Άρθρα

8.4: Τύποι διπλής γωνίας, μισής γωνίας και μείωσης


Δεξιότητες για ανάπτυξη

  • Χρησιμοποιήστε τύπους διπλής γωνίας για να βρείτε ακριβείς τιμές.
  • Χρησιμοποιήστε τύπους διπλής γωνίας για να επαληθεύσετε ταυτότητες.
  • Χρησιμοποιήστε τύπους μείωσης για να απλοποιήσετε μια έκφραση.
  • Χρησιμοποιήστε τύπους μισής γωνίας για να βρείτε ακριβείς τιμές.

Οι ράμπες ποδηλάτων που γίνονται για διαγωνισμό (βλ. Εικόνα ( PageIndex {1} )) πρέπει να διαφέρουν σε ύψος ανάλογα με το επίπεδο δεξιοτήτων των ανταγωνιστών. Για προχωρημένους ανταγωνιστές, η γωνία που σχηματίζεται από τη ράμπα και το έδαφος πρέπει να είναι ( theta ) έτσι ώστε ( tan theta = dfrac {5} {3} ). Η γωνία διαιρείται στο μισό για αρχάριους. Ποια είναι η απότομη ράμπα για αρχάριους; Σε αυτήν την ενότητα, θα διερευνήσουμε τρεις επιπλέον κατηγορίες ταυτοτήτων που μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε για να απαντήσουμε σε ερωτήσεις όπως αυτή. Σας ζητείται να επιλύσετε προβλήματα που περιλαμβάνουν τύπους διπλής γωνίας και μισής γωνίας WeBWorK στις εργασίες με τίτλο "Κεφάλαιο 7.4" και "Κεφάλαιο 7.5."

Σχήμα ( PageIndex {1} ): Οι ράμπες ποδηλάτων για προχωρημένους αναβάτες έχουν απότομη κλίση από αυτές που έχουν σχεδιαστεί για αρχάριους.

Χρήση τύπων διπλής γωνίας για εύρεση ακριβών τιμών

Στην προηγούμενη ενότητα, χρησιμοποιήσαμε τύπους προσθήκης και αφαίρεσης για τριγωνομετρικές συναρτήσεις. Τώρα, ρίχνουμε μια άλλη ματιά σε αυτούς τους ίδιους τύπους. ο φόρμουλες διπλής γωνίας είναι μια ειδική περίπτωση των τύπων αθροίσματος, όπου ( alpha = beta ). Η παραγωγή του τύπου διπλής γωνίας για το ημιτονοειδές ξεκινά με τον τύπο αθροίσματος,

[ sin ( alpha + beta) = sin alpha cos beta + cos alpha sin beta. μη αριθμός ]

Εάν αφήσουμε ( alpha = beta = theta ), τότε έχουμε

[ start {align *} sin ( theta + theta) & = sin theta cos theta + cos theta sin theta sin (2 theta) & = 2 sin theta cos θήτα. end {align *} ]

Υπάρχουν τρεις επιλογές για τον τύπο διπλής γωνίας για συνημίτονο. Αρχικά, ξεκινώντας από τον τύπο αθροίσματος, ( cos ( alpha + beta) = cos alpha cos beta− sin alpha sin beta ) και αφήνοντας ( alpha = beta = theta ), έχουμε

[ start {align *} cos ( theta + theta) & = cos theta cos theta- sin theta sin theta cos (2 theta) & = { cos} ^ 2 θήτα - { sin} ^ 2 θήτα. end {align *} ]

Χρησιμοποιώντας μία από τις Πυθαγόρειες Ταυτότητες, μπορούμε να επεκτείνουμε αυτόν τον τύπο διπλής γωνίας για το συνημίτονο και να πάρουμε δύο ακόμη παραλλαγές. Η πρώτη παραλλαγή είναι:

[ start {align *} cos (2 theta) & = { cos} ^ 2 theta - { sin} ^ 2 theta & = (1 - { sin} ^ 2 theta) - { sin} ^ 2 theta & = 1 - 2 sin ^ 2 theta. end {align *} ]

Η δεύτερη παραλλαγή είναι:

[ start {align *} cos (2 theta) & = { cos} ^ 2 theta - { sin} ^ 2 theta & = { cos} ^ 2 theta- (1- { cos} ^ 2 theta) & = 2 { cos} ^ 2 theta-1 end {align *} ]

Για να αντλήσετε τον τύπο διπλής γωνίας για εφαπτομένη, αντικαθιστώντας το ( alpha = beta = theta ) στον τύπο αθροίσματος δίνει

[ start {align *} tan ( alpha + beta) & = dfrac { tan alpha + tan beta} {1- tan alpha tan beta} tan ( theta + theta) & = dfrac { tan theta + tan theta} {1- tan theta tan theta} tan (2 theta) & = dfrac {2 tan theta} {1 - { tan} ^ 2 theta}. end {align *} ]

ΦΟΡΜΟΥΛΑ ΔΙΠΛΟΥ-ΓΥΝΑΙΚΟΥ

ο φόρμουλες διπλής γωνίας συνοψίζονται ως εξής:

[ start {align *} sin (2 theta) & = 2 sin theta cos theta cos (2 theta) & = { cos} ^ 2 theta - { sin} ^ 2 theta = 1-2 { sin} ^ 2 theta = 2 { cos} ^ 2 theta-1 tan (2 theta) & = dfrac {2 tan theta} {1 - { tan} ^ 2 theta} end {align *} ]

Δεδομένης της εφαπτομένης μιας γωνίας και του τεταρτημορίου στο οποίο τερματίζει, χρησιμοποιήστε τους τύπους διπλής γωνίας για να βρείτε έξοδο διπλής γωνίας

  1. Σχεδιάστε ένα τρίγωνο για να αντικατοπτρίζει τις δεδομένες πληροφορίες.
  2. Προσδιορίστε τον σωστό τύπο διπλής γωνίας.
  3. Αντικαταστήστε τις τιμές στον τύπο με βάση το τρίγωνο.
  4. Απλοποιώ.

Παράδειγμα ( PageIndex {1} ): Χρησιμοποιώντας έναν τύπο διπλής γωνίας για να βρείτε την ακριβή εφαπτόμενη τιμή

Δεδομένου ότι ( tan theta = - dfrac {3} {4} ) και ( theta ) τερματίζει στο τεταρτημόριο II, βρείτε τα εξής:

  1. ( sin (2 theta) )
  2. ( cos (2 theta) )
  3. ( μαύρισμα (2 θήτα) )

Λύση

Αν σχεδιάσουμε ένα τρίγωνο για να αντανακλά τις πληροφορίες που δίνονται, μπορούμε να βρούμε τις τιμές που απαιτούνται για την επίλυση των προβλημάτων στην εικόνα. Μας δίνεται ( tan theta = - dfrac {3} {4} ), έτσι ώστε ( theta ) να τερματίζεται στο τεταρτημόριο II. Η εφαπτομένη μιας γωνίας σε ένα δεξί τρίγωνο είναι ίση με την αντίθετη πλευρά πάνω από την παρακείμενη πλευρά και επειδή η γωνία αναφοράς ( theta ') βρίσκεται στο δεύτερο τεταρτημόριο, η παρακείμενη πλευρά βρίσκεται στο Χ- άξονας και είναι αρνητικός. Χρησιμοποιήστε το Πυθαγόρειο θεώρημα για να βρείτε το μήκος της υπότασης:

[ start {align *} {(-4)} ^ 2 + {(3)} ^ 2 & = c ^ 2 16 + 9 & = c ^ 2 25 & = c ^ 2 c & = 5 τέλος {align *} ]

Τώρα μπορούμε να σχεδιάσουμε ένα τρίγωνο παρόμοιο με αυτό που φαίνεται στο σχήμα ( PageIndex {2} ).

Εικόνα ( PageIndex {2} )

  1. Ας ξεκινήσουμε γράφοντας τον τύπο διπλής γωνίας για το ημιτονοειδές.

    ( sin (2 theta) = 2 sin theta cos theta )

    Βλέπουμε ότι πρέπει να βρούμε ( sin theta ) και ( cos theta ). Με βάση το Σχήμα ( PageIndex {2} ), βλέπουμε ότι η υπόταση ισούται με (5 ), έτσι ( sin θ = frac {3} {5} ) και ( cos θ = - frac {4} {5} ). Αντικαταστήστε αυτές τις τιμές στην εξίσωση και απλοποιήστε.

    Ετσι,

    [ start {align *} sin (2 theta) & = 2 αριστερά ( dfrac {3} {5} δεξιά) αριστερά (- dfrac {4} {5} δεξιά) & = - dfrac {24} {25} end {align *} ]

  2. Γράψτε τον τύπο διπλής γωνίας για συνημίτονο.

    ( cos (2 theta) = { cos} ^ 2 theta - { sin} ^ 2 theta )

    Και πάλι, αντικαταστήστε τις τιμές του ημιτονοειδούς και συνημίτονου στην εξίσωση και απλοποιήστε.

    [ start {align *} cos (2 theta) & = { αριστερά (- dfrac {4} {5} δεξιά)} ^ 2 - { αριστερά ( dfrac {3} {5} δεξιά)} ^ 2 & = dfrac {16} {25} - dfrac {9} {25} & = dfrac {7} {25} end {align *} ]

  3. Γράψτε τον τύπο διπλής γωνίας για εφαπτομένη.

