ⁢ ( x ) = e x and p 5 ⁢ ( x ) is given in Figure 9.9.5 .

Example 9.9.2 Finding and using Taylor polynomials

Find the n th Taylor polynomial of y = ln ⁡ x at x = 1 .

Use p 6 ⁢ ( x ) to approximate the value of ln ⁡ 1.5 .

Use p 6 ⁢ ( x ) to approximate the value of ln ⁡ 2 .

We begin by creating a table of derivatives of ln ⁡ x evaluated at x = 1 . While this is not as straightforward as it was in the previous example, a pattern does emerge, as shown in Figure 9.9.6 .

p n ⁢ ( x ) = ∑ k = 0 n f ( k ) ⁢ ( c ) k ! ⁢ ( x - c ) k = ∑ k = 1 n ( - 1 ) k + 1 k ⁢ ( x - 1 ) k .

We can compute p 6 ⁢ ( x ) using our work above: † † margin: f ⁢ ( x ) = ln ⁡ x ⇒ f ⁢ ( 1 ) = 0 f ′ ⁢ ( x ) = 1 / x ⇒ f ′ ⁢ ( 1 ) = 1 f ′′ ⁢ ( x ) = - 1 / x 2 ⇒ f ′′ ⁢ ( 1 ) = - 1 f ′′′ ⁢ ( x ) = 2 / x 3 ⇒ f ′′′ ⁢ ( 1 ) = 2 f ( 4 ) ⁢ ( x ) = - 6 / x 4 ⇒ f ( 4 ) ⁢ ( 1 ) = - 6 ⋮ ⋮ f ( n ) ⁢ ( x ) = ⇒ f ( n ) ⁢ ( 1 ) = ( - 1 ) n + 1 ⁢ ( n - 1 ) ! x n ( - 1 ) n + 1 ⁢ ( n - 1 ) ! Figure 9.9.6: Derivatives of ln ⁡ x evaluated at x = 1 .

p 6 ⁢ ( x ) = ( x - 1 ) - 1 2 ⁢ ( x - 1 ) 2 + 1 3 ⁢ ( x - 1 ) 3 - 1 4 ⁢ ( x - 1 ) 4 + 1 5 ⁢ ( x - 1 ) 5 - 1 6 ⁢ ( x - 1 ) 6 .

Since p 6 ⁢ ( x ) approximates ln ⁡ x well near x = 1 , we approximate ln ⁡ 1.5 ≈ p 6 ⁢ ( 1.5 ) : † † margin:

y Figure 9.9.7: A plot of y = ln ⁡ x and its 6 th degree Taylor polynomial at x = 1 .

p 6 ⁢ ( 1.5 ) = ( 1.5 - 1 ) - 1 2 ⁢ ( 1.5 - 1 ) 2 + 1 3 ⁢ ( 1.5 - 1 ) 3
- 1 4 ⁢ ( 1.5 - 1 ) 4 + 1 5 ⁢ ( 1.5 - 1 ) 5 - 1 6 ⁢ ( 1.5 - 1 ) 6
= 259 640
≈ 0.404688 .

This is a good approximation as a calculator shows that ln ⁡ 1.5 ≈ 0.4055 . Figure 9.9.7 plots y = ln ⁡ x with y = p 6 ⁢ ( x ) . We can see that ln ⁡ 1.5 ≈ p 6 ⁢ ( 1.5 ) .

We approximate ln ⁡ 2 with p 6 ⁢ ( 2 ) :

p 6 ⁢ ( 2 ) = ( 2 - 1 ) - 1 2 ⁢ ( 2 - 1 ) 2 + 1 3 ⁢ ( 2 - 1 ) 3
- 1 4 ⁢ ( 2 - 1 ) 4 + 1 5 ⁢ ( 2 - 1 ) 5 - 1 6 ⁢ ( 2 - 1 ) 6
= 1 - 1 2 + 1 3 - 1 4 + 1 5 - 1 6
= 37 60
≈ 0.616667 .

This approximation is not terribly impressive: a hand held calculator shows that ln ⁡ 2 ≈ 0.693147 . The graph in Figure 9.9.7 shows that p 6 ⁢ ( x ) provides less accurate approximations of ln ⁡ x as x gets close to 0 or 2.

y Figure 9.9.8: A plot of y = ln ⁡ x and its 20 th degree Taylor polynomial at x = 1 .

