Πληροφορίες

Γράφημα αντίστροφης λειτουργίας


Ο επόμενος στόχος είναι να διερευνηθούν οι σχέσεις μεταξύ των γραφημάτων του στ και . Για το σκοπό αυτό θα είναι επιθυμητό να χρησιμοποιηθεί x ως ανεξάρτητη μεταβλητή και για τις δύο λειτουργίες, πράγμα που σημαίνει ότι συγκρίνουμε τα γραφήματα του y = f(x) και y = (x).

Εάν (α, β) είναι ένα σημείο στο γράφημα y = f(x) τότε b = f(το). Αυτό είναι ισοδύναμο με τη δήλωση ότι το = (β) που σημαίνει ότι (β, α) είναι ένα σημείο στο γράφημα του y = (x).

Συνοπτικά, αναστρέφοντας τις συντεταγμένες ενός σημείου στο στ δημιουργεί ένα σημείο στο . Πανομοιότυπη αντιστροφή των συντεταγμένων ενός σημείου στο γράφημα του δημιουργεί ένα σημείο στο στ. Ωστόσο, το γεωμετρικό αποτέλεσμα της αναστροφής των συντεταγμένων ενός σημείου είναι να αντικατοπτρίζει αυτό το σημείο στη γραμμή. y = x (σχήμα 1), και στη συνέχεια τα γραφήματα του y = f(x) και y = (x) είναι η μία σε σχέση με αυτή την ευθεία γραμμή (Σχήμα 2). Εν ολίγοις, έχουμε το ακόλουθο αποτέλεσμα.

Αν στ έχει ένα αντίστροφο, τότε τα γραφήματα του y = f (x) και y = (χ) είναι αντανακλάσεις μεταξύ τους σε σχέση με την ευθεία y = x. δηλαδή, κάθε μία είναι η κατοπτρική εικόνα του άλλου σε σχέση με αυτή την ευθεία γραμμή.

Οι αυξανόμενες ή μειούμενες λειτουργίες έχουν αντιστρόφως

Αν το γράφημα της συνάρτησης στ αυξάνοντας ή μειώνοντας πάντοτε την περιοχή του σττότε αυτό το γράφημα μπορεί να κοπεί το πολύ μία φορά από οποιαδήποτε οριζόντια γραμμή και συνεπώς τη λειτουργία στ πρέπει να έχει αντίστροφο.

Ένας τρόπος να διαπιστωθεί αν η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης αυξάνεται ή μειώνεται σε ένα εύρος είναι εξετάζοντας τις κλίσεις των εφαπτόμενων γραμμών της. Το γράφημα του στ θα πρέπει να αυξάνεται σε οποιοδήποτε διάστημα όπου f '(x)> 0 (δεδομένου ότι οι εφαπτόμενες γραμμές έχουν θετική κλίση) και θα πρέπει να μειώνονται σε οποιοδήποτε διάστημα όπου f '(χ) <0 (δεδομένου ότι οι εφαπτόμενες γραμμές έχουν αρνητική κλίση). Αυτές οι παρατηρήσεις προτείνουν το ακόλουθο θεώρημα.

Αν ο τομέας του στ είναι ένα εύρος στο οποίο f ' (x)>0 ή στην οποία f '(x)<0τότε η λειτουργία στ Υπάρχει α αντίστροφο.

Παράδειγμα

Το γράφημα του στ(x) = αυξάνεται πάντα μέσα , από τότε

για όλους x. Ωστόσο, δεν υπάρχει εύκολος τρόπος επίλυσης της εξίσωσης. y = να x από την άποψη του y. ακόμη και γνωρίζοντας αυτό στ Υπάρχει ένα αντίστροφο, δεν μπορούμε να παράγουμε μια φόρμουλα για αυτό.

Σημείωση Αυτό που είναι σημαντικό να καταλάβουμε εδώ είναι ότι η ανικανότητά μας να βρούμε μια φόρμουλα για το αντίστροφο δεν αναιρεί την ύπαρξή της. πράγματι, είναι απαραίτητο να αναπτυχθούν τρόποι εύρεσης ιδιοτήτων λειτουργιών, οι οποίες δεν έχουν καμία ρητή φόρμουλα με την οποία να συνεργάζεται.

Επόμενο: Λογαριθμικές και εκθετικές λειτουργίες