    ( tan (2 theta) = dfrac {2 tan theta} {1 - { tan} ^ 2 theta} )

    Σε αυτόν τον τύπο, χρειαζόμαστε την εφαπτομένη, που μας δόθηκε ως ( tan theta = - dfrac {3} {4} ). Αντικαταστήστε αυτήν την τιμή στην εξίσωση και απλοποιήστε.

    [ start {align *} tan (2 theta) & = dfrac {2 αριστερά (- dfrac {3} {4} δεξιά)} {1 - { αριστερά (- dfrac {3} {4} δεξιά)} ^ 2}
    & = dfrac {- dfrac {3} {2}} {1- dfrac {9} {16}}
    & = - dfrac {3} {2} αριστερά ( dfrac {16} {7} δεξιά)
    & = - dfrac {24} {7}
    end {align *} ]

Ανάλυση: Εάν ( theta ) τερματίζει στο τεταρτημόριο II, τότε (2 theta ) τερματίζει στο τεταρτημόριο III ή το τεταρτημόριο IV. Σε αυτήν την περίπτωση μπορούμε να δούμε ότι (2 theta ) τελειώνει στο τεταρτημόριο IV, αφού ( sin (2 theta) <0 ), ( cos (2 theta)> 0 ) και ( tan (2 theta) <0 ).

( PageIndex {1} )

Δεδομένου ( sin alpha = dfrac {5} {8} ), με ( theta ) να τερματίζει στο τεταρτημόριο I, βρείτε ( cos (2 alpha) ).

Απάντηση

( cos (2 alpha) = dfrac {7} {32} )

Παράδειγμα ( PageIndex {2} ): Χρήση του τύπου διπλής γωνίας για συνημίτονο χωρίς ακριβείς τιμές

Χρησιμοποιήστε τον τύπο διπλής γωνίας για το συνημίτονο για να γράψετε ( cos (6x) ) με όρους ( cos (3x) ).

Λύση

[ start {align *} cos (6x) & = cos (3x + 3x) & = cos 3x cos 3x- sin 3x sin 3x & = { cos} ^ 2 3x - { sin} ^ 2 3x end {align *} ]

Ανάλυση

Αυτό το παράδειγμα δείχνει ότι μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τον τύπο διπλής γωνίας χωρίς να έχουμε ακριβείς τιμές. Τονίζει ότι το μοτίβο είναι αυτό που πρέπει να θυμόμαστε και ότι οι ταυτότητες ισχύουν για όλες τις τιμές στον τομέα της τριγωνομετρικής συνάρτησης.

Χρήση τύπων διπλής γωνίας για επαλήθευση ταυτότητας

Ο καθορισμός ταυτοτήτων χρησιμοποιώντας τους τύπους διπλής γωνίας πραγματοποιείται χρησιμοποιώντας τα ίδια βήματα που χρησιμοποιήσαμε για να αντλήσουμε τους τύπους αθροίσματος και διαφοράς. Επιλέξτε την πιο περίπλοκη πλευρά της εξίσωσης και ξαναγράψτε την μέχρι να ταιριάζει με την άλλη πλευρά.

Παράδειγμα ( PageIndex {3} ): Χρήση των τύπων διπλής γωνίας για επαλήθευση ταυτότητας

Επαληθεύστε την ακόλουθη ταυτότητα χρησιμοποιώντας τύπους διπλής γωνίας: (1+ sin (2 theta) = ( sin theta + cos theta) ^ 2. Nonumber )

Λύση

Θα εργαστούμε στη δεξιά πλευρά του ίσου σημείου και θα ξαναγράψουμε την έκφραση έως ότου ταιριάζει με την αριστερή πλευρά.

[ start {align *} {( sin theta + cos theta)} ^ 2 & = { sin} ^ 2 theta + 2 sin theta cos theta + { cos} ^ 2 theta & = ({ sin} ^ 2 theta + { cos} ^ 2 theta) +2 sin theta cos theta & = 1 + 2 sin theta cos theta & = 1+ sin (2 theta) end {align *} ]

Ανάλυση

Αυτή η διαδικασία δεν είναι περίπλοκη, αρκεί να θυμόμαστε τον τέλειο τετραγωνικό τύπο από την άλγεβρα:

[{(a pm b)} ^ 2 = a ^ 2 pm 2ab + b ^ 2 nonumber ]

όπου (a = sin theta ) και (b = cos theta ). Μέρος της επιτυχίας στα μαθηματικά είναι η ικανότητα αναγνώρισης προτύπων. Ενώ οι όροι ή τα σύμβολα ενδέχεται να αλλάξουν, η άλγεβρα παραμένει συνεπής.

( PageIndex {2} )

Επαληθεύστε την ταυτότητα: ({ cos} ^ 4 theta - { sin} ^ 4 theta = cos (2 theta) ).

Απάντηση

({ cos} ^ 4 theta - { sin} ^ 4 theta = ({ cos} ^ 2 theta + { sin} ^ 2 theta) ({ cos} ^ 2 theta - { sin} ^ 2 theta) = (1) ({ cos} ^ 2 theta - { sin} ^ 2 theta) = cos (2 theta) )

Παράδειγμα ( PageIndex {4} ): Επαλήθευση ταυτότητας διπλής γωνίας για εφαπτομένη

Επαληθεύστε την ταυτότητα: ( tan (2 theta) = dfrac {2} { cot theta− tan theta} ).

Λύση

Σε αυτήν την περίπτωση, θα εργαστούμε με την αριστερή πλευρά της εξίσωσης (παρόλο που μπορεί να φαίνεται απλούστερη από τη δεξιά πλευρά) και να ξαναγράψουμε μέχρι να ισούται με τη δεξιά πλευρά της εξίσωσης.

[ start {align *} tan (2 theta) & = dfrac {2 tan theta} {1 - { tan} ^ 2 theta} qquad text {Τύπος διπλής γωνίας} & = dfrac {2 tan theta αριστερά ( dfrac {1} { tan theta} δεξιά)} {(1 - { tan} ^ 2 theta) αριστερά ( dfrac {1} { tan theta} δεξιά)} qquad text {Πολλαπλασιάστε τον αριθμητή και τον παρονομαστή με έναν παράγοντα που οδηγεί στον επιθυμητό αριθμητή} & = dfrac {2} { dfrac {1} { tan theta} - dfrac {{ tan} ^ 2 theta} { tan theta}} & = dfrac {2} { cot theta- tan theta} qquad text {Χρήση αμοιβαίας ταυτότητας για} dfrac {1} { tan theta} end {align *} ]

Ανάλυση

Εδώ είναι μια περίπτωση όπου η πιο περίπλοκη πλευρά της αρχικής εξίσωσης εμφανίστηκε στα δεξιά, αλλά επιλέξαμε να δουλέψουμε στην αριστερή πλευρά.

Όταν χρησιμοποιείτε τις ταυτότητες για να απλοποιήσετε μια τριγωνομετρική έκφραση ή να λύσετε μια τριγωνομετρική εξίσωση, υπάρχουν συνήθως πολλές διαδρομές προς ένα επιθυμητό αποτέλεσμα. Δεν υπάρχει καθορισμένος κανόνας για το ποια πλευρά πρέπει να χειριστεί, μόνο οδηγίες για το πώς να προχωρήσετε.

( PageIndex {3} )

Επαληθεύστε την ταυτότητα: ( cos (2 theta) cos theta = { cos} ^ 3 theta− cos theta { sin} ^ 2 theta ).

Απάντηση

( cos (2 theta) cos theta = ({ cos} ^ 2 theta - { sin} ^ 2 theta) cos theta = { cos} ^ 3 theta− cos θήτα { sin} ^ 2 theta )

Χρησιμοποιήστε τους τύπους μείωσης για να απλοποιήσετε μια έκφραση

Οι τύποι διπλής γωνίας μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την εξαγωγή του τύποι μείωσης, που είναι τύποι που μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε για να μειώσουμε τη δύναμη μιας δεδομένης έκφρασης που περιλαμβάνει ακόμη και τις δυνάμεις του ημιτονοειδούς ή του συνημίτονου. Μας επιτρέπουν να ξαναγράψουμε τις ομοιόμορφες δυνάμεις του ημιτονοειδούς ή συνημίτονου όσον αφορά την πρώτη δύναμη του συνημίτου. Αυτοί οι τύποι είναι ιδιαίτερα σημαντικοί στα μαθήματα μαθηματικών υψηλότερου επιπέδου, ειδικότερα στο λογισμό. Επίσης, ονομάζονται τύποι μείωσης ισχύος, περιλαμβάνονται τρεις ταυτότητες και προέρχονται εύκολα από τους τύπους διπλής γωνίας.

Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε δύο από τους τρεις τύπους διπλής γωνίας για συνημίτονο για να αντλήσουμε τους τύπους μείωσης για το ημίτονο και το συνημίτονο. Για τον πρώτο τύπο, ας ξεκινήσουμε με ( cos (2 theta) = 1−2 { sin} ^ 2 theta ). Λύστε για ({ sin} ^ 2 theta ):

[ start {align *} cos (2 theta) & = 1-2 { sin} ^ 2 theta [5pt] 2 { sin} ^ 2 theta & = 1- cos (2 theta) [5pt] { sin} ^ 2 theta & = dfrac {1- cos (2 theta)} {2} τέλος {align *} ]

Στη συνέχεια, χρησιμοποιούμε τον τύπο ( cos (2 theta) = 2 { cos} ^ 2 theta − 1 ). Λύστε για ({ cos} ^ 2 theta ):

[ start {align *} cos (2 theta) & = 2 { cos} ^ 2 theta-1 [5pt] 1+ cos (2 theta) & = 2 { cos} ^ 2 theta [5pt] dfrac {1+ cos (2 theta)} {2} & = { cos} ^ 2 theta end {align *} ]

Ο τελευταίος τύπος μείωσης προκύπτει γράφοντας εφαπτομένη σε όρους ημιτονοειδούς και συνημίτονου:

[ start {align *} tan ^ 2 theta & = frac { sin ^ 2 theta} { cos ^ 2 theta} [5pt] & = dfrac { dfrac {1- cos (2 theta)} {2}} { dfrac {1+ cos (2 theta)} {2}} qquad tag {Αντικαταστήστε τους τύπους μείωσης} [5pt] & = αριστερά ( dfrac {1- cos (2 theta)} {2} δεξιά) αριστερά ( dfrac {2} {1+ cos (2 theta)} δεξιά) [5pt] & = dfrac { 1- cos (2 theta)} {1+ cos (2 theta)} end {align *} ]

ΜΟΡΦΕΣ ΜΕΙΩΣΗΣ

Οι τύποι μείωσης συνοψίζονται ως εξής:

[{ sin} ^ 2 theta = dfrac {1− cos (2 theta)} {2} nonumber ]

[{ cos} ^ 2 theta = dfrac {1+ cos (2 theta)} {2} nonumber ]

[{ tan} ^ 2 theta = dfrac {1− cos (2 theta)} {1+ cos (2 theta)} nonumber ]

Παράδειγμα ( PageIndex {6} ): Χρήση των τύπων μείωσης ισχύος για την απόδειξη μιας ταυτότητας

Χρησιμοποιήστε τους τύπους μείωσης ισχύος για να αποδείξετε ({ sin} ^ 3 (2x) = αριστερά [ dfrac {1} {2} sin (2x) δεξιά] [1− cos (4x)] )

Λύση

Θα εργαστούμε για την επανεγγραφή της αριστεράς πλευράς της εξίσωσης:

[ start {align *} { sin} ^ 3 (2x) & = [ sin (2x)] [{ sin} ^ 2 (2x)] [5pt] & = sin (2x) αριστερά [ dfrac {1- cos (4x)} {2} δεξιά] qquad text {Αντικαταστήστε τον τύπο μείωσης ισχύος.} [5pt] & = sin (2x) left ( dfrac { 1} {2} δεξιά) [1- cos (4x)] [5pt] & = dfrac {1} {2} [ sin (2x)] [1- cos (4x)]. end {align *} ]

( PageIndex {4} )

Χρησιμοποιήστε τους τύπους μείωσης ισχύος για να αποδείξετε ότι (10 ​​{ cos} ^ 4 x = dfrac {15} {4} +5 cos (2x) + dfrac {5} {4} cos (4x) ).

Απάντηση

[ start {align *} 10 { cos} ^ 4 x & = 10 {({ cos} ^ 2x)} ^ 2 [5pt] & = 10 { αριστερά [ dfrac {1+ cos ( 2x)} {2} δεξιά]} ^ 2 qquad text {Τύπος μείωσης υποκατάστατων για} { cos} ^ 2x [5pt] & = dfrac {10} {4} [1 + 2 cos ( 2x) + { cos} ^ 2 (2x)] [5pt] & = dfrac {10} {4} + dfrac {10} {2} cos (2x) + dfrac {10} {4 } αριστερά ( dfrac {1 + { cos} (4x)} {2} δεξιά) qquad text {Τύπος μείωσης υποκατάστασης για} { cos} ^ 2 (2x) [5pt] & = dfrac {10} {4} + dfrac {10} {2} cos (2x) + dfrac {10} {8} + dfrac {10} {8} cos (4x) [5pt] & = dfrac {30} {8} +5 cos (2x) + dfrac {10} {8} cos (4x) [5pt] & = dfrac {15} {4} +5 cos ( 2x) + dfrac {5} {4} cos (4x) end {align *} ]

Χρήση τύπων μισής γωνίας για εύρεση ακριβών τιμών

Το επόμενο σύνολο ταυτοτήτων είναι το σύνολο τύποι μισής γωνίας, που μπορεί να προκύψει από τους τύπους μείωσης. Μπορούμε να τα χρησιμοποιήσουμε όταν έχουμε μια γωνία που είναι το ήμισυ του μεγέθους μιας ειδικής γωνίας. Αν αντικαταστήσουμε το ( theta ) με ( dfrac { alpha} {2} ), ο τύπος μισής γωνίας για το ημιτονοειδές εντοπίζεται απλοποιώντας την εξίσωση και λύνοντας το ( sin αριστερά ( dfrac { alpha} {2} δεξιά) ).

Ο τύπος μισής γωνίας για το ημιτονοειδές προκύπτει ως εξής:

[ start {align *} { sin} ^ 2 theta & = dfrac {1- cos (2 theta)} {2} [5pt] { sin} ^ 2 αριστερά ( dfrac { alpha} {2} δεξιά) & = dfrac {1- αριστερά ( cos 2 cdot dfrac { alpha} {2} δεξιά)} {2} [5pt] & = dfrac { 1- cos alpha} {2} [5pt] sin αριστερά ( dfrac { alpha} {2} δεξιά) & = pm sqrt { dfrac {1- cos alpha} { 2}}. end {align *} ]

Σημειώστε ότι προηγούνται οι τύποι μισής γωνίας με ένα σύμβολο ( pm ). Αυτό δεν σημαίνει ότι οι θετικές και αρνητικές εκφράσεις είναι έγκυρες. Αντίθετα, εξαρτάται από το τεταρτημόριο στο οποίο ( dfrac { alpha} {2} ) τερματίζει.

Για να αντλήσουμε τον τύπο μισής γωνίας για το συνημίτονο, έχουμε

[ start {align *} { cos} ^ 2 theta & = dfrac {1+ cos (2 theta)} {2} [5pt] { cos} ^ 2 αριστερά ( dfrac { alpha} {2} δεξιά) & = dfrac {1+ cos αριστερά (2 cdot dfrac { alpha} {2} δεξιά)} {2} [5pt] & = dfrac { 1+ cos alpha} {2} [5pt] cos αριστερά ( dfrac { pi} {2} δεξιά) & = pm sqrt { dfrac {1+ cos alpha} { 2}} end {align *} ]

Για την εφαπτομένη ταυτότητα, έχουμε

[ start {align *} { tan} ^ 2 theta & = dfrac {1- cos (2 theta)} {1+ cos (2 theta)} [5pt] { tan} ^ 2 αριστερά ( dfrac { alpha} {2} δεξιά) & = dfrac {1- cos αριστερά (2 cdot dfrac { alpha} {2} δεξιά)} {1+ cos αριστερά (2 cdot dfrac { alpha} {2} δεξιά)} [5pt] tan αριστερά ( dfrac { alpha} {2} δεξιά) & = pm sqrt { dfrac {1- cos alpha} {1+ cos alpha}} τέλος {align *} ]

ΦΟΡΜΟΥΛΑ ΜΑΛΛΙΟΥ

ο τύποι μισής γωνίας έχουν ως εξής:

[ start {align *} sin left ( dfrac { alpha} {2} right) & = pm sqrt { dfrac {1- cos alpha} {2}} label {halfsine } [5pt] cos αριστερά ( dfrac { alpha} {2} δεξιά) & = pm sqrt { dfrac {1+ cos alpha} {2}} [5pt] tan αριστερά ( dfrac { alpha} {2} δεξιά) & = pm sqrt { dfrac {1- cos alpha} {1+ cos alpha}} = pm dfrac { sin alpha} {1+ cos alpha} = pm dfrac {1- cos alpha} { sin alpha} end {align *} ]

Εξαγάγετε προσεκτικά τις δύο τελευταίες εκδόσεις του εφαπτόμενου τύπου μισής γωνίας και παραδώστε τον στον εκπαιδευτή σας για επιπλέον πίστωση.

Λαμβάνοντας υπόψη την εφαπτομένη μιας γωνίας και το τεταρτημόριο στο οποίο τελειώνει η γωνία, βρείτε ακριβείς τιμές τριγωνομετρικών συναρτήσεων του μισού της γωνίας

  1. Σχεδιάστε ένα τρίγωνο για να αντιπροσωπεύσετε τις δεδομένες πληροφορίες.
  2. Προσδιορίστε τον σωστό τύπο μισής γωνίας.
  3. Αντικαταστήστε τις τιμές στον τύπο με βάση το τρίγωνο.
  4. Απλοποιώ.
  5. Καθορίστε σε ποιο τεταρτημόριο τελειώνει η μισή γωνία, για να επιλέξετε το σωστό σύμβολο.