Surprisingly enough, even the 20 th degree Taylor polynomial fails to approximate ln ⁡ x for x > 2 , as shown in Figure 9.9.8 . We’ll soon discuss why this is.

Taylor polynomials are used to approximate functions f ⁢ ( x ) in mainly two situations:

When f ⁢ ( x ) is known, but perhaps “hard” to compute directly. For instance, we can define y = cos ⁡ x as either the ratio of sides of a right triangle (“adjacent over hypotenuse”) or with the unit circle. However, neither of these provides a convenient way of computing cos ⁡ 2 . A Taylor polynomial of sufficiently high degree can provide a reasonable method of computing such values using only operations usually hard-wired into a computer ( + , - , × and ÷ ).

When f ⁢ ( x ) is not known, but information about its derivatives is known. This occurs more often than one might think, especially in the study of differential equations.

In both situations, a critical piece of information to have is “How good is my approximation?” If we use a Taylor polynomial to compute cos ⁡ 2 , how do we know how accurate the approximation is?

We had the same problem when studying Numerical Integration. Theorem 8.7.1 provided bounds on the error when using, say, Simpson’s Rule to approximate a definite integral. These bounds allowed us to determine that, for example, using 10 subintervals provided an approximation within ± .01 of the exact value. The following theorem gives similar bounds for Taylor (and hence Maclaurin) polynomials.

Theorem 9.9.1 Taylor’s Theorem

Let f be a function whose ( n + 1 ) th derivative exists on an open interval I and let c be in I . Then, for each x in I , there exists z x between x and c such that

f ⁢ ( x ) = ∑ k = 0 n f ( k ) ⁢ ( c ) k ! ⁢ ( x - c ) k + R n ⁢ ( x ) ,

where R n ⁢ ( x ) = f ( n + 1 ) ⁢ ( z x ) ( n + 1 ) ! ⁢ ( x - c ) n + 1 .

| R n ⁢ ( x ) | ≤ max z ⁡ | f ( n + 1 ) ⁢ ( z ) | ( n + 1 ) ! ⁢ | x - c | n + 1 , where z is between x and c .

The first part of Taylor’s Theorem states that f ⁢ ( x ) = p n ⁢ ( x ) + R n ⁢ ( x ) , where p n ⁢ ( x ) is the n th order Taylor polynomial and R n ⁢ ( x ) is the remainder, or error, in the Taylor approximation. The second part gives bounds on how big that error can be. If the ( n + 1 ) th derivative is large, the error may be large if x is far from c , the error may also be large. However, the ( n + 1 ) ! term in the denominator tends to ensure that the error gets smaller as n increases.

The following example computes error estimates for the approximations of ln ⁡ 1.5 and ln ⁡ 2 made in Example 9.9.2 .

Example 9.9.3 Finding error bounds of a Taylor polynomial

Use Theorem 9.9.1 to find error bounds when approximating ln ⁡ 1.5 and ln ⁡ 2 with p 6 ⁢ ( x ) , the Taylor polynomial of degree 6 of f ⁢ ( x ) = ln ⁡ x at x = 1 , as calculated in Example 9.9.2 .

We start with the approximation of ln ⁡ 1.5 with p 6 ⁢ ( 1.5 ) . The theorem references max ⁡ | f ( n + 1 ) ⁢ ( z ) | . In our situation, this is asking “How big can the 7 th derivative of y = ln ⁡ x be on the interval [ 1 , 1.5 ] ?” The seventh derivative is y = - 6 ! / x 7 . The largest absolute value it attains on I is 720. Thus we can bound the error as:

| R 6 ⁢ ( 1.5 ) | ≤ max ⁡ | f ( 7 ) ⁢ ( z ) | 7 ! ⁢ | 1.5 - 1 | 7
≤ 720 5040 ⋅ 1 2 7
≈ 0.001 .

We computed p 6 ⁢ ( 1.5 ) = 0.404688 using a calculator, we find ln ⁡ 1.5 ≈ 0.405465 , so the actual error is about 0.000778 (or 0.2 % ), which is less than our bound of 0.001 . This affirms Taylor’s Theorem the theorem states that our approximation would be within about one thousandth of the actual value, whereas the approximation was actually closer.