Παράδειγμα ( PageIndex {8} ): Εύρεση ακριβών τιμών χρησιμοποιώντας ταυτότητες μισής γωνίας

Δεδομένου ότι ( tan beta = dfrac {8} {15} ) και ( beta ) βρίσκεται στο τεταρτημόριο III, βρείτε την ακριβή τιμή των παρακάτω:

  1. ( sin αριστερά ( dfrac { beta} {2} δεξιά) )
  2. ( cos αριστερά ( dfrac { beta} {2} δεξιά) )
  3. ( tan αριστερά ( dfrac { beta} {2} δεξιά) )

Λύση

Χρησιμοποιώντας τις δεδομένες πληροφορίες, μπορούμε να σχεδιάσουμε το τρίγωνο που φαίνεται στο σχήμα ( PageIndex {3} ), με γωνία αναφοράς ( alpha ). Χρησιμοποιώντας το Πυθαγόρειο Θεώρημα, βρίσκουμε ότι η υποτείνουσα είναι 17. Επομένως, μπορούμε να υπολογίσουμε ( sin beta = sin alpha = - dfrac {8} {17} ) και ( cos beta = sin alpha = - dfrac {15} {17} ).

Εικόνα ( PageIndex {3} )

  1. Πριν ξεκινήσουμε, πρέπει να θυμόμαστε ότι εάν το ( beta ) βρίσκεται στο τεταρτημόριο III, τότε (180 ° < beta <270 ° ), έτσι ( dfrac {180 °} {2} < dfrac { beta} {2} < dfrac {270 °} {2} ). Αυτό σημαίνει ότι η τερματική πλευρά του ( dfrac { beta} {2} ) βρίσκεται στο τεταρτημόριο II, αφού (90 ° < dfrac { beta} {2} <135 ° ). Για να βρείτε το ( sin dfrac { beta} {2} ), ξεκινάμε γράφοντας τον τύπο μισής γωνίας για το ημίτονο. Στη συνέχεια, αντικαθιστούμε την τιμή του συνημίτοπου που βρήκαμε από το τρίγωνο στο Σχήμα ( PageIndex {3} ) και απλοποιούμε. [ start {align *} sin dfrac { beta} {2} & = pm sqrt { dfrac {1- cos beta} {2}} & = pm sqrt { dfrac {1 - (- dfrac {15} {17})} {2}} & = pm sqrt { dfrac { dfrac {32} {17}} {2}} & = pm sqrt { dfrac {32} {17} cdot dfrac {1} {2}} & = pm sqrt { dfrac {16} {17}} & = pm dfrac { 4} { sqrt {17}} & = dfrac {4 sqrt {17}} {17} end {align *} ] Επιλέγουμε τη θετική τιμή του ( sin dfrac { beta} {2} ) επειδή η γωνία καταλήγει στο τεταρτημόριο II και το ημίτονο είναι θετικό στο τεταρτημόριο II.
  2. Για να βρούμε ( cos dfrac { beta} {2} ), θα γράψουμε τον τύπο μισής γωνίας για το συνημίτονο, υποκαθιστώντας την τιμή του συνημίτου που βρήκαμε από το τρίγωνο στο σχήμα ( PageIndex {3} και απλοποιήστε. [ start {align *} cos dfrac { beta} {2} & = pm sqrt { dfrac {1+ cos beta} {2}} & = pm sqrt { dfrac {1+ αριστερά (- dfrac {15} {17} δεξιά)} {2}} & = pm sqrt { dfrac { dfrac {2} {17}} {2}} & = pm sqrt { dfrac {2} {17} cdot dfrac {1} {2}} & = pm sqrt { dfrac {1} {17}} & = - dfrac { sqrt {17}} {17} end {align *} ] Επιλέγουμε την αρνητική τιμή του ( cos dfrac { beta} {2} ) επειδή η γωνία είναι στο τεταρτημόριο II και το συνημίτονο είναι αρνητικό στο τεταρτημόριο II.
  3. Για να βρούμε το ( tan dfrac { beta} {2} ), γράφουμε τον τύπο μισής γωνίας για εφαπτομένη. Και πάλι, αντικαθιστούμε την τιμή του συνημίτοπου που βρήκαμε από το τρίγωνο στο Σχήμα ( PageIndex {3} ) και απλοποιούμε. [ start {align *} tan dfrac { beta} {2} & = pm sqrt { dfrac {1- cos alpha} {1+ cos alpha}} & = pm sqrt { dfrac {1- αριστερά (- dfrac {15} {17} δεξιά)} {1+ αριστερά (- dfrac {15} {17} δεξιά)}} & = pm sqrt { dfrac { dfrac {32} {17}} { dfrac {2} {17}}} & = pm sqrt { dfrac {32} {2}} & = - sqrt {16} & = -4 end {align *} ] Επιλέγουμε την αρνητική τιμή του ( tan dfrac { beta} {2} ) επειδή ( dfrac { beta} { 2} ) βρίσκεται στο τεταρτημόριο II και η εφαπτομένη είναι αρνητική στο τεταρτημόριο II.

( PageIndex {5} )

Δεδομένου ότι ( sin alpha = - dfrac {4} {5} ) και ( alpha ) τελειώνει στο τεταρτημόριο IV, βρείτε την ακριβή τιμή του ( cos αριστερά ( dfrac { alpha} {2} δεξιά) ).

Απάντηση

(- dfrac {2} { sqrt {5}} )

Παράδειγμα ( PageIndex {9} ): Εύρεση της μέτρησης μισής γωνίας

Τώρα, θα επιστρέψουμε στο πρόβλημα που τέθηκε στην αρχή της ενότητας. Μια ράμπα ποδηλάτου είναι κατασκευασμένη για ανταγωνισμό υψηλού επιπέδου με γωνία (θ ) που σχηματίζεται από τη ράμπα και το έδαφος. Μια άλλη ράμπα πρόκειται να κατασκευαστεί κατά το ήμισυ ως απότομη για διαγωνισμό αρχαρίων. Εάν (tan θ = frac {5} {3} ) για διαγωνισμό υψηλότερου επιπέδου, ποια είναι η μέτρηση της γωνίας για διαγωνισμό αρχάριου;

Λύση

Δεδομένου ότι η γωνία του διαγωνισμού για αρχάριους μετρά τη μισή απόκλιση της γωνίας για τον ανταγωνισμό υψηλού επιπέδου και ( tan theta = dfrac {5} {3} ) για τον υψηλό ανταγωνισμό, μπορούμε να βρούμε ( cos theta ) από το δεξί τρίγωνο και το Πυθαγόρειο θεώρημα, ώστε να μπορούμε να χρησιμοποιούμε τις ταυτότητες μισής γωνίας. Βλέπε σχήμα ( PageIndex {4} ).

[ start {align *} 3 ^ 2 + 5 ^ 2 & = 34 c & = sqrt {34} end {align *} ]

Εικόνα ( PageIndex {4} )

Βλέπουμε ότι ( cos theta = dfrac {3} { sqrt {34}} = dfrac {3 sqrt {34}} {34} ). Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τον τύπο μισής γωνίας για εφαπτομένη: ( tan αριστερά ( dfrac { theta} {2} δεξιά) = sqrt { dfrac {1− cos theta} {1+ cos θήτα}}). Επειδή το ( tan theta ) βρίσκεται στο πρώτο τεταρτημόριο, έτσι είναι ( tan αριστερά ( dfrac { theta} {2} δεξιά) ).

[ έναρξη {align *}
tan αριστερά ( dfrac { theta} {2} δεξιά) & = sqrt { dfrac {1- dfrac {3 sqrt {34}} {34}} {1+ dfrac {3 sqrt {34}} {34}}}
& = sqrt { dfrac { dfrac {34-3 sqrt {34}} {34}} { dfrac {34 + 3 sqrt {34}} {34}}}
& = sqrt { dfrac {34-3 sqrt {34}} {34 + 3 sqrt {34}}}
& περίπου 0,57
end {align *} ]

Μπορούμε να πάρουμε την αντίστροφη εφαπτομένη για να βρούμε τη γωνία: ({ tan} ^ {- 1} (0,57) ≈29,7 ° ). Έτσι, η γωνία της ράμπας για διαγωνισμό αρχάριων είναι (≈29,7 ° ).

Αυτό το πρόβλημα επιλύθηκε χρησιμοποιώντας έναν τύπο μισής γωνίας, καθώς αυτό είναι το θέμα. Υπάρχει όμως ένας ευκολότερος τρόπος επίλυσης του προβλήματος. Εάν μπορείτε να το καταλάβετε, γράψτε το με σαφήνεια και δώστε το στον εκπαιδευτή σας για Επιπλέον πίστωση.

Βασικές εξισώσεις

Τύποι διπλής γωνίας

( sin (2 theta) = 2 sin theta cos theta )

( cos (2 theta) = { cos} ^ 2 theta - { sin} ^ 2 theta )

(= 1−2 { sin} ^ 2 theta )

(= 2 { cos} ^ 2 theta − 1 )

( tan (2 theta) = dfrac {2 tan theta} {1 - { tan} ^ 2 theta} )

Τύποι μείωσης

({ sin} ^ 2 theta = dfrac {1− cos (2 theta)} {2} )

({ cos} ^ 2 theta = dfrac {1+ cos (2 theta)} {2} )

({ tan} ^ 2 theta = dfrac {1− cos (2 theta)} {1+ cos (2 theta)} )

Τύποι μισής γωνίας

( sin dfrac { alpha} {2} = pm sqrt { dfrac {1− cos alpha} {2}} )

( cos dfrac { alpha} {2} = pm sqrt { dfrac {1+ cos alpha} {2}} )

( tan dfrac { alpha} {2} = pm sqrt { dfrac {1− cos alpha} {1+ cos alpha}} )

(= pm dfrac { sin alpha} {1+ cos alpha} )

(= pm dfrac {1− cos alpha} { sin alpha} )

Βασικές έννοιες

  • Οι ταυτότητες διπλής γωνίας προέρχονται από τους αθροιστικούς τύπους των θεμελιωδών τριγωνομετρικών συναρτήσεων: ημίτονο, συνημίτονο και εφαπτομένη. Δείτε το Παράδειγμα ( PageIndex {1} ), Παράδειγμα ( PageIndex {2} ), Παράδειγμα ( PageIndex {3} ) και Παράδειγμα ( PageIndex {4} ).
  • Οι τύποι μείωσης είναι ιδιαίτερα χρήσιμοι στον λογισμό, καθώς μας επιτρέπουν να μειώσουμε τη δύναμη του τριγωνομετρικού όρου. Δείτε το Παράδειγμα ( PageIndex {5} ) και το Παράδειγμα ( PageIndex {6} ).
  • Οι τύποι μισής γωνίας μας επιτρέπουν να βρούμε την τιμή των τριγωνομετρικών συναρτήσεων που περιλαμβάνουν μισές γωνίες, είτε η αρχική γωνία είναι γνωστή είτε όχι. Δείτε το Παράδειγμα ( PageIndex {7} ), Παράδειγμα ( PageIndex {8} ) και Παράδειγμα ( PageIndex {9} ).

1. Χρησιμοποιήστε τις Πυθαγόρειες ταυτότητες και απομονώστε τον τετραγωνικό όρο.

3. [λατέξ] frac <1- cos x> < sin x>, frac < sin x> <1+ cos x> [/ λατέξ], πολλαπλασιάζοντας το πάνω και το κάτω με το [λατέξ] sqrt <1- cos x> [/ latex] και [latex] sqrt <1+ cos x> [/ latex], αντίστοιχα.

7. α) [λατέξ] frac < sqrt <3>> <2> [/ λατέξ] β) [λατέξ] - frac <1> <2> [/ λατέξ] γ) [λατέξ] - sqrt < 3> [/ λατέξ]

9. [λατέξ] cos theta = - frac <2 sqrt <5>> <5>, sin theta = frac < sqrt <5>> <5>, tan theta = - frac <1> <2>, csc theta = sqrt <5>, sec theta = - frac < sqrt <5>> <2>, cot theta = -2 [/ λατέξ]

11. [λατέξ] 2 sin αριστερά ( frac < pi> <2> δεξιά) [/ λατέξ]

31. [λατέξ] cos αριστερά (18x δεξιά) [/ λατέξ]

33. [λατέξ] 3 sin αριστερά (10x δεξιά) [/ λατέξ]

35. [λατέξ] -2 sin αριστερά (-x δεξιά) cos αριστερά (-x δεξιά) = - 2 αριστερά (- sin αριστερά (x δεξιά) cos αριστερά (x δεξιά) δεξιά) = sin αριστερά (2x δεξιά) [/ λατέξ]

59. [λατέξ] έναρξη sin αριστερά (x + 2x δεξιά) = sin x cos αριστερά (2x δεξιά) + sin αριστερά (2x δεξιά) cos x hfill = sin x αριστερά (< cos> ^ <2> x - < sin> ^ <2> x δεξιά) +2 sin x cos x cos x hfill = sin x < cos> ^ <2> x- < sin> ^ <3> x + 2 sin x < cos> ^ <2> x hfill = 3 sin x < cos> ^ <2> x - < sin> ^ <3> x hfill τέλος[/κόμμι]

63. [λατέξ] έναρξη αριστερά (< cos> ^ <2> αριστερά (4x δεξιά) - < sin> ^ <2> αριστερά (4x δεξιά) - sin αριστερά (8x δεξιά) δεξιά) αριστερά ( < cos> ^ <2> αριστερά (4x δεξιά) - < sin> ^ <2> αριστερά (4x δεξιά) + sin αριστερά (8x δεξιά) δεξιά) = hfill κείμενο <> = αριστερά ( cos αριστερά (8x δεξιά) - sin αριστερά (8x δεξιά) δεξιά) αριστερά ( cos αριστερά (8x δεξιά) + sin αριστερά (8x δεξιά ) δεξιά) hfill text <> = < cos> ^ <2> αριστερά (8x δεξιά) - < sin> ^ <2> αριστερά (8x δεξιά) hfill κείμενο <> = cos αριστερά (16x δεξιά) hfill hfill end[/κόμμι]


Βασικοί όροι

Ως συνεργάτης της Amazon κερδίζουμε από αγορές που πληρούν τις προϋποθέσεις.

Θέλετε να παραθέσετε, να μοιραστείτε ή να τροποποιήσετε αυτό το βιβλίο; Αυτό το βιβλίο είναι Creative Commons Attribution License 4.0 και πρέπει να αποδώσετε το OpenStax.

    Εάν αναδιανέμετε όλο ή μέρος αυτού του βιβλίου σε έντυπη μορφή, τότε πρέπει να συμπεριλάβετε σε κάθε φυσική σελίδα την ακόλουθη απόδοση:

  • Χρησιμοποιήστε τις παρακάτω πληροφορίες για να δημιουργήσετε μια αναφορά. Σας συνιστούμε να χρησιμοποιήσετε ένα εργαλείο παραπομπής όπως αυτό.
    • Συγγραφείς: Jay Abramson
    • Εκδότης / ιστότοπος: OpenStax
    • Τίτλος βιβλίου: Precalculus
    • Ημερομηνία δημοσίευσης: 23 Οκτωβρίου 2014
    • Τοποθεσία: Χιούστον, Τέξας
    • URL βιβλίου: https://openstax.org/books/precalculus/pages/1-introduction-to-functions
    • Διεύθυνση URL ενότητας: https://openstax.org/books/precalculus/pages/7-key-terms

    © 21 Ιανουαρίου 2021 OpenStax. Το περιεχόμενο του εγχειριδίου που παράγεται από το OpenStax διαθέτει άδεια χρήσης Creative Commons Attribution License 4.0. Το όνομα OpenStax, το λογότυπο OpenStax, τα εξώφυλλα βιβλίων OpenStax, το όνομα OpenStax CNX και το λογότυπο OpenStax CNX δεν υπόκεινται στην άδεια Creative Commons και δεν μπορούν να αναπαραχθούν χωρίς την προηγούμενη και ρητή γραπτή συγκατάθεση του Πανεπιστημίου Rice.


    8.4: Τύποι διπλής γωνίας, μισής γωνίας και μείωσης

    Σε αυτήν την ενότητα θα εξετάσουμε αρκετά ολοκληρωμένα στοιχεία που περιλαμβάνουν συναρτήσεις trig και μερικές από τις τεχνικές που μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε για να μας βοηθήσουν να τις αξιολογήσουμε. Ας ξεκινήσουμε με ένα ακέραιο που πρέπει ήδη να μπορούμε να κάνουμε.

    Αυτό το ακέραιο είναι εύκολο να γίνει με μια υποκατάσταση επειδή η παρουσία του συνημίτονου, ωστόσο, τι γίνεται με το ακόλουθο ακέραιο.

    Αυτό το ακέραιο δεν έχει πλέον το συνημίτονο που θα μας επέτρεπε να χρησιμοποιήσουμε την υποκατάσταση που χρησιμοποιήσαμε παραπάνω. Επομένως, αυτή η αντικατάσταση δεν θα λειτουργήσει και θα πρέπει να βρούμε έναν άλλο τρόπο για να το κάνουμε αυτό ολοκληρωμένο.

    Ας παρατηρήσουμε πρώτα ότι θα μπορούσαμε να γράψουμε το ακέραιο ως εξής,

    Τώρα θυμηθείτε την ταυτότητα trig,

    Με αυτήν την ταυτότητα το ακέραιο μπορεί να γραφτεί ως,

    και μπορούμε τώρα να χρησιμοποιήσουμε την υποκατάσταση (u = cos x ). Κάνοντας αυτό μας δίνει,

    Έτσι, με λίγη επανεγγραφή στην ολοκλήρωση καταφέραμε να το μειώσουμε σε μια αρκετά απλή αντικατάσταση.

    Παρατηρήστε ότι καταφέραμε να κάνουμε την επανεγγραφή που κάναμε στο προηγούμενο παράδειγμα επειδή ο εκθέτης στο ημιτονοειδές ήταν περίεργος. Σε αυτές τις περιπτώσεις, το μόνο που πρέπει να κάνουμε είναι να αφαιρέσουμε ένα από τα ημίτονα. Ο εκθέτης των εναπομείναντων ημιτόνων θα είναι τότε ομοιόμορφος και μπορούμε εύκολα να μετατρέψουμε τα υπόλοιπα ημίτονα σε συνημίτονα χρησιμοποιώντας την ταυτότητα,

    Εάν ο εκθέτης στα ημιτόνια ήταν ακόμη, αυτό θα ήταν δύσκολο να γίνει. Θα μπορούσαμε να βγάλουμε ένα ημιτονοειδές, αλλά τα υπόλοιπα ημίτονα θα είχαν τότε ένα περίεργο εκθετικό και ενώ θα μπορούσαμε να τα μετατρέψουμε σε συνημίτονα, το ακέραιο που προκύπτει θα ήταν συχνά ακόμη πιο δύσκολο από το αρχικό ακέραιο στις περισσότερες περιπτώσεις.