The maximum value of the seventh derivative of f on [ 1 , 2 ] again 720 (as the largest values come at x = 1 ). Ετσι

| R 6 ⁢ ( 2 ) | ≤ max ⁡ | f ( 7 ) ⁢ ( z ) | 7 ! ⁢ | 2 - 1 | 7
≤ 720 5040 ⋅ 1 7
≈ 0.28 .

This bound is not as nearly as good as before. Using the degree 6 Taylor polynomial at x = 1 will bring us within 0.3 of the correct answer. As p 6 ⁢ ( 2 ) ≈ 0.61667 , our error estimate guarantees that the actual value of ln ⁡ 2 is somewhere between 0.33667 and 0.89667 . These bounds are not particularly useful.

In reality, our approximation was only off by about 0.07 (or 11 % ). However, we are approximating ostensibly because we do not know the real answer. In order to be assured that we have a good approximation, we would have to resort to using a polynomial of higher degree.

We practice again. This time, we use Taylor’s theorem to find n that guarantees our approximation is within a certain amount.

Example 9.9.4 Finding sufficiently accurate Taylor polynomials

Find n such that the n th Taylor polynomial of f ⁢ ( x ) = cos ⁡ x at x = 0 approximates cos ⁡ 2 to within 0.001 of the actual answer. What is p n ⁢ ( 2 ) ?

Solution Following Taylor’s theorem, we need bounds on the size of the derivatives of f ⁢ ( x ) = cos ⁡ x . In the case of this trigonometric function, this is easy. All derivatives of cosine are ± sin ⁡ x or ± cos ⁡ x . In all cases, these functions are never greater than 1 in absolute value. We want the error to be less than 0.001 . To find the appropriate n , consider the following inequalities:

max ⁡ | f ( n + 1 ) ⁢ ( z ) | ( n + 1 ) ! ⁢ | 2 - 0 | n + 1 ≤ 0.001
1 ( n + 1 ) ! ⋅ 2 n + 1 ≤ 0.001

We find an n that satisfies this last inequality with trial-and-error. When n = 8 , we have 2 8 + 1 ( 8 + 1 ) ! ≈ 0.0014 when n = 9 , we have 2 9 + 1 ( 9 + 1 ) ! ≈ 0.000282 < 0.001 . Thus we want to approximate cos ⁡ 2 with p 9 ⁢ ( 2 ) .

We now set out to compute p 9 ⁢ ( x ) . We again need a table of the derivatives of f ⁢ ( x ) = cos ⁡ x evaluated at x = 0 . A table of these values is given in Figure 9.9.9 . Notice how the derivatives, evaluated at x = 0 , follow a certain pattern. All the odd powers of x in the Taylor polynomial will disappear as their coefficient is 0. While our error bounds state that we need p 9 ⁢ ( x ) , our work shows that this will be the same as p 8 ⁢ ( x ) . † † margin: f ⁢ ( x ) = cos ⁡ x ⇒ f ⁢ ( 0 ) = 1 f ′ ⁢ ( x ) = - sin ⁡ x ⇒ f ′ ⁢ ( 0 ) = 0 f ′′ ⁢ ( x ) = - cos ⁡ x ⇒ f ′′ ⁢ ( 0 ) = - 1 f ′′′ ⁢ ( x ) = sin ⁡ x ⇒ f ′′′ ⁢ ( 0 ) = 0 f ( 4 ) ⁢ ( x ) = cos ⁡ x ⇒ f ( 4 ) ⁢ ( 0 ) = 1 f ( 5 ) ⁢ ( x ) = - sin ⁡ x ⇒ f ( 5 ) ⁢ ( 0 ) = 0 f ( 6 ) ⁢ ( x ) = - cos ⁡ x ⇒ f ( 6 ) ⁢ ( 0 ) = - 1 f ( 7 ) ⁢ ( x ) = sin ⁡ x ⇒ f ( 7 ) ⁢ ( 0 ) = 0 f ( 8 ) ⁢ ( x ) = cos ⁡ x ⇒ f ( 8 ) ⁢ ( 0 ) = 1 f ( 9 ) ⁢ ( x ) = - sin ⁡ x ⇒ f ( 9 ) ⁢ ( 0 ) = 0 Figure 9.9.9: A table of the derivatives of f ⁢ ( x ) = cos ⁡ x evaluated at x = 0 .

Since we are forming our polynomial at x = 0 , we are creating a Maclaurin polynomial, and:


Δες το βίντεο: Taylor Series and Maclaurin Series - Calculus 2 (Δεκέμβριος 2021).