    Ας ρίξουμε μια ματιά σε ένα άλλο παράδειγμα.

    Έτσι, σε αυτήν την περίπτωση έχουμε το ημίτονο και το συνημίτονο στο πρόβλημα και σε αυτήν την περίπτωση ο εκθέτης στο ημίτονο είναι ακόμη και ενώ ο εκθέτης στο συνημίτονο είναι περίεργος. Έτσι, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε μια παρόμοια τεχνική σε αυτό το ακέραιο. Αυτή τη φορά θα βγάλουμε ένα συνημίτονο και θα μετατρέψουμε τα υπόλοιπα σε ημίτονα.

    Σε αυτό το σημείο ας σταματήσουμε για ένα δευτερόλεπτο για να συνοψίσουμε τι έχουμε μάθει μέχρι τώρα για την ενσωμάτωση δυνάμεων του ημιτονοειδούς και του συνημίτονου.

    Σε αυτό το ακέραιο, εάν ο εκθέτης στα ημίτονα ( (n )) είναι περίεργος, μπορούμε να βγάλουμε ένα ημίτονο, να μετατρέψουμε τα υπόλοιπα σε συνημίτονα χρησιμοποιώντας ) και μετά χρησιμοποιήστε την υποκατάσταση (u = cos x ). Ομοίως, εάν ο εκθέτης στα συνημίνια ( (m )) είναι περίεργος, μπορούμε να αφαιρέσουμε ένα συνημίτονο και να μετατρέψουμε τα υπόλοιπα σε ημιτόνια και να χρησιμοποιήσουμε την υποκατάσταση (u = sin x ).

    Φυσικά, εάν και οι δύο εκθέτες είναι περίεργοι, τότε μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε οποιαδήποτε από τις δύο μεθόδους. Ωστόσο, σε αυτές τις περιπτώσεις είναι συνήθως πιο εύκολο να μετατρέψετε τον όρο με τον μικρότερο εκθέτη.

    Η μία περίπτωση που δεν έχουμε εξετάσει είναι τι θα συμβεί αν και οι δύο εκθέτες είναι ομοιόμορφοι; Σε αυτήν την περίπτωση, η τεχνική που χρησιμοποιήσαμε στα πρώτα δύο παραδείγματα απλά δεν θα λειτουργήσει και στην πραγματικότητα δεν υπάρχει καμία καθορισμένη μέθοδος για την πραγματοποίηση αυτών των ολοκληρώσεων. Κάθε ολοκλήρωση είναι διαφορετική και σε ορισμένες περιπτώσεις θα υπάρχουν περισσότεροι από ένας τρόποι για να γίνει το ολοκληρωμένο.

    Με αυτά τα περισσότερα, αν όχι όλα, ολοκληρώματα που περιλαμβάνουν προϊόντα ημιτονοειδών και συνημίτων στα οποία και οι δύο εκθέτες μπορούν ακόμη και να γίνουν χρησιμοποιώντας έναν ή περισσότερους από τους ακόλουθους τύπους για να ξαναγράψουμε την ολοκλήρωση.

    Οι δύο πρώτοι τύποι είναι ο τυπικός τύπος μισής γωνίας από μια κλάση trig γραμμένη σε μια μορφή που θα είναι πιο βολικό για εμάς να το χρησιμοποιήσουμε. Η τελευταία είναι η τυπική φόρμουλα διπλής γωνίας για ημιτονοειδές, και πάλι με μια μικρή επανεγγραφή.

    Ας ρίξουμε μια ματιά σε ένα παράδειγμα.

    Όπως προαναφέρθηκε, υπάρχουν συχνά περισσότεροι από ένας τρόποι για να κάνετε ολοκληρώματα στα οποία και οι δύο εκθέτες είναι ομοιόμορφοι. Αυτό το ακέραιο είναι ένα παράδειγμα αυτού. Υπάρχουν τουλάχιστον δύο τεχνικές λύσης για αυτό το πρόβλημα. Θα κάνουμε και τις δύο λύσεις ξεκινώντας από το πιθανότατα το μεγαλύτερο από τα δύο, αλλά είναι και αυτή που πολλοί άνθρωποι βλέπουν πρώτα.

    Λύση 1
    Σε αυτήν τη λύση θα χρησιμοποιήσουμε τους δύο τύπους μισής γωνίας παραπάνω και θα τους αντικαταστήσουμε στο ακέραιο.

    Επομένως, έχουμε ακόμα ένα ακέραιο που δεν μπορεί να γίνει πλήρως, ωστόσο, παρατηρήσαμε ότι καταφέραμε να μειώσουμε το ακέραιο σε έναν μόνο όρο που προκαλεί προβλήματα (ένα συνημίτονο με μια ομοιόμορφη δύναμη) και όχι δύο όρους που προκαλούν προβλήματα.

    Στην πραγματικότητα, για να εξαλείψουμε τον υπόλοιπο όρο προβλήματος, το μόνο που πρέπει να κάνουμε είναι να επαναχρησιμοποιήσουμε τον πρώτο μισό τύπο γωνίας που δίνεται παραπάνω.

    Έτσι, αυτή η λύση απαιτούσε συνολικά τρεις ταυτότητες trig.

    Λύση 2
    Σε αυτήν τη λύση θα χρησιμοποιήσουμε τον τύπο μισής γωνίας για να απλοποιήσουμε την ολοκλήρωση ως εξής.

    Τώρα, χρησιμοποιούμε τον τύπο διπλής γωνίας για το ημιτονοειδές για να μειωθεί σε ένα ακέραιο που μπορούμε να κάνουμε.

    Αυτή η μέθοδος απαιτούσε μόνο δύο ταυτότητες trig για να ολοκληρωθεί.

    Παρατηρήστε ότι η διαφορά μεταξύ αυτών των δύο μεθόδων είναι περισσότερο μια «ακατάστατη». Η δεύτερη μέθοδος δεν είναι αισθητά ευκολότερη (εκτός από την ανάγκη μιας ταυτότητας λιγότερο trig) δεν είναι τόσο ακατάστατη και συχνά μεταφράζεται σε μια «ευκολότερη» διαδικασία.

    Στο προηγούμενο παράδειγμα είδαμε δύο διαφορετικές μεθόδους λύσης που έδωσαν την ίδια απάντηση. Σημειώστε ότι αυτό δεν θα συμβεί πάντα. Στην πραγματικότητα, τις περισσότερες φορές θα λάβουμε διαφορετικές απαντήσεις. Ωστόσο, όπως συζητήσαμε στην ενότητα Ενσωμάτωση κατά τμήματα, οι δύο απαντήσεις θα διαφέρουν όχι περισσότερο από μια σταθερά.

    Σε γενικές γραμμές, όταν έχουμε προϊόντα ημιτονοειδών και συνημίτων στα οποία και οι δύο εκθέτες είναι ομοιόμορφοι, θα πρέπει να χρησιμοποιήσουμε μια σειρά τύπων μισής γωνίας ή / και διπλής γωνίας για να μειώσουμε την ολοκλήρωση σε μια μορφή που μπορούμε να ενσωματώσουμε. Επίσης, όσο μεγαλύτεροι είναι οι εκθέτες, τόσο περισσότερο θα χρειαζόμαστε να χρησιμοποιήσουμε αυτούς τους τύπους και, ως εκ τούτου, το πρόβλημα θα είναι πιο ασταθές.

    Μερικές φορές, στη διαδικασία μείωσης ολοκληρωμάτων, όπου και οι δύο εκθέτες είναι ομοιόμορφοι, θα τρέξουμε προϊόντα ημιτονοειδούς και συνημίτοπου στα οποία τα επιχειρήματα είναι διαφορετικά. Αυτά θα απαιτήσουν έναν από τους παρακάτω τύπους για να μειώσουν τα προϊόντα σε ολοκληρωμένες δυνατότητες που μπορούμε να κάνουμε.

    Ας ρίξουμε μια ματιά σε ένα παράδειγμα ενός τέτοιου είδους ολοκληρωμάτων.

    Αυτό το ακέραιο απαιτεί τον τελευταίο τύπο που αναφέρεται παραπάνω.

    Εντάξει, σε αυτό το σημείο έχουμε καλύψει σχεδόν όλες τις πιθανές περιπτώσεις που αφορούν προϊόντα ημίτοων και συνημίτων. Ήρθε η ώρα να εξετάσουμε τα ολοκληρωμένα στοιχεία που περιλαμβάνουν προϊόντα στεγανών και εφαπτομένων.

    Αυτή τη φορά, ας κάνουμε μια μικρή ανάλυση των δυνατοτήτων προτού να ρίξουμε απλά σε παραδείγματα. Η γενική ολοκλήρωση θα είναι,

    Το πρώτο πράγμα που πρέπει να παρατηρήσετε είναι ότι μπορούμε εύκολα να μετατρέψουμε ακόμη και τις δυνάμεις των εσοχών σε εφαπτομενικές και ακόμη και τις δυνάμεις των εφαπτομένων σε εσοχές χρησιμοποιώντας έναν τύπο παρόμοιο με ( eqref). Στην πραγματικότητα, ο τύπος μπορεί να προέλθει από το ( eqrefας το κάνουμε αυτό.

    Τώρα, θα θέλουμε να αντιμετωπίσουμε το ( eqrefΠαρομοίως με τον τρόπο με τον οποίο χειριστήκαμε ( eqref). Θα θέλαμε τελικά να χρησιμοποιήσουμε μία από τις ακόλουθες αντικαταστάσεις.

    [να αρχίσειu & = tan x & hspace <0.5in> du & = < sec ^ 2> x , dx u & = sec x & hspace <0.5in> du & = sec x tan x , dx τέλος]

    Επομένως, εάν χρησιμοποιήσουμε την υποκατάσταση (u = tan x ), θα χρειαστούν δύο δευτερεύοντα κομμάτια για να λειτουργήσει η αντικατάσταση. Αυτό σημαίνει ότι εάν ο εκθέτης στο τμήμα ασφαλείας ( (n )) είναι ομοιόμορφος, μπορούμε να αφαιρέσουμε δύο και στη συνέχεια να μετατρέψουμε τα υπόλοιπα κομμάτια σε εφαπτομενικά χρησιμοποιώντας ( eqref).

    Στη συνέχεια, εάν θέλουμε να χρησιμοποιήσουμε την υποκατάσταση (u = sec x ) θα χρειαστούμε ένα δευτερόλεπτο και ένα εφαπτόμενο για να χρησιμοποιήσουμε την αντικατάσταση. Αυτό σημαίνει ότι εάν ο εκθέτης στην εφαπτομένη ( (m )) είναι περίεργος και έχουμε τουλάχιστον ένα απόσπασμα στην ολοκλήρωση, μπορούμε να αφαιρέσουμε μία από τις εφαπτόμενες μαζί με έναν από τους ασφαλιστές. Στη συνέχεια, η εφαπτομένη θα έχει έναν ομοιόμορφο εκθέτη και έτσι μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το ( eqref) για να μετατρέψετε τις υπόλοιπες εφαπτομενικές εσοχές. Λάβετε υπόψη ότι αυτή η μέθοδος απαιτεί να έχουμε τουλάχιστον ένα απόσπασμα στο ολοκληρωμένο. Αν δεν υπάρχουν κομμάτια, θα πρέπει να κάνουμε κάτι διαφορετικό.

    Εάν ο εκθέτης στη στεφάνη είναι ομοιόμορφος και ο εκθέτης στην εφαπτομένη είναι περίεργος, τότε μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε οποιαδήποτε περίπτωση. Και πάλι, θα είναι ευκολότερο να μετατρέψετε τον όρο με τον μικρότερο εκθέτη.

    Ας ρίξουμε μια ματιά σε μερικά παραδείγματα.

    Πρώτο σημείωμα ότι, επειδή ο εκθέτης στο κομμάτι δεν είναι καν δεν μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την υποκατάσταση (u = tan x ). However, the exponent on the tangent is odd and we’ve got a secant in the integral and so we will be able to use the substitution (u = sec x). This means stripping out a single tangent (along with a secant) and converting the remaining tangents to secants using (eqref).

    Here’s the work for this integral.

    So, in this example the exponent on the tangent is even so the substitution (u = sec x) won’t work. The exponent on the secant is even and so we can use the substitution (u = an x) for this integral. That means that we need to strip out two secants and convert the rest to tangents. Here is the work for this integral.

    Both of the previous examples fit very nicely into the patterns discussed above and so were not all that difficult to work. However, there are a couple of exceptions to the patterns above and in these cases there is no single method that will work for every problem. Each integral will be different and may require different solution methods in order to evaluate the integral.

    Let’s first take a look at a couple of integrals that have odd exponents on the tangents, but no secants. In these cases we can’t use the substitution (u = sec x)since it requires there to be at least one secant in the integral.

    To do this integral all we need to do is recall the definition of tangent in terms of sine and cosine and then this integral is nothing more than a Calculus I substitution.

    We went a step or two further with some simplification. The simplification was done solely to eliminate the minus sign that was in front of the logarithm. This does not have to be done in general, but it is always easy to lose minus signs and in this case it was easy to eliminate it without introducing any real complexity to the answer and so we did.

    The trick to this one is do the following manipulation of the integrand.

    We can now use the substitution (u = an x) on the first integral and the results from the previous example on the second integral.

    Note that all odd powers of tangent (with the exception of the first power) can be integrated using the same method we used in the previous example. For instance,

    So, a quick substitution ((u = an x)) will give us the first integral and the second integral will always be the previous odd power.

    Now let’s take a look at a couple of examples in which the exponent on the secant is odd and the exponent on the tangent is even. In these cases the substitutions used above won’t work.

    It should also be noted that both of the following two integrals are integrals that we’ll be seeing on occasion in later sections of this chapter and in later chapters. Because of this it wouldn’t be a bad idea to make a note of these results so you’ll have them ready when you need them later.

    This one isn’t too bad once you see what you’ve got to do. By itself the integral can’t be done. However, if we manipulate the integrand as follows we can do it.

    In this form we can do the integral using the substitution (u = sec x + an x). Doing this gives,

    The idea used in the above example is a nice idea to keep in mind. Multiplying the numerator and denominator of a term by the same term above can, on occasion, put the integral into a form that can be integrated. Note that this method won’t always work and even when it does it won’t always be clear what you need to multiply the numerator and denominator by. However, when it does work and you can figure out what term you need it can greatly simplify the integral.

    This one is different from any of the other integrals that we’ve done in this section. The first step to doing this integral is to perform integration by parts using the following choices for (u) and (dv).

    [να αρχίσειu & = sec x &hspace<0.5in>dv & = x,dx du & = sec x an x,dx & hspace<0.5in>v & = an xend]

    Note that using integration by parts on this problem is not an obvious choice, but it does work very nicely here. After doing integration by parts we have,

    Now the new integral also has an odd exponent on the secant and an even exponent on the tangent and so the previous examples of products of secants and tangents still won’t do us any good.

    To do this integral we’ll first write the tangents in the integral in terms of secants. Again, this is not necessarily an obvious choice but it’s what we need to do in this case.

    Now, we can use the results from the previous example to do the second integral and notice that the first integral is exactly the integral we’re being asked to evaluate with a minus sign in front. So, add it to both sides to get,

    Finally divide by two and we’re done.

    Again, note that we’ve again used the idea of integrating the right side until the original integral shows up and then moving this to the left side and dividing by its coefficient to complete the evaluation. We first saw this in the Integration by Parts section and noted at the time that this was a nice technique to remember. Here is another example of this technique.

    Now that we’ve looked at products of secants and tangents let’s also acknowledge that because we can relate cosecants and cotangents by

    all of the work that we did for products of secants and tangents will also work for products of cosecants and cotangents. We’ll leave it to you to verify that.

    There is one final topic to be discussed in this section before moving on.

    To this point we’ve looked only at products of sines and cosines and products of secants and tangents. However, the methods used to do these integrals can also be used on some quotients involving sines and cosines and quotients involving secants and tangents (and hence quotients involving cosecants and cotangents).

    Let’s take a quick look at an example of this.

    If this were a product of sines and cosines we would know what to do. We would strip out a sine (since the exponent on the sine is odd) and convert the rest of the sines to cosines. The same idea will work in this case. We’ll strip out a sine from the numerator and convert the rest to cosines as follows,

    At this point all we need to do is use the substitution (u = cos x)and we’re done.

    So, under the right circumstances, we can use the ideas developed to help us deal with products of trig functions to deal with quotients of trig functions. The natural question then, is just what are the right circumstances?

    First notice that if the quotient had been reversed as in this integral,

    we wouldn’t have been able to strip out a sine.

    In this case the “stripped out” sine remains in the denominator and it won’t do us any good for the substitution (u = cos x)since this substitution requires a sine in the numerator of the quotient. Also note that, while we could convert the sines to cosines, the resulting integral would still be a fairly difficult integral.

    So, we can use the methods we applied to products of trig functions to quotients of trig functions provided the term that needs parts stripped out in is the numerator of the quotient.


    How do you evaluate #sin ((7pi)/8)# using the half angle formula?

    Trig table, unit circle -->
    #sin ((7pi)/8) = sin (-pi/8 + 2pi) = - sin (pi/8)#
    Find #sin (pi/8)# by using trig identity:
    #cos 2a = 1 - 2sin^2 a.#
    #cos (pi/4) = sqrt2/2 = 1 - 2sin^2 (pi/8)#
    #2sin^2 (pi/8) = 1 - sqrt2/2 = (2 - sqrt2)/2#
    #sin^2 (pi/8) = (2 - sqrt2)/4#
    #sin (pi/8) = sqrt(2 -sqrt2)/2#
    The negative answer is rejected because sin (pi/8) is positive.
    Τελικά,
    #sin ((7pi)/8) = - sqrt(2 - sqrt2)/2#

    Εξήγηση:

    This can also be shown through the sine half-angle formula:

    Here, since we want to find #sin((7pi)/8)# , we know that #x/2=(7pi)/8# and #x=(7pi)/4# .

    Note that the #+-# sign has just turned into a positive sign: the sine of #(7pi)/8# will be positive since #(7pi)/8# is in the second quadrant.

    We can show that #sin(x/2)=+-sqrt((1-cos(x))/2)# using the cosine double-angle formula.

    This is the same as saying

    The argument of the cosine function is double that of the sine function--just expressed differently.


    PRECALCULUS MAT 206-0511

    At the end of ZOOM Lecture 29 on Thursday December 10, FINAL EXAM will be posted in BLACKBOARD under EXAMS, you will be able to take your FINAL EXAM any time from Thursday 12/10/20 at 8:00pm to Friday 12/11/20 at 11:59pm (Latest), you will be given 4 hours to take your Exam 2, it must be taken in one sitting.

    To prepare for your FINAL EXAM go over:

    Scientific Calculator IS ALLOWED.

    DESMOS Scientific Calculator from our website IS ALLOWED.

    ZOOM Lecture 27 Precalculus MAT 206-0511 was recorded

    Topic: ZOOM Lecture 27 MAT 206-0511 on 12/03/20
    Start Time : Dec 3, 2020 05:53 PM

    ZOOM Lecture 26 Precalculus MAT 206-0511 was recorded

    Topic: ZOOM Lecture 26 MAT 206-0511 on 12/01/20
    Start Time : Dec 1, 2020 05:53 PM

    ZOOM Lecture 25 Precalculus MAT 206-0511 was recorded

    Topic: ZOOM Lecture 25 MAT 206-0511 on 11/24/20
    Start Time : Nov 24, 2020 05:54 PM

    ZOOM Lecture 24 Precalculus MAT 206-0511 was recorded

    Topic: ZOOM Lecture 24 MAT 206-0511 on 11/19/20
    Start Time : Nov 19, 2020 05:51 PM

    Exam 3

    At the end of ZOOM Lecture 25 on Tuesday November 24, Exam 3 will be posted in BLACKBOARD under EXAMS, you will be able to take Exam 3 any time from Tuesday 11/24/20 at 8:00pm to Wednesday 11/25/20 at 11:59pm (Latest), you will be given 4 hours to take your Exam 2, it must be taken in one sitting.

    To prepare for Exam 3 go over:

    Scientific Calculator IS ALLOWED.

    DESMOS Scientific Calculator from our website IS ALLOWED.

    ZOOM Lecture 23 Precalculus MAT 206-0511 was recorded

    Topic: ZOOM Lecture 23 MAT 206-0511 on 11/17/20
    Start Time : Nov 17, 2020 05:52 PM

    ZOOM Lecture 22 Precalculus MAT 206-0511 was recorded

    Topic: ZOOM Lecture 22 MAT 206-0511 on 11/12/20
    Start Time : Nov 12, 2020 05:54 PM


    8.4: Double-Angle, Half-Angle, and Reduction Formulas

    Trigonometric double angle calculator that returns exact values and steps given one ratio and quadrant.
    The formulas for double angle identities are as follows:


    If given one trigonometric function, its value, and its quadrant, you can find the exact value of every double angle identity. For example, if told to find the exact value of sin2u given $ ext=frac<9><2>$, for leq extleqfrac<2>$ (u is in quadrant 1). You may begin solving the problem by examining the equation for sin2u. According to the formula for sin2u, the values sinu and cosu must be known. The second part of the problem is finding the exact values of sinu and cosu using the given value, secu. We know that sec = $frac< ext> < κείμενο>$, the only unknown value is the opposite side length. This can be calculated by using the pythagrean theorem which states:

    Now that the opposite side length is known, we can find the values of sinu and cosu:

    The final part of the double angle calculation process is substituting the found sin and cos values into the formula for sin2u as follows:

    The final value of sin2u is $frac<4sqrt<77>><81>$.
    Double Angle Calculator Tutorial With Given

    You must begin by choosing the identity you would like to calculate from the dropdown list. Once the identity has been chosen you have to chose the given function and ratio. for example: $ an=frac<5><8>$. Once a function and ratio are known you may choose the quadrant of the central angle. The central angle must be a valid one otherwise the calculation will not work. If using sin or cos, the absolute value of these ratios must be greater than 0 and less than 1. If using tan or cot, the absolute value of the ratio can be any value. If using any other function, the absolute value of the ratio must be greater than 1.

    Using the double angle identity without a given value is a less complex process. You simply choose the identity from the dropdown list and choose the value of U which can be any value. for example: $csc2cdot8=0.2756373558169992$.


    Math 41 Study Guide

    • Area of a Triangle: (where θ is the angle between a and b)

    6.4 Law of Sines

    • Law of Sines:

    o SSA (either no solution, one solution or two solutions )

    6.5 Law of Cosines

    • Law of Cosines:

    • Navigation: Bearing
    • Heron’s Formula: Area of a triangle is όπου

    7.2 Trigonometric Functions of Real Numbers

    • Definitions of trig functions using unit circle

    • Domains of trig functions

    • Reciprocal Identities (see 6.3)

    • Pythagorean Identities (see 6.3)

    7.3 Trigonometric Graphs

    • Periodic Properties:

    • Transformations
    • y = a sin k(x − b) has amplitude |a|, period , and phase shift b

    • y = a cos k(x − b) has amplitude |a|, period , and phase shift b

    7.4 More Trigonometric Graphs

    • Periodic Properties:

    • Graphs of tan, cot, csc, sec

    8.1 Trigonometric Identities

    • Cofunction Identities:

    • Simplifying trig expressions

    • Sums of Sines and Cosines: change Asin x + B cos x to k sin(x +Ø )

    o First calculate
    o Ø satisfies και

    8.3 Double-Angle, Half-Angle, and Product-Sum Formulas

    • Double-Angle Formulas:

    8.4 Inverse Trigonometric Functions

    • Grahps of sin -1 , cos -1 , tan -1

    • Domains and Ranges of inverse trig functions

    • Evaluating expressions involving inverse trig functions

    8.5 Trigonometric Equations

    • Methods to solve trig equations:

    9.1 Polar Coordinates

    • Definition of polar coordinates

    • Relationship between polar and rectangular coordinates:

    • Converting equations between polar and rectangular coordinates

    9.2 Graphs of Polar Equations

    o x-axis (polar axis): equation unchanged when θ replaced by −θ

    o origin (pole): equation unchanged when r replaced by −r

    o y-axis: equation unchanged when θ replaced by π −θ

    9.3 Polar Form of Complex Numbers DeMoivre’s Theorem

    • Polar Form of Complex Numbers:

    z = r(cosθ + i sinθ ) where r is the modulus and θ is the argument

    • Conversion between standard and polar form:

    • Multiplication of complex numbers in polar form: multiply moduli, add arguments

    • Division of complex numbers in polar form: divide moduli, subtract arguments

    • DeMoivre’s Theorem: if z = r(cosθ + i sinθ ) then z n = r n (cos(nθ ) + i sin(nθ ))

    • n-th roots: if z = r(cosθ + i sinθ ) then z has n n-th roots and they are:

    for k = 0, 1, 2, . . . , n − 1

    12.1 Sequences and Summation Notation

    o (𕒵) n or (𕒵) n+1 for sequences alternating in sign

    • Recursively defined sequences, Fibonacci Numbers

    • Sigma notation:

    12.2 Arithmetic Sequences

    • Arithmetic sequence: a, a + d, a + 2d, . . .

    • Gauss:

    • Partial sums of an arithmetic sequence:

    12.3 Geometric Sequences

    • Geometric sequence: a, ar, ar 2 , . . .

    • Partial sums of an arithmetic sequence:

    • Sum of an infinite geometric series:


    8.4: Double-Angle, Half-Angle, and Reduction Formulas

    Proof of Trigonometric Identities and Formulas

    While I was thinking of some ideas to put on these pages, I came across a college algebra and trigonometry book. I remember using all these formulas and had no idea where they came from and why were they right? The following proofs and illistrations can be easily incorperated into the curriculum of high school algebra or college algebra and trigonometry. I hope that people can find these useful and fun to figure out.

    These proofs make one major assumption, that you know what the definition of the two basic trigonometry functions in a right triangle

    If your wondering about Tan q it's just Sin q / Cos q :)

    Let us start at the first one that comes to mind (Sin q) ^2 +(Cos q )^2 = 1

    Cos(a+b) = Cos(a)Cos(b) - Sin(a)Sin(b)

    Sin(a+b) = Sin(a)Cos(b) + Cos(a)Sin(b)

    Now what about those power reducing formulas

    I'm not going to show the last one because it's the same as (Sin q) ^2 / (Cos q) ^2 remember


    Product to sum or sum to product is a solution process used in trigonometry for convenience in computing.

    It allows multiplying two trigonometric values by a formula that uses addition and subtraction.

    The power reduction formulas are obtained by solving the second and third versions of the cosine double-angle formula.

    Product to sum formulas:

    • Sin(u)Sin(v) = 1/2 [ cos(u-v) - cos(u+v)]
    • Cos(u)Cos(v) = 1/2 [ cos(u-v) + cos(u+v)]
    • Sin(u)Cos(v) = 1/2 [ sin(u+v) + sin(u-v)]
    • Cos(u)Sin(v) = 1/2 [ sin(u+v) - sin(u-v